第02讲 求同存异解决集合的交、并、补运算问题-最新精品高考数学基础+方法全解(原卷版)

专题01集合及其运算最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在详细情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能运用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.基础学问融会贯穿1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋) Z Q R2.集合间的基本关系3.集合的基本运算【学问拓展】1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.重点难点突破【题型一】集合的含义【典型例题】下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指其次和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满意集合元素的确定性；（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选：A．【再练一题】下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．【解答】解：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清晰集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性经常简洁忽视，求解问题时要特殊留意．分类探讨的思想方法常用于解决集合问题．【题型二】集合的基本关系【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：A＝{x|1＜x＜4，x∈Z}＝{2，3}；又A⊆B；∴m＝3．故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|3x﹣a≥0}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，12）D．（12，+∞）【解答】解：∵3x﹣a≥0，∴x，∴A＝[，+∞），∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴2，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，6]．故选：B．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【题型三】集合的基本运算命题点1 集合的运算【典型例题】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B＝（）A．{6，9} B．{6，7，9} C．{7，9} D．{7，9，10}【解答】解：U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A＝{4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B＝{7，9}，故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【解答】解：A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，故选：B．命题点2 利用集合的运算求参数【典型例题】已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B＝∅，故A∩B≠∅，则实数a的取值范围a＜3，故选：C．【再练一题】已知集合M＝{x|3x2﹣5x﹣2≤0}，N＝[m，m+1]，若M∪N＝M，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：M＝{x|x≤2}，由M∪N＝M可得N⊆M，则，解得m≤1，故选：B．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要留意端点的状况．(2)运算过程中要留意集合间的特殊关系的运用，敏捷运用这些关系，会使运算简化．【题型四】集合的新定义问题【典型例题】设集合X是实数集R的子集，假如点x0∈R满意：对随意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a的时候，不存在满意得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对随意的a，都存在x（事实上随意比a小得数都可以），使得0＜|x|a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于随意的a＞0，存在n，使0＜|x|a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对随意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不行能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．【再练一题】已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M4【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2＝0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必需在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即解除A，B，C．故选：D．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，应用到详细的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素．基础学问训练1．已知集合，则以下正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得．所以．故选B．2．已知集合A． B．(－1，2) C． D．【答案】C【解析】集合解不等式得集合,，所以即所以选C3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C4．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故选：B．5．已知全集，则A． B．C． D．【答案】C【解析】解：全集，则故选：C．6．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得到，由，则，故选B．7．已知集合，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】解: 由图像可知阴影部分对应的集合为,,,故选D.8．集合，则的元素个数（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】为小于的整数，所以.故选B.9．已知全集，集合1，2，3，4，5，，则图中阴影部分表示的集合为A． B．1， C．2， D．1，2，【答案】C【解析】集合1，2，3，4，5，图中阴影部分表示的集合为2，．故选C．10．若集合A＝{x|x2＜2，B＝{x|}，则A∩B＝( )A．（0，2） B．（，0） C．（0，） D．（－2，0）【答案】B【解析】集合A＝{x|x2＜2, B＝{x|A∩B＝（，0）。

第一节集合课标解读考向预测1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.4.能使用Venn 图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，常联系不等式的解集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn 图等工具解决相关问题.必备知识——强基础1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：01确定性、02互异性、03无序性．(2)元素与集合的关系：若a 属于集合A ，记作a 04∈A ；若b 不属于集合A ，记作b 05∉A .(3)集合的三种表示方法：06列举法、07描述法、图示法．(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法08N09N *或N＋10Z11Q12R(5)集合的分类：有限集和无限集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中13任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集．记作A 14⊆B (或B 15⊇A )．(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但16存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A 17B (或B 18A )．(3)相等：若A ⊆B ，且B 19⊆A ，则A ＝B .3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn 图并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合A ∪B ＝20{x |x ∈A ，或x ∈B }交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合A ∩B ＝21{x |x ∈A ，且x ∈B }补集对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝22{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .1．空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2．若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个．3．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .4．∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．5．集合元素个数公式：若用card 表示有限集中元素的个数，则card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1∈Q.()3(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案C(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．3B．4C．8D．7答案D(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－2，1，2}B．{－1，4，6}C．{3，5}D．{－2，－1，1，2，3，4，6}答案A解析由图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，2}．故选A.(4)(人教A必修第一册习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________．答案{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}考点探究——提素养考点一集合的基本概念例1(1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四个命题正确的是()A．10以内的素数集合是{1，3，5，7}B．0与{0}表示同一个集合C ．方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2}D ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}答案D解析10以内的素数有2，3，5，7，A 错误；0是集合{0}中的一个元素，B 错误；由集合中元素的互异性可知，C 错误；由集合中元素的无序性可知，D 正确．故选D.(2)若集合A ＝{a －3，2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________．答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}；②当2a －1＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，舍去；③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2，1，－3}．综上，a ＝0或1.【通性通法】与集合中元素有关问题的三个关键点【巩固迁移】1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋a >0}，且2∉A ，则实数a 的取值范围是()A ．{a |a ≤4}B ．{a |a ≥4}C ．{a |a ≤－4}D ．{a |a ≥－4}答案C解析由题意可得22＋a ≤0，解得a ≤－4.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4答案A解析集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．故选A.3．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }，b a，a 2024＋b 2024＝________．答案2解析由题意知a ≠0，因为{1，a ＋b ，a }，b a，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.故a 2024＋b 2024＝1＋1＝2.考点二集合间的基本关系例2(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A ＝{0，－a }，B ＝{1，a －2，2a －2}，若A ⊆B ，则a ＝()A ．2B ．1C.23D ．－1答案B解析因为A ⊆B ，所以a －2＝0或2a －2＝0，解得a ＝2或a ＝1.若a ＝2，此时A ＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不符合题意；若a ＝1，此时A ＝{0，－1}，B ＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a ＝1.故选B.(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案(－∞，3]解析∵B ⊆A ，∴若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，解得m ＜2；若B ≠∅，m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]．【通性通法】1．判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．【巩固迁移】4．设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是()A．M＝P B．P∈MC．M P D．P M答案D解析因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P M. 5．(2024·湖南湘潭模拟)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案[－2，2)解析若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．考点三集合的基本运算(多考向探究)考向1集合间的交、并、补运算例3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N ＝()A．{－2，－1，0，1}B．{0，1，2}C．{－2}D．2答案C解析因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.(2)(2024·山东潍坊高三上学期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|e x<1}，则A∪B＝()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．(－2，0)D．(－1，2)答案B解析由题意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|e x<1}＝{x|x<0}，所以A∪B＝(－∞，2)．故选B.(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝() A．∁U(M∪N)B．N∪∁U MC．∁U(M∩N)D．M∪∁U N答案A解析由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁U M＝{x|x≥1}，则N ∪∁U M ＝{x |x >－1}，B 错误；M ∩N ＝{x |－1<x <1}，则∁U (M ∩N )＝{x |x ≤－1或x ≥1}，C 错误；∁U N ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则M ∪∁U N ＝{x |x <1或x ≥2}，D 错误．故选A.【通性通法】解决集合运算问题的三个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解【巩固迁移】6．(2022·全国甲卷)设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则∁U (A ∪B )＝()A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}答案D解析由题意，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，0}．故选D.7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝()A ．{x |0≤x <2}|13≤xC ．{x |3≤x <16}|13≤x 答案D解析因为M ＝{x |x ＜4}＝{x |0≤x ＜16}，N ＝{x |3x ≥1}＝|x ，所以M ∩N ＝|13≤x ＜故选D.8.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰·韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“Venn 图”．则图中的阴影部分表示的集合为()A ．A ∩B ∩C B ．(∁U A )∩B ∩C C ．A ∩(∁U B )∩CD ．A ∩B ∩(∁U C )答案D解析由图可知，阴影部分在集合A ，B 的公共部分，且不在集合C 中，故图中的阴影部分表示的集合为A ∩B ∩(∁U C )．故选D.考向2利用集合的运算求参数例4(2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知集合A ＝{x ∈Z |－1<x <3}，B ＝{x |3x －a <0}，且A ∩(∁R B )＝{1，2}，则实数a 的取值范围是()A ．(0，4)B ．(0，4]C ．(0，3]D ．(0，3)答案C解析由集合A ＝{x ∈Z |－1<x <3}＝{0，1，2}，B ＝{x |3x －a <0}x |x <a 3可得∁R B ＝x x ≥a3因为A ∩(∁R B )＝{1，2}，所以0<a 3≤1，解得0<a ≤3，即实数a 的取值范围是(0，3]．故选C.【通性通法】利用集合的运算求参数的方法注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．【巩固迁移】9．(2023·河北衡水中学高三一模)已知集合M ＝{x |x ≤m }，N x|y ＝1x 2－3x －4若M ∪N＝R，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，4]答案B解析由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因为M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即实数m的取值范围为[4，＋∞)．故选B.10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1<x<a＋2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－1)∪(0，3)解析由题意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因为A∩B≠∅，a－1<－3，a－1<a＋2或＋2>2，a－1<a＋2，解得a<－1或0<a<3，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，3)．考向3集合语言与思想的运用例5某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．答案8解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．【通性通法】(1)运用集合语言及思想解决实际问题时，注意Venn图的应用，它是解决集合交、并、补运算的有力工具，先利用Venn图表示交、并、补的区域，如果在集合外，那么与集合的补集运算有关，如果在公共部分，那么与集合的交集运算有关．(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理运用．【巩固迁移】11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%答案C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.课时作业一、单项选择题1．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅答案A解析因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝() A．{－1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{－1，4}答案B解析B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故选B.3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1]B．(0，1]C．[0，1)D．(－∞，1]答案A解析∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为() A．1B．2C．3D．4答案C解析＝x2，＝x，＝0，＝0＝1，＝1.∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2个元素，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.故选C.5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是() A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案A解析因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A. 6．(2024·湖南益阳高三上学期月考)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B.则M中元素的个数是()A．0B．1C．2D．4答案C解析因为A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直线x＋y＝0上的点的集合，集合B是椭圆x2＋2y2＝1上的点的集合．因为M＝A∩B，所以若要求M中元素的个数，＋y＝0，2＋2y2＝1，＝33，＝－33或＝－33，＝33，即椭圆和直线有两个交点－33，所以M中元素的个数是2.故选C.7．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为() A．5B．10C．15D．20答案C解析用集合A表示除草“优秀”的学生，B表示植树“优秀”的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草“合格”的学生，∁U B表示植树“合格”的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都“优秀”的人数为x，两个项目都“合格”的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，x＝y＋5，因为y max＝10，所以x max＝10＋5＝15.故选C.8．已知集合P∪(∁R Q)＝(－2，＋∞)，P∩Q＝(－2，1)，则Q＝()A．(－2，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，－2]D．[1，＋∞)答案B解析根据右面的Venn图，Ⅰ区表示P∩(∁R Q)，Ⅱ区表示P∩Q，Ⅲ区表示Q∩(∁R P)，Ⅳ区表示∁R(P∪Q)，则集合P∪(∁R Q)对应于Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅳ区的并集，所以Ⅲ区对应(－∞，－2]，从而Q对应Ⅱ区、Ⅲ区的并集，故Q＝(－∞，1)．故选B.二、多项选择题9．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则()A．A⊆∁R B B．∁R A⊆BC．A∪B＝R D．(∁R A)∪(∁R B)＝R答案AD解析如图，根据Venn图可得A⊆∁R B，故A正确；由于B⊆∁R A，故B错误；A∪B⊆R，故C错误；(∁R A)∪(∁R B)＝∁R(A∩B)＝R，故D正确．故选AD.10．(2024·河北保定部分高中高三上学期月考)已知Z(A)表示集合A的整数元素的个数，若集合M＝{x|x2－9x<10}，N＝{x|lg(x－1)<1}，则()A．Z(M)＝9B ．M ∪N ＝{x |－1<x <11}C ．Z (N )＝9D ．(∁R M )∩N ＝{x |10<x <11}答案BC解析因为M ＝{x |－1<x <10}，N ＝{x |1<x <11}，所以Z (M )＝10，Z (N )＝9，M ∪N ＝{x |－1<x <11}，(∁R M )∩N ＝{x |10≤x <11}．故选BC.11．若集合A ＝{x |sin2x ＝1}，B |y ＝π4＋k π2，k ∈()A ．A ∪B ＝B B ．∁R B ⊆∁R AC ．A ∩B ＝∅D ．∁R A ⊆∁R B答案AB解析因为A ＝{x |sin2x ＝1}＝|x ＝k π＋π4，k ∈＝|x ＝4k π＋π4，k ∈，B ＝|y ＝π4＋k π2，k ∈＝|y ＝2k π＋π4，k ∈，显然集合|x ＝4k π＋π4，k ∈|x ＝2k π＋π4，k ∈所以A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，所以A 正确；∁R B ⊆∁R A ，所以B 正确，D 错误；A ∩B ＝A ，所以C 错误．故选AB.三、填空题12．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝|6x －1∈N ，x ∈B 的子集的个数是__________．答案8解析由6x －1∈N ，得x －1＝6，x －1＝3，x －1＝2，x －1＝1，且x ∈A ，故B ＝{2，3，4}，则集合B 的子集的个数为23＝8.13．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________．答案{－5，－2，4}解析∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2，4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)．综上，A ∪B ＝{－5，－2，4}．14．(2024·九省联考)已知集合A ＝{－2，0，2，4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为________．答案5解析由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，由|x －3|≤m ，得－m ＋3≤x ≤m ＋3，≤m ＋3，2≥－m ＋3，即≥1，≥5，即m ≥5，故m 的最小值为5.15．(2024·河南郑州四中第二次调研考试)某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记A ＝{x |x 是听了数学讲座的学生}，B ＝{x |x 是听了历史讲座的学生}，C ＝{x |x 是听了音乐讲座的学生}．用card(M )来表示有限集合M 中元素的个数，若card(A ∩B )＝17，card(A ∩C )＝12，card(B ∩C )＝9，A ∩B ∩C ＝∅，则()A ．card(A ∪B )＝143B ．card(A ∪B ∪C )＝166C ．card(B ∪C )＝129D ．card(A ∩B ∩C )＝38答案B解析将已知条件用Venn 图表示出来如图，对于A ，card(A ∪B )＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A 错误；对于B ，card(A ∪B ∪C )＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B 正确；对于C ，card(B ∪C )＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C 错误；对于D ，card(A ∩B ∩C )＝0，故D 错误．故选B.16．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤a }，A ⊆B ，则实数a 的取值范围是()A.12，＋∞B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案C解析集合A 为圆x 2＋y 2＝1内部和圆周上的点集，集合B 为直线x ＋y ＝a ，x －y ＝a ，－x＋y ＝a ，x ＋y ＝－a 围成的正方形内部和边上的点集，画出图象，如图所示．当直线EF 与圆O 相切时，设切点为C ，连接OC .∵△EOF 为等腰直角三角形，OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，OC ⊥EF ，∴OC 为Rt △EOF 斜边上的中线，∴OC ＝12EF ，即EF ＝2OC ＝2，∴OE ＝OF ＝22EF＝2，此时a＝ 2.∵A⊆B，即圆O在正方形内，∴a≥ 2.17．(多选)(2024·华南师范大学附属中学高三月考)已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x∈M.下列结论中正确的是()A.13∈MB．－1∉MC．若x，y∈M，则x＋y∈MD．若x，y∈M，则xy∈M答案ACD解析对于A，B，由①②，得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③，得13∈M，故A正确，B错误；对于C，由①，知0∈M，∵y∈M，∴0－y＝－y∈M，∵x∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正确；对于D，∵x，1∈M，则x－1∈M，由③，得1 x ∈M，1x－1∈M，∴1x－1x－1∈M，即1x(1－x)∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M，同理y2∈M.由选项C可知，当x，y∈M时，x＋y∈M，∴1x＋1x＝2x∈M，∴x2∈M，∴x22∈M，同理y22∈M，∴当x，y∈M时，(x＋y)22，x2＋y22M，∴(x＋y)22－x2＋y22＝xy∈M，故D正确．故选ACD.18．(多选)(2024·浙江杭州第二中学高三月考)已知集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，则下列四个结论中正确的是()A．a2－b2≤4B．a2＋1b≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4答案ABD解析因为集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，所以Δ＝a2－4b＝0，a2＝4b，又a>0，所以b>0.对于A，因为a2－b2＝4b－b2＝－(b－2)2＋4≤4，当b＝2，a＝22时等号成立，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ·1b ＝4，当且仅当4b ＝1b ，b ＝12，a ＝2时等号成立，故B 正确；对于C ，不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，即不等式x 2＋ax ＋b －c <0的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝16，则c ＝4，故D 正确．故选ABD.19．(2024·湖北高中名校联合体高三诊断性考试)已知集合U ＝{1，2，…，n }(n ∈N *，n ≥2)，对于集合U 的两个非空子集A ，B ，若A ∩B ＝∅，则称(A ，B )为集合U 的一组“互斥子集”．记集合U 的所有“互斥子集”的组数为f (n )(视(A ，B )与(B ，A )为同一组“互斥子集”)，那么f (n )＝________．答案12(3n－2n ＋1＋1)解析根据题意，任意一个元素只能在集合A ，B ，C ＝∁U (A ∪B )之一中，则这n 个元素在集合A ，B ，C 中，共有3n 种．其中A 为空集的种数为2n ，B 为空集的种数为2n ，故可得A ，B 均为非空子集的种数为3n －2n ＋1＋1，又因为(A ，B )与(B ，A )为同一组“互斥子集”，故f (n )＝12(3n－2n ＋1＋1)．。

6 6 14
A
B
画出Venn图右图 , 可知没有参加过比赛的同学有
45 12 20 6 19. 答 这个班共有 19名同学没有参加过比赛 .
例3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2， n∈A}，则A∩B＝( ) A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2} (2)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－ 2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( ) A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y ＝3x－1}，则A∩B＝________.
y＝x＋3 解析：由 y＝3x－1 x＝2 得 y＝ 5
，
y＝x＋3 ∴A∩B＝x，y| y＝3x－1 x＝2 ＝{(2,5)}． ＝x，y| y＝5
解析： M∪N＝{－1,0,1,2}．
2.设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}
={3,4,5,6,7,8}
3.设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}
Venn图表示：
A
A∪B
B
A
A∪B
B
性质：
A B B A, A A B, B A B .
思考： A∪B=B可能成立吗？
A
A∪B
B
若A
B，则
A∪B=B

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N ⊆B ．{}4M N =C ．M N ⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．111,,23⎧⎫⎬⎭D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧⎫=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人。