因式分解(十字交叉法)练习题

因式分解十字相乘法练习题一、选择题1. 以下哪个表达式是正确的因式分解结果？A. x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)B. x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2C. x^2 - 9 = (x - 3)^2D. x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^22. 将下列表达式因式分解，哪个选项是正确的？A. 6x^2 - 11x + 6 = (2x - 3)(3x - 2)B. 9x^2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5)C. 4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)D. 2x^2 - 8xy + 4y^2 = 2(x - y)^23. 以下哪个表达式不能使用十字相乘法进行因式分解？A. x^2 - 2xy + y^2B. 3x^2 + 5x + 2C. 4x^2 - 4xy + y^2D. x^2 + 6x + 9二、填空题1. 将下列二次三项式因式分解：________x^2 - 6x + 92. 将下列二次三项式因式分解：________2x^2 - 4x - 63. 将下列二次三项式因式分解：________3x^2 - 11x + 10三、解答题1. 给定二次三项式 ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若 b^2 - 4ac < 0，说明该三项式不能因式分解。

请说明原因。

2. 已知二次三项式 ax^2 + bx + c 可以因式分解为 (x - p)(x - q)，求证 b = p + q 且 c = pq。

3. 将下列表达式因式分解，并说明使用十字相乘法的步骤：- 5x^2 - 20x + 16- 7x^2 - 14x + 3四、应用题1. 一个矩形的长和宽分别是 2x - 3 和 x + 4，如果矩形的面积是10x^2 - 2x - 24，求矩形的长和宽。

2. 一个二次方程的系数 a, b, c 满足 b^2 - 4ac = 0，求证该方程有两个相等的实根。

十字相乘法因式分解练习题十字相乘法因式分解练题一、选择题1.如果x-px+q=(x+a)(x+b)，那么p等于()A。

abB。

a+bC。

-abD。

-(a+b)解析：根据十字相乘法，p=a+b，故选B。

2.如果x+(a+b)×x+5b=x-x-30，则b为()A。

5B。

-6C。

-5D。

6解析：化简得2ax+6b=-30，即ax+3b=-15.根据十字相乘法，a=1，b=-5，故选C。

3.多项式x-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，则a，b的值分别为()A。

10和-2B。

-10和2C。

10和2D。

-10和-2解析：根据十字相乘法，a=5b，3a=15-b，解得a=5，b=-2，故选A。

4.不能用十字相乘法分解的是()A。

x+x-2B。

3x-10x+3xC。

4x+x+2D。

5x-6xy-8y解析：B项中有3个x不能用十字相乘法分解，故选B。

5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多项式是()A。

2(x+y)-13(x+y)+20B。

(2x+2y)-13(x+y)+20C。

2(x+y)+13(x+y)+20D。

2(x+y)-9(x+y)+20解析：展开得2x^2-3xy-13x+2y^2-13y+20，故选B。

6.将下述多项式分解后，有相同因式x-1的多项式有()①x-7x+6；②3x+2x-1；③x+5x-6；④4x-5x-9；⑤15x-23x+8；⑥x+11x-12A。

2个B。

3个C。

4个D。

5个解析：将各多项式分解得(x-1)(x-6)，(x-1)(3x+1)，(x-1)(x+6)，(x-1)(4x+9)，(x-1)(15x-8)，(x-1)(x+12)。

其中有3个多项式有相同因式x-1，故选B。

二、填空题7.x+3x-10=_________。

解析：化简得4x-10，故填4x-10.8.m-5m-6=(m+a)(m+b)。

a=__________，b=______ ____。

十字相乘法进行因式分解1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 解：例2 把下列各式分解因式： （1）3522--x x ；（2）3832-+x x ． 解：点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．十字相乘法专项练习题(1) a2－7a+6；(2)8x2+6x－35；(3)18x2－21x+5；(4) 20－9y－20y2；(5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3；(10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13；(16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2；(18)6y2+19y+10；(19) 2(a+b)2 +(a+b)(a －b)－6(a －b)2； (20)7(x －1)2 +4(x －1)－20；把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； ( 3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5)2252310a b ab +- (6)222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8)42718x x +- (9)22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --六、解下列方程（1）220x x --= (2)2560x x +-= (3)23440a a +-= (4)227150b b +-=。

因式分解之十字相乘法专项练习题十字相乘法进行因式分解二次三项式是指多项式 $ax^2+bx+c$，其中 $ax^2$ 称为二次项，$bx$ 称为一次项，$c$ 称为常数项。

例如，$x^2-2x-3$ 和 $x^2+5x+6$ 都是关于 $x$ 的二次三项式。

在多项式$x^2-6xy+8y^2$ 中，如果把 $y$ 看作常数，就是关于 $x$ 的二次三项式；如果把 $x$ 看作常数，就是关于 $y$ 的二次三项式。

在多项式 $2a^2b^2-7ab+3$ 中，把 $ab$ 看作一个整体，即 $2(ab)^2-7(ab)+3$，就是关于 $ab$ 的二次三项式。

同样，多项式 $(x+y)^2+7(x+y)+12$，把 $x+y$ 看作一个整体，就是关于 $x+y$ 的二次三项式。

十字相乘法是一种分解因式的方法，实质上是逆用$(ax+b)(cx+d)$ 竖式乘法法则。

它的一般规律是：（1）对于二次项系数为 $1$ 的二次三项式 $x^2+px+q$，如果能把常数项 $q$ 分解成两个因数 $a$，$b$ 的积，并且 $a+b$ 为一次项系数 $p$，那么它就可以运用公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ 分解因式。

这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。

公式中的 $x$ 可以表示单项式，也可以表示多项式。

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。

2）对于二次项系数不是 $1$ 的二次三项式$ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$ 都是整数且$a≠0$），如果存在四个整数 $a_1$，$a_2$，$c_1$，$c_2$，使 $a_1a_2=a$，$c_1c_2=c$，且 $a_1c_2+a_2c_1=b$，那么就可以运用十字相乘法分解因式。

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。