将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题一定两动例题问题描述将军饮马问题是古代著名的智力问题之一，旨在考察解题者的逻辑思维能力。

问题的设定如下：有一将军，要带领两名士兵从A地到达B地。

场地中间有一口险恶的深渊，不可通过。

将军所带的马只能负重有限，不能同时带士兵过河。

将军和士兵们离开A地时，必须都在马上；到达B地时，将军和士兵们也都必须在马上。

将军能够知道自己和士兵们的相对位置，但无法判断两名士兵之间的相对位置。

现在问题的关键是，将军如何将两名士兵安全地带到B地，并确保自己与两名士兵都没有受伤？解答思路要解决这个问题，我们需要仔细分析题意，并且思考各种可能的情况。

以下是针对将军饮马问题的一种解答思路：1.将军先带一个士兵过河，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵送到B地。

2.将军先带一个士兵到达B地，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵带到B地。

3.将军先带一个士兵到达B地，然后将这个士兵送回A地，然后再带另一个士兵到达B地。

对于以上思路，我们可以分别进行分析和证明。

解答过程首先，将军先带一个士兵过河，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵送到B地。

我们可以用以下步骤来进行实施：1.将军和一个士兵一起出发，到达河边，将士兵送到对岸，然后将马送回A地。

2.将军再次出发，将第二个士兵带到河边，将士兵送到对岸，然后将马送回A地。

3.将军最后一次出发，将马带到B地，然后返回将第二个士兵带到B地。

通过上述步骤，我们可以保证将军和两名士兵都顺利到达B地，且没有受伤。

其次，将军先带一个士兵到达B地，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵带到B地。

我们可以用以下步骤来进行实施：1.将军和一个士兵一起出发，到达B地，然后将士兵送回A地。

2.将军再次出发，将第二个士兵带到河边，将士兵送到对岸，然后将马送回A地。

3.将军最后一次出发，将马带到B地，然后返回将第二个士兵带到B地。

同样地，通过以上步骤，我们可以保证将军和两名士兵都顺利到达B地，且没有受伤。

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．【答案】824【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．(1)由折叠的性质可得BD=AB=12，再由CD=BC-BD进行计算即可得到答案；(2)设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，由此即可得到答案．解：(1)由折叠的性质可得：BD=AB=12，∴CD=BC-BD=20-12=8，故答案为：8；(2)如图，设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，由(1)得：CD=8，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE，要是△CDE的周长最小，只需AE+CE最小，由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，∴△CDE的周长=8+AC=8+16=24，故答案为：24．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，此时EP +FP 的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF =10，进而求得CE =3即可求解．解：作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，如图，则E P =EP ，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =AC ．在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知BC =5，AD =6．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为．【答案】6013【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，可得BH =6013．作点H 关于解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =52，∵AD =6．∴AC =AD 2+DC 2=62+52 2=132，∵S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，∴5×6=132BH ，∴BH =6013．∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，当M 与M 重合时，此时BM +MN 最小，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，则BM +MN 的最小值为6013．故答案为：6013【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC 中，∠ABC =30°，AC =4，△ABC 的面积为5，P 为△ABC 内部一点，分别作点P 关于AB ，BC ，AC 的对称点P 1，P 2，P 3，连接P 1P 2，PP 3，则2P 1P 2+PP 3的最小值为．【答案】5【分析】首先由△ABC 的面积为5，12AC ⋅BM =5，求出BM =52，然后由∠ABC =30°和对称构造正三角形，将P 1P 2转化成BP ，将2P 1P 2+PP 3提取系数2，最终转化成垂线段最短．解：设PP3与AC 交于点Q ，则PQ =12PP 3，连接BP 、BQ 、BP 1、BP 2，作BM ⊥AC ，垂足为M ，AC =4，△ABC 的面积为5，∴12AC ⋅BM =5，即12×4BM =5∴BM =5，根据对称性得BP=BP1=BP2，∠ABP=∠ABP1，∠CBP=∠CBP2，∴∠P1BP2=2∠ABC=60°，∴△P1BP2是正三角形，∴P1P2=BP1=BP，∴2P1P2+PP3=2P1P2+12PP3=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5，故答案为：5．【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，证得△P OP 是等边三角形，即可得到结论．解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P ；连接P ，P ，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP =2∠MON=60°，∴△P OP 是等边三角形，∴P P =OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP O=120°，∴△P AB的周长=P P =a，故答案为：120，a．【点拨】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF 的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q ，连接PQ ，股定理求出AB 的长，再利用三角形面积求出CH 的长即可得到结果．解：如图，作点Q 关于AD 的对称点Q ，连接PQ ，CQ ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，Q 与Q 关于AD 对称，∴点Q 在AB 上，PC +PQ =PC +PQ ≥CH ，∵AC =3，BC =4，∴AB =AC 2+BC 2=5，12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CH 即12×3×4=12×5×CH ，∴CH =2.4，∴CP +PQ ≥2.4，∴PC +PQ 的最小值为2.4，故选：A ．8.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，点D 为垂足，E 、F 分别是AD 、AB 上的动点．若AB =6，△ABC 的面积为12，则BE +EF 的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，从而可确定BE +EF ≥BM ，即BM 最小时，BE +EF 最小．再根据垂线段最短可知BN 的长即为BM 最小时，最后根据三角形面积公式求出BN 的长即可．解：如图，作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，∴EF =EM ，∴BE +EF =BE +EM ≥BM ，∴BM 最小时，BE +EF 最小．当BM ⊥AC 时BM 最小，即为BN 的长，∵S △ABC =12AC ⋅BN =12，AB =AC =6，∴BN =2×12÷6=4，∴BE +EF 的最小值是4．故选B ．9.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC 中，AB =AC =10,BC =12,AD =8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是．【答案】9.6【分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接PB ，PQ ，根据线段垂直平分线的性质可得BP =CP ，从而得到当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，再由S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，求出BQ 的长，即可．解：如图，连接PB ，PQ ，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP =CP ，∴PC +PQ =PB +PQ ≥PQ ，∴当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，∵S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，∴12×12×8=12×10BQ ，∴BQ =9.6．故答案为：9.6【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB =20°，M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠OPM =α，∠OQN =β，当MP +PQ +QN 最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【答案】D 【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP +PQ +QN 最小，易知∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，由此即可解决问题．PQ +QN 最小，解:由轴对称的性质得∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，∴α+β=180°-20°-∠ONQ +20°+20°+∠ONQ =200°．故选：D ．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】(20-21八年级上·天津·期末)如图，∠AOB =25°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠MPQ =α，∠PQN =β，当MP +PQ +QN 的值最小时，β-α的大小=_______(度)．【答案】50【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP +PQ +QN 最小，此时∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．解：作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP +PQ +QN 最小，即MP +PQ +QN =M N ，∴∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，∵∠MPQ =α，∠PQN =β，∴∠QPN =12180°-α ，∠OQP =12180°-β ，∵∠QPN =∠AOB +∠OQP ，∠AOB =25°,∴12180°-α =25°+12180°-β ，∴β-α=50°，故答案为：50．【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC 是等边三角形，AB =4．过点A 作AD ⊥BC 于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边△CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【答案】1【分析】连接BQ ，先证△ACP ≌△BCQ (SAS )，则可得∠CBQ =∠CAP =30°，由此可知Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，求出DQ 的值即可．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q 点的运动轨迹是解题的关键．解：连接BQ ，∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形，∴AC =BC ，PC =QC ，∠ACB =∠PCQ =60°，∴∠ACB -∠PCB =∠PCQ -∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠CBQ =∠CAP ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴BC =AB =4，∠BAC =60°，∵AD ⊥BC ，∴BD =DC =12BC =2，∠CAP =12∠BAC =30°，∴∠CBQ =30°，∴Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，此时DQ =12BD =1，∴DQ 的最小值为1．故答案为：1．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且CE =BD ，连接AE 、CD ，则AE +CD 的最小值为．【答案】234【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，证明△CEN ≌△BDC SAS ，得EN =DC 进而可得AE +CD =AE +EN ，再由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解：过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，∵CN ∥AB ，∴∠ECN =∠ABC ，∠ACN =180°-∠BAC =90°，在△CEN 和△BDC 中，EC =BD∠ECN =∠DBC CN =BC，∴△CEN ≌△BDC SAS ，∴EN =DC ，∴AE +CD =AE +EN ，由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，∵AC =6，BC =CN =10，∴Rt △ACN 中，AN =AC 2+CN 2=62+102=234，∴AE +CD 最小值为：234，故答案为：234．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，AB =8，O 是AC 的中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，OE 的最小值为()A.42B.433C.32D.2【答案】D 【分析】设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，证△AQD 和△AOE 全等得QD =OE ，因此当QD 为最小时，OE 为最小，根据“垂线段最短”得QD ≥QH ，故点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，然后在Rt △BQH 中求出QH 的长即可．解：设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH⊥BC 于H ，如下图所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠QAD +∠DAC =∠DAC +∠OAE =120°，∴∠QAD =∠OAE ，∵点Q 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，AB =AC ，∴AQ =AO ，在△AQD 和△AOE 中，AQ =AO∠QAD =∠OAE AD =AE，∴△AQD ≌△AOE (SAS )，∴QD =OE ，∴当QD 为最小时，OE 为最小，∵点Q 为AB 的中点，AB =8，点D 在直线BC 上运动，∴根据“垂线段最短”得：QD ≥QH ，∴当点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =12(180°-∠BAC )=30°，在Rt △BQH 中，∠B =30°，BQ =12AB =4，∴QH =12BQ =2，∴QD 的最小值为2，即OE 的最小值为2.故选：D ．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使AD =AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则CP +12AP 的最小值是．【答案】23【分析】过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF =30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ =12AP ，则CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．解：过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠BAC =60°，∴∠BAF =12∠BAC =30°，∴PQ =12AP ，∴CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，∴AB =2AC =8，∴BC =AB 2-AC 2=43，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ，∴CH =AC ⋅BC AB =4×438=23，1故答案为：23．【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC 中，∠A =90°,∠B =60°,AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．【答案】12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．解：过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，∠B =∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD =BD =AB =4，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =4，∴BC =8，∴DC =4，∴DF =12DC =2，∴AF =AD +DF =4+2=6，∴2(AD +DF )=2AF =12，∴2AD +DC 的最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =4，AC =5，点D ，E 在AB ，AC 边上，且AD=CE ，则CD +BE 的最小值是．【答案】61【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK=CD，可得CD+BE =EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长．解：如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE=∠A，∵CK=CA，CE=AD，∴△CKE≌△CAD SAS，∴CD=KE，∵CD+BE=EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，∵KG∥AB，∴∠GCB=∠ABC=60°，∴∠CBG=90°-∠GCB=30°，在Rt△BCG中，∵∠G=90°，BC=4，∴CG=12BC=2，BG=BC2-CG2=23，∴GK=KC+CG=AC+CG=5+2=7，在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=72+(23)2=61．故答案为：61．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．【答案】4【分析】由等腰△ABC中，∠BAC=100°，可得∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2=40°，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=12∠ABC=20°，如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，则∠ACE=∠ACB+E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，证明△ACE是等边三角形，则AC=AE=4，进而可求AB．解：∵等腰△ABC中，∠BAC=100°，=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2∵BD平分∠ABC，∠ABC=20°，∴∠ABD=12如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=60°，∵CE=AB，∠BCE=∠ABD，MC=BN，∴△CEM≌△BAN SAS，∴ME=AN，CE=AB，∴AM+AN=AM+ME，∴当A、M、E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，∵CE=AC，∠ACE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=4，∴AB=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．。

模型介绍方法点拨一、求线段之和的最小值1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧,在直线m、n 分别上求点P、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.例题精讲【例1】．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（3，）．解：如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 与AB 的交点为E ，此时△CDE 的周长最小．∵D （，0），A （3，0），∴H （，0），∴直线CH 解析式为y ＝﹣x +4，∴x ＝3时，y ＝，∴点E 坐标（3，），故答案为：（3，）．变式训练【变1-1】．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，）解：如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，∴PC＝PA，∴PC+PD＝PA+PD，∴当D、P、A共线时，PC+PD的值最小，在Rt△OAK中，∵OK＝2，OA＝5，∴AK＝＝，∵KH⊥OA，∴KH＝＝2，OH＝＝4，∴K（4，2），∴直线OK的解析式为y＝x，直线AD的解析式为y＝﹣x+1，由，解得，∴OB与AD的交点P′（，），∴当点P与P′重合时，CP+DP最短时，点P的坐标为（，），、故选：D．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为（，0）．解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，∴，解得：x＝，∴BP＝6﹣2﹣＝，故点P的坐标为：（，0）．故答案为：（，0）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），点B坐标为（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上，则以A、B、C、D为顶点的四边形的周长的最小值是+．解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于C，交y轴于D，连接AD，CD，BC，AB，四边形ABCD的周长最小．由作图可知：AD＝DA′，BC＝CB′，A′（﹣1，3），B′（4，﹣1）∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝AB+B′C+CD+DA′＝AB+A′B′＝+＝+，故答案为+．变式训练【变2-1】．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是（）A．4B．10C．4D．12解：作点C关于y轴的对称点C'，作点C关于y＝﹣x+7的对称点C''，连接C'C''，则△CDE的周长的最小值为C'C''的长；∵C（1，0），∴C'（﹣1，0），设C''（m，n），则有＝﹣+7，＝1，∴m＝7，n＝6，∴C''（7，6），∴C'C''＝10；故选：B．【变2-2】．如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P（，0），使PA+PB最小．解：设A点的坐标为（a，b），则，∴ab＝k，∵，∴∴k＝2，∴反比例函数的解析式为．根据题意画出图形，如图所示：联立得，解得，∴A为（2，1），设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）．令直线BC的解析式为y＝mx+n∵B为（1，2），将B和C的坐标代入得：，解得：∴BC的解析式为y＝﹣3x+5，当y＝0时，，∴P点为（，0）．故答案为：（，0）．1．如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F 的坐标分别为（）A．E（﹣，），F（0，2）B．E（﹣2，2），F（0，2）C．E（﹣，），F（0，）D．E（﹣2，2），F（0，）解：作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y＝x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，如图：∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE+CF+EF＝DE+GF+EF＝DG，此时△CEF周长最小，由y＝x+4得A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵C、D关于AB对称，∴∠DAB ＝∠BAC ＝45°，∴∠DAC ＝90°，∵C （﹣2，0），∴AC ＝OA ﹣OC ＝2＝AD ，∴D （﹣4，2），由D （﹣4，2），G （2，0）可得直线DG 解析式为y ＝﹣x +，在y ＝﹣x +中，令x ＝0得y ＝，∴F （0，），由得，∴E （﹣，），∴E 的坐标为（﹣，），F 的坐标为（0，），故选：C ．2．如图所示，直线y ＝x +4与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 是OB 的中点，D ，E 分别是直线AB 和y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是2．解：如图，作点C 关于AB 的对称点F ，关于AO 的对称点G ，连接DF ，EG ，∵直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0），∴BO＝4，OG＝2，BG＝6，OA＝OB，∴∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝2，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，∵Rt△BFG中，FG＝＝2，∴△CDE周长的最小值是2．故答案为：2．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为3+3．解：设点P（m，m+3），则PC＝m+3，OC＝﹣m，△PCO周长＝OP+OC+PC＝OP+m+3﹣m＝3+PO，即△PCO周长取得最小值时，只需要OP最小即可，故点O作OD⊥AP，当点D、P重合时，OP（OD）最小，△AOB为等腰直角三角形，则BOD也为等腰三角形，设：OD＝a，则DO＝BD＝a，由勾股定理得：2a2＝（3）2，解得：a＝3＝OD＝OP，故△PCO周长的最小值＝3+PO＝3+3，故答案为：3+3．4．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是10．解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1，由解得，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝＝10．故答案为10．5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D 为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为P（，）．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x解得，，∴P（，），故答案为：（，）．6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为（﹣4，4）．解：BP+PH+HQ有最小值，理由是：∵直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，∵四边形PHCB是平行四边形，∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵两点之间线段最短，∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴OA是△BQM的中位线，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），设直线CQ的关系式为：y＝kx+b，将C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得：，解得：，∴直线CQ的关系式为：y＝x+4，令y＝0得：x＝﹣4，∴H（﹣4，0），∵PH∥y轴，∴P（﹣4，4），故答案为：（﹣4，4）．7．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．解：（1）如图,△A′B′C′即为所求．（2）如图，点P即为所求．8．如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移动．当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小．解：∵A（0，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4；∵点P在线段AC上移动，点P坐标为（1，m），∴m＝﹣×1+4＝，∴P（1，），作P点关于y轴的对称点P′，连接P′C交y轴于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，Q就是使△PQC周长最小的点；则P′（﹣1，），设直线P′C的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线P′C的解析式为y＝﹣x+2，∴Q点的坐标为（0，2）．9．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）在x轴上求作一点M，使BM+CM的和最小，直接写出M的坐标．解：（1）∵直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，当y＝0时，x＝1，∴D（1，0）．（2）设直线l2的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x﹣．（3）如图，由，解得，∴C（，﹣），作点C关于x轴的对称点C′（，），∴直线BC′的解析式为y＝﹣x+，∴M（，0）．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线y＝x交于点A，点M是y轴上的一个动点，设M（0，m）．（1）若MA+MB的值最小，求m的值；（2）若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，请求出m的值，并说明理由．解：（1）直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B（5，0），C（0，10），解得，∴A（4，2），∴A点关于y轴的对称点A′（﹣4，2），如图1，连接A′B，交y轴的交点为M，此时MA＝MA′，MA+MB＝MA′+MB＝A′B，MA+MB的值最小，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，把A′（﹣4，2），B（5，0）代入得，解得k＝﹣，b＝，∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，把M（0，m）代入得，m＝；（2）如图2，∵A（4，2），B（5，0），C（0，10），∴OA2＝42+22＝20，AC2＝（4﹣0）2+（2﹣10）2＝80，OC2＝102＝100，∴OA2+AC2＝OC2，∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形，若M点是OC的中点，则AM＝OC，此时直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，∴M（0，5），∴m＝5．11．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）求AB的长；（2）求△ABC的周长的最小值；（3）若D（3，4），连接AD、CD，是否存在点C，使得△ACD的面积与6？若存在，求出点C，若不存在，说明理由．解：（1）作AD⊥OB于D，如图1所示：则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，∴BD＝3﹣1＝2，∴AB＝＝2．（2）如图2中，要使△ABC的周长最小，AB一定，则AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，作A′E⊥x轴于E．由对称的性质得：AC＝A′C，则AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，∴BE＝4，由勾股定理得：A′B＝＝4，∴△ABC的周长的最小值为2+4．（3）存在．如图3中，设C（m，0）．由题意：×2×|m﹣4|＝6，解得m＝10或﹣2，∴满足条件的点C的坐标为（0，10）或（0，﹣2）．12．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，使∠BAC＝90°．（1）分别求点A、C的坐标；（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．解：（1）作CD⊥x轴，∵∠OAB+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，在△ABO和△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS）∴AD＝OB，CD＝OA，∵y＝﹣x+2与x轴、y轴交于点A、B，∴A（3，0），B（0，2），∴点C坐标为（5，3）；（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，则E点坐标为（5，﹣3），将（0，2）（5，﹣3），代入y＝ax+c中，，解得：∴直线BE解析式为y＝﹣x+2，设点P坐标为（x，0），则（x，0）位于直线BE上，∴点P坐标为（2，0）．13．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．（1）求该一次函数的表达式．（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，将A（4，0）B（0，2）代入得，解得：，所以一次函数表达式为y＝﹣x+2；（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，又∵D为AB中点，DE∥OB，∴DE为△BOA的中位线，∴DE＝OB＝1，OE＝OA＝2，∴D（2，1），作点D关于y轴的对称点D′，连接D′C交y轴于点P′，即为所求，∴D′（﹣2，1），∵∠D′＝∠P′CO，∠D′HP′＝∠P′OC，∴△D′HP′∽△P′OC，∴＝＝2，∴OP′＝，∴P′坐标为（0，），最小值为＝；法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，设直线CD′的表达式为y＝mx+n，把D′（﹣2，1），C（1，0）代入得：，解得：，∴y＝﹣x+，当x＝0时，y＝，则P′（0，），最小值为＝．14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（1，﹣3）．求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；（3）请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把A（﹣1，﹣1）B（1，﹣3）代入得：﹣k+b＝﹣1，k+b＝﹣3，解得：k＝﹣1，b＝﹣2，∴一次函数表达式为：y＝﹣x﹣2；（2）设直线与x轴交于C，与y轴交于D，把y＝0代入y＝﹣x﹣2，解得x＝﹣2，∴OC＝2，把x＝0代入y＝﹣x﹣2，解得：y＝﹣2，∴OD＝2，＝×OC×OD＝×2×2＝2；∴S△COD（3）作A与A1关于x轴对称，连接A1B交x轴于P，则P即为所求，由对称知：A1（﹣1，1），设直线A1B解析式为y＝ax+c，得﹣a+c＝1，a+c＝﹣3，解得：a＝﹣2，c＝﹣1，∴y＝﹣2x﹣1，令y＝0得﹣2x﹣1＝0，解得：x＝﹣，∴P（﹣，0）．15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，（1）求点C的坐标；（2）连接AM，求△AMB的面积；（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．解：（1）如图1，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在△CDA和△AEB中，，∴△CDA≌△AEB（AAS），∴CD＝AE，AD＝BE，∵A（2，0）、B（3，3），∴OA＝2，OE＝BE＝3，∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，∴C的坐标是（﹣1，1）；（2）如图2，作BE⊥x轴于E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B点的坐标为（3，3），C点的坐标是（﹣1，1），∴，解得，，∴直线BC的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，∴OM＝，∴△AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣△AOM的面积﹣△AEB的面积＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3＝；（3）如图3，作M关于x轴的对称点M′（0，﹣），连接BM'，交x轴于点P，此时PB+PM的值最小，设直线BM′的解析式为y＝mx+n，则，解得，，∴直线BM′的解析式为y＝x﹣，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接CD，以CD Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连接OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），设x＝4+m，y＝m﹣3，则y＝x﹣7，故点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），AB⊥x轴，且AB＝10，点C（0，b），a，b满足b＝++15．点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）．（1）当t＝5时，求PB：PC的值；（2）当PC+PB最小时，求t的值；（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n＝10，且正数p＝+，则正数p的最小值＝2．解：（1）依题意，得，，解得，a＝25，∴b＝15，∴A（25，0），C（0，15），∵AB⊥x且AB＝10，∴B（25，10），当t＝5时，P（5，0），∴PB＝，pc＝，∴PB：PC＝：1．（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于点P，根据两点之间，线段最短可得此时，PC+PB＝PC+PB′＝CB′的值最小，设直线CB′的解析式为y＝kx+15，∵B（25，10）关于x轴的对称点为B′（25，﹣10），∴25k+15＝﹣10，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x+15，把y＝0代入得，x＝15，∴t＝15；（3）依题意，得n＝10﹣m，∴p＝+，即求（m，0）到（0，3）和到（10，5）的距离和的最小值，由（2）可知（10，5）关于x轴对称点为（10，﹣5），∴p＝．故答案为：2．。

专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。