高中化学十字相乘法原理及经典题目

专题02 十字相乘法与增根全解解题核心一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c）1. 二次项系数为1时x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）方法特点：拆常数项，凑一次项.当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同；当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；例：x2+4x+3→ x2+4x+3=（x+1）（x+3）x2－5x－6→ x2－5x－6=（x+1）（x－6）2. 二次项系数不为1时ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）此类特点：拆两头，凑中间1. 当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积3. 常数项分解参考上一类4. 分解后横向写结果.例：2x2－3x－5→ 2x2－3x－5=（x+1）（2x－5）3. 多字母例：4x2－3xy－y2→ 4x2－3xy－y2=（x－y）（4x+y）二、分式方程的增根与无解1. 增根意义：（1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根；（2）（1）中的根使分式方程分母为0.2. 分式方程无解与增根无解：分式方程化成整式方程后，（1）整式方程无解；（2）整式方程的所有的解均为增根. 增根：①是分式方程转化为整式方程后的解；②该解使得原分式方程分母为0.*分式方程无解≠分式方程有增根；分式方程有增根≠分式方程无解.若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.释义：1. 分式方程10x= 去分母得：1=0×x ，此方程无解； 2. 分式方程20x x= 去分母得：x 2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解；3. 分式方程()10x x x-= 去分母得：x （x －1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1. 4. 若分式方程21x m x -=+无解，求m 值. 去分母得：x －m=2x+2，x=－m －2，原方程无解，则x=－1，即－m －2=－1，m=－1.5. 若分式方程21x m x -=+m 无解，求m 值. 去分母得：x －m=2mx+2m ，(1-2m)x=3m ，因为原方程无解，则：1-2m=0或3112m m=--，即m=0.5或m=-1.★解分式方程时一定要“检验”！【题型一】十字相乘【例1－1】（1）x 2+14x+24；（2）a 2－15a+36；（3）x 2+4x －5【答案】（1）原式= (x+2)(x+12)（2）原式= (a-3)(a-12)（3）原式= (x+5)(x-1)【例1－2】（1）x2+x－2；（2）y2－2y－15；（3）x2－10x－24【答案】（1）原式= (x+2)(x-1) （2）原式= (y-5)(y+3) （3）原式= (x-12)(x+2)【例1－3】（1）5x2+7x－6；（2）3x2－7x+2；（3）10x2－17x+3；（4）－6t2+11t+10【答案】（1）原式= (x+2)(5x-3) （2）原式= (x-2)(3x-1) （3）原式=-(2t-5)(3t+2)【例2－1】（1）x2-3xy+2y2；（2）m2-6mn+8n2；（3）a2-ab-6b2【答案】（1）原式= (x-2y)(x-y) （2）原式= (m-2n)(m-4n) （3）原式= (a-3b)(a+2b)【例2－2】（1）15x2+7xy-4y2；（2）12x2-11xy-15y2【答案】（1）原式= (3x-1)(5x+4)（2）原式= (3x-5)(4x+3)【例3－1】（1）（x+y）2-3（x+y）-10；（2）（a+b）2-4a-4b+3（3）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2【答案】（1）原式=（x+y-5）（x+y+2）（2）原式=（a+b）2-4（a+b）+3=（a+b-1）（a+b-3）（3）原式=12（x+y）2+11（x+y）（x-y）+2（x-y）2 =（3x+3y+2x-2y）（4x+4y+x-y）=（5x+y）（5x+3y）【例3－2】（1）（x2-3）2-4x2；（2）（x2+x）2-17（x2+x）+60（3）（x2+2x-3）（x2+2x-24）+90【答案】（1）原式=（x2-3+2x）（x2-3－2x）=（x+3）（x-1）（x-3）（x+1）（2）原式=（x2+x-12）（x2+x-5）=（x+4）（x-3）（x2+x-5）（3）令x2+2x=t，原式=（t-3）（t-24）+90=t2-27t+162=（t-9）（t-18）=（x 2+2x-9）（x 2+2x-18）【例4－1】（2020·长沙市月考）如果关于x 的不等式组213272x x x a+⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩有且仅有2个整数解，并且关于y 的分式方程45333y a a y y++=--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．24B ．15C ．12D ．7【答案】C. 【解析】解：213272x x x a +⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩①②解①得：x≥−2，解②得：x ＜27a -， 不等式组的解集为−2≤x ＜27a -， 因为不等式组有且仅有2个整数解，所以−1＜27a -≤0． 解得2≤a ＜9分式方程去分母得：y ＋4a−5a ＝3（y−3），解得：y ＝92a -． 经检验：a ＝5或7是分式方程的解．则所有整数a 的和为12．故答案为：C ．【例4－2】（2020·重庆月考）若关于x 的分式方程4222a x x-=--的解为正整数，且关于y 的不等式组25220y y y a -⎧+<⎪⎨⎪-≤⎩无解，则满足条件的所有整数a 的值之和是（ ）A ．18-B ．14-C ．10-D ．6-【答案】D.【解析】解不等式组，y>83，y≤a∵不等式组无解，∴a≤83，分式方程去分母得，4+a=2x-4，解得，x=82a+，∵分式的解为正整数，∴82a+>且822a+≠，∴883a-<≤且4a≠-∴整数a=-6，-2，0，2，∴整数a之和为：-6．故答案为：D．【例4－3】（2020·重庆月考）若关于x的一元一次不等式组12(35)334333x axx⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解，且关于y的分式方程223211y a yy y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7 B．8 C．14 D．15 【答案】C.【解析】解：解不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩，得16x ax-⎧⎨>⎩，∵不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解，∴a-1≤6，即a≤7，解分式方程，得y=12a+，为非负整数，且a≤7，∴a=-1或1或3或5或7，a=1时，y=1，原分式方程无解，a=1舍去，符合条件的所有整数a 的和是14，故答案为：C ．【例5－1】（2020·河北石家庄市期中）若关于x 的分式方程3mx x -－2＝23m x -无解，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．无法确定 【答案】C.【解析】解：分式方程去分母，得：（m-2）x=2m-6，由分式方程无解，①m-2=0，m=2，②x −3=0，即x =3，把x =3代入整式方程得：m =0，故答案为：C ．【例5－2】（2020·长沙市月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题： （1）已知关于x 的方程2112mx x -=+的解为负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解．求n 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）去分母，得2mx-1=x+2，当2m-1≠0时，解得：x=321m -， ∵ 方程有解，且解为负数， ∴2103221m m -<⎧⎪⎨≠-⎪-⎩，解得m ＜12且m≠14-； （2）分式方程去分母整理得：（n-1）x=2，当n －1=0时，方程无解，此时n =1；当n-1≠0时，x=21n -， 要使方程无解，则21n -=3，解得：n=53； 综上，n=53或n =1．【例5－3】（2020·湖南株洲市期中）若分式方程144-=--x m x x 无解，则m =__________． 【答案】3.【解析】解：方程去分母得：m ＝x ﹣1，解得：x ＝m +1，∴当x ＝4时分母为0，方程无解，即m +1＝4，∴m ＝3时方程无解．故答案为：3. 【例5－4】（2020·新乐市月考）若关于x 的分式方程223111m x x x -=+--无解，则m =________． 【答案】32-或2. 【解析】解：去分母可得：（m-2）x=m+5，当m-2=0时，∴ m=2，此时方程无解，满足题意，当m-2≠0时，x=52m m +-， 由于该分式方程无解，x 2-1=0，x=1或x=-1 即52m m +-=-1或1， 解得：m=32-， 故答案为：32-或2． 【例5－5】（2020·黑龙江齐齐哈尔市期末）如果方程322x m x x -=-- 无解，则m=___________． 【答案】1.【解析】解：去分母，得x －3=﹣m ，∵原方程无解，∴x －2=0，即x =2，把x =2代入上式，得2－3=﹣m ，所以m =1．故答案为1．【例6－1】（2020·四川省成都期中）关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？【答案】见解析.【解析】解：原方程整理得：8x=k+3∵该分式方程有解，∴x≠0，且x≠1，即k+3≠0且k+3≠8，解得：k≠-3且k≠5．【例6－2】（2020·北京师大附中期中）当k 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x k x x x x ++-=-+-+的解为负数. 【答案】见解析.【解析】解：分式方程解得：x=35k -， ∵方程的解为负数，且使得分式有意义， ∴305325335k k k -⎧<⎪⎪-⎪≠⎨⎪⎪-≠-⎪⎩， 解得k ＜3且k≠-12．【例6－3】（2020·黑龙江绥化市模考）关于x 的分式方程2111x a x x -=+-的解为负数，则a 的取值范围____．【答案】见解析.【解析】解：原方程化为：x=1-a ，∵分式方程的解为负数，∴1-a ＜0，∴a>1∵x≠1，且x≠-1，∴1-a≠-1，得a≠2故答案为：a ＞1且a≠2．【例6－4】（2020·长沙市月考）已知关于x的分式方程2311x kx x-=--的解为正数，则k的取值范围为________．【答案】k<32且k≠12.【解析】解：去分母得，x-3（x-1）=2k解得：x=322k -，∵分式方程的解为正数，∴322k->，且3212k-≠解得，k<32且k≠12故答案为：k<32且k≠12．【例7－1】（2020·山东济南市期中）若关于x的方程12x-+3＝12axx--有增根，则a＝_____．【答案】1.【解析】解：去分母，得1+3x﹣6＝ax﹣1，∵方程有增根，所以x﹣2＝0，x＝2是方程的增根，将x＝2代入上式，得1+6﹣6＝2a﹣1，解得a＝1，故答案为1．【例7－2】（2020·昌乐县期中）若关于x的分式方程4333x ax x--=--有增根，则a的值是______．【答案】－1.【解析】解：原分式方程解得：x=52a -∵分式方程有增根，∴52a-=3，解得a=-1．故答案为：-1．【例7－3】（2020·浙江杭州市模拟）关于x的方程32211x mx x--=++有增根，则m的值为___．【答案】-5.【解析】解：分式方程解得：x=m+4，因为分式方程由增根，即x=-1∴m+4=-1即m=-5故答案为-5.【例7－4】（2020·四川成都市期中）已知关于x 的分式方程222242mx x x x +=--+．若方程有增根，则m 的值为_______．【答案】±4. 【解析】解：分式方程变为：mx=-8，由方程有增根，得x=2或x=-2∴m=-4或m=4故答案为：±4. 【例7－4】（2020·浙江杭州市模拟）关于x 的方程213242ax x x x +=--+有增根，则a 的值为_______．【答案】-2或6.【解析】解：方程整理得：（2-a ）x=8，∵原方程有增根，∴x=2或x=-2∴a=-2或a=6故答案为：-2或6．【例7－5】（2020·湖南岳阳市期中）若关于x 的分式方程355x a x x -=--有增根，则a 的值为__________．【答案】5.【解析】解：原方程两边同时乘以（x-5）得：x-3（x-5）=a，由题意，x=5，∴a=5，故答案为5 ．。

专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ,则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >,则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即1221a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【参考参考参考答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数,就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ---- ＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【参考参考参考答案】解：原式()()223432x x x x =---+ ()()()()4112x x x x =-+--例3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++-(2)22(33)(34)8x x x x +-++-【参考参考参考答案与解析】解：（1）令21x x t ++=,则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=,原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成2()x y -,第4、5项→3()x y -.【参考参考参考答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc-++（2）225533a b a b--+（3）23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】分解因式：．2242244241a b c ab ac bc ++--+-【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=．()()222121b a c b a c -++-+-类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣ ）•（x﹣ ）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0,且x≠y）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y与x的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故参考参考参考答案为：y；3y（3）原式===﹣,若x=y,原式=﹣2；若x=3y,原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题1.如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).22mx nx --()()32x x p ++A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝3m n p mnp 2. 若,且,则的值为( ).()2230x a b x ab x x +++=--b a <b A.5B.－6C.－5D.63. 将因式分解的结果是( ).()()256x y x y +-+-A. B.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++C.D. ()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（ ）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )224293x x y y +--A. B.22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-C. D. 22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--6．如果有一个因式为,那么的值是（ ）3233x x x m +-+()3x +m A. －9 B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式： ．2242y xy x --+=8. 分解因式：= ．224202536a ab b -+-9．分解因式的结果是__________.5321x x x -+-10. 如果代数式有一因式,则的值为_________．a 11．若有因式,则另外的因式是_________.3223a a b ab b --+()a b -12. 分解因式：（1）；（2）3)32(2-+-+k x k kx mnm x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知,, 求的值.0x y +=31x y +=2231213x xy y ++14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a （2）32344xy xy x y x y-++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【参考参考参考答案与解析】一.选择题1. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--∴,解得.22,32p p n =-+=-1n =2. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,由,所以.()()23065x x x x --=-+b a <6b =-3. 【参考参考参考答案】C ；【解析】把看成一个整体,分解.()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++4. 【参考参考参考答案】B ；【解析】解：1+a +b +ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【参考参考参考答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均()()2323x y x y +-23x y -无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【参考参考参考答案】A ；【解析】由题意当时,代数式为零,解得.3x =-9m =-二.填空题7. 【参考参考参考答案】．()()22x y x y -+--【解析】解：===．2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--8. 【参考参考参考答案】；()()256256a b a b -+-- 【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【参考参考参考答案】；()()()22111x x x x +--+ 【解析】原式.()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+10.【参考参考参考答案】16；【解析】由题意当时,代数式等于0,解得.4x =16a =11.【参考参考参考答案】；()()a b a b -+ 【解析】.()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+12.【参考参考参考答案】；；()()31kx k x +-+()()x m x m n --+ 【解析】；()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+.()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由,解得0x y +=31x y +=12y =所以,原式.21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14.【解析】解：（1）原式；()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-（2）原式；()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦（3）原式；()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a +b +1）；（2）原式= x 2﹣6x +9-16=（x -3）2﹣16=（x -3+4）（x -3-4）=（x +1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab +4b 2﹣9b 2= （a +2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a +2b +3b ）=（a ﹣b ）（a +5b ）．知识改变命运。

4、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式2x （a b ）x ab h[x • a X • b 进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax 2 bx c （ a 、b 、c 都是整数，且a 0 ）来说，如果存在四个整数 a 1， c ，a 2， c 2 满足 a 1a^ a ， qq = c ，并且 a 1c 2 - a 2C | = b ，那么二次三项式 2 2ax bx c 即 a 1a 2x - a 1c 2 - a 2c 1 x - c 1c 2 可以分解为 a 1x - c 1 a 2x - c 2。

这里要确定四个常数a 1，c 1，a 2，q ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借 助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：x - 11x 24 0，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解： x 2 -11x 24 0.x -3 x -8 0 将它与原式的各项系数进行对比，得：a b--1, m=1, 2a-b - -2m解得：a - -1, b =0, m =12 2此时，原式二x 2 x -x-1(2)设原式分解为 x 2 • cx -2 x 2 dx 1，其中c 、d 为整数，去括号，得:x 4 亠［c d x ‘ - x 2 亠［c - 2d x - 2x - 3 0 l x —8 - 0 或 x - 3 ” 0 x - 8 ：： 0将它与原式的各项系数进行对比，得：c d - -1，m - -1，c-2d - -2m解得：c=0， d = -1，m=-12 2此时，原式二x -2 x -x 12.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ，且满足2 -2xy - y *2=0，求长方形的面积。

十字相乘法 (2020年8月)【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式： （1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． （3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x32)3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值． 解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．十字相乘法参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x )6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --= )4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-= ))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。

一、十字交叉相乘法这是利用化合价书写物质化学式的方法，它适用于两种元素或两种基团组成的化合物。

其根据的原理是化合价法则：正价总数与负价总数的代数和为0或正价总数与负价总数的绝对值相等。

现以下例看其操作步骤。

二、十字交叉相比法我们常说的十字交叉法实际上是十字交叉相比法，它是一种图示方法。

十字交叉图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)，用来计算混合物中两种组成成分的比值。

三、十字交叉消去法十字交叉消去法简称为十字消去法，它是一类离子推断题的解法，采用“十字消去”可缩小未知物质的范围，以便于利用题给条件确定物质，找出正确答案。

其实十字交叉法就是解二元一次方程的简便形式如果实在不习惯就可以例方程解但我还是给你说说嘛像A的密度为10 B的密度为8 它们的混合物密度为9 你就可以把9放在中间把10 和8 写在左边标上AB 然后分别减去9 可得右边为1 1 此时之比这1:1 了这个例子比较简单但难的也是一样你自己好好体会一下嘛这个方法其实很好节约时间特别是考理综的时候其实十字交叉法就是解二元一次方程的简便形式如果实在不习惯就可以例方程解但我还是给你说说嘛像A的密度为10 B的密度为8 它们的混合物密度为9 你就可以把9放在中间把10 和8 写在左边标上AB 然后分别减去9 可得右边为1 1 此时之比这1:1 了这个例子比较简单但难的也是一样你自己好好体会一下嘛这个方法其实很好节约时间特别是考理综的时候（一）混和气体计算中的十字交叉法【例题】在常温下，将1体积乙烯和一定量的某气态未知烃混和，测得混和气体对氢气的相对密度为12，求这种烃所占的体积。

【分析】根据相对密度计算可得混和气体的平均式量为24，乙烯的式量是28，那么未知烃的式量肯定小于24，式量小于24的烃只有甲烷，利用十字交叉法可求得甲烷是0.5体积（二）同位素原子百分含量计算的十字叉法【例题】溴有两种同位素，在自然界中这两种同位素大约各占一半，已知溴的原子序数是35，原子量是80，则溴的两种同位素的中子数分别等于。

十字交叉（相乘）法
十字交叉法适合带有平均值的二元混合体系的相关计算，它是二元一次方程组求解的简化形式，把乘除运算转换为加减运算，给计算带来很大的方便。

例：实验室用向下排空气法收集NH3，测得瓶内气体在同温同压下平均相对分子质量为20，要计算所得气体中NH3与空气（相对分子质量按29计算）的体积比。

解题思路是：算出NH3的相对分子质量为14+3=17，由于题中给出空气的相对分子质量为29，又给出混合气体的平均相对分子质量为20，所以可以用十字交叉法计算：
NH3 17
20（把两个混合气体的平均相对分子质量写在中间）空气29
然后交叉相减（大数减小数）例：应该是17-20就写成20-17（因为要大数减小数）=3 由于是交叉相减，是左上方的17向右下方减，所以得数3要写在右下方同理29-20为大数减小数，所以不变=9，把得数9写在20的右上角即：17 9
20
29 3
之后，在9和3的中间填上分号，所得的结果为1/3，这个就是体积比。

注：十字相乘（交叉）法只用于两种混合气体，并且得出的比值不是质量比。

十字相乘法例题20道及解答思路20道例题1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。

解题思路首先将二次项系数分解写在十字线的左上角和左下角，然后将常数项分解写在十字线的右上角和右下角，再通过交叉相乘得到代数和使其等于线性项系数。

二次系数分解(只取正因子，因为负因子的结果和正因子的结果一样)。

因式分解方法1.提出一个公因子:如果多项式的每一项都有一个公因子，你可以提出来，把多项式变成两个因子的乘积。

2.应用公式法:由于因式分解和代数式乘法有倒数关系，如果把乘法公式反过来，就可以用来因式分解某些多项式。

比如和的平方，差的平方。

3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。

4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。

5.匹配法:对于那些不能用公式法的多项式，有的可以用它来匹配成完全平坦的方式，然后用平方差公式进行因式分解。

6.分解加法:多项式可以分成几部分，然后进行因式分解。

化学中考15题十字相乘法化学中考15题十字相乘法近年来，十字相乘法在化学中考试中备受关注，这种方法可以帮助学生快速解决许多难题。

下面将介绍15个常见的化学中考难题，以及如何通过十字相乘法解决它们。

1. 如何计算反应物和生成物的物质量？这是一个基本问题，考生需要根据化学方程式中的摩尔比例换算出物质量。

使用十字相乘法，可以快速计算摩尔数，从而计算物质量。

2. 如何计算摩尔质量？考生需要将分子质量化为摩尔质量，这可以通过对分子质量除以摩尔数来实现。

十字相乘法可以帮助计算出摩尔数。

3. 如何计算液体中含有的溶质质量？这个问题可以通过溶液浓度、体积和溶质摩尔质量来计算。

使用十字相乘法，我们可以从摩尔质量转换为质量，快速计算出液体中含有的溶质质量。

4. 如何计算酸碱反应中的物质质量？在酸碱反应中，通常需要计算出反应物和生成物的物质量。

使用十字相乘法，可以快速计算反应物和生成物的摩尔数，从而计算物质量。

5. 如何根据溶液浓度计算分子数？考生需要根据溶液的浓度来计算分子数。

使用十字相乘法，可以从摩尔数转换为分子数，并快速计算出分子数。

6. 如何计算化学反应速率？考生需要计算出反应的速率常数和反应物质的摩尔数。

十字相乘法可以帮助计算并转换摩尔数为速率常数，从而计算出反应速率。

7. 如何计算酸硫酸钠反应生成氢气的摩尔数？在酸硫酸钠反应中，生成的氢气摩尔数可以根据产生的气体体积和气体分压计算得出。

使用十字相乘法，可以将液体体积和气体分压转换为气体的摩尔数。

8. 如何计算氢氧化钠和氯化银反应生成氯化钠的质量？在这个问题中，考生需要计算反应物和生成物的摩尔数，并快速进行质量转换。

使用十字相乘法，可以轻松计算氢氧化钠和氯化银反应生成氯化钠的质量。

9. 如何计算碳酸铵分解产生的氨气的体积？在分解问题中，考生需要根据化学方程式计算出氨气的摩尔数。

使用十字相乘法，可以快速将摩尔数转换为气体体积，从而计算出产生的氨气的体积。

10. 如何计算硝酸铜溶液的浓度？在这个问题中，考生需要根据溶液的体积和稀释倍数计算出浓度。

十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。

将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。

- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。

2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。

将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。

- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。

3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。

把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。

- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。

4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。

x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。

- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。

5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。

将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。

- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。

6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。

把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。

十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项，为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；?当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．'例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；~(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．！例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-%(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++。

浓度十字相乘法公式例题一、基础型例题（1 - 10）例题1。

将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克，问20%和5%的盐水各需多少克？解析。

设20%的盐水需x克，5%的盐水需y克。

1. 首先根据混合后盐水总质量为600克，可得x + y=600。

2. 然后利用十字相乘法：- 对于20%的盐水和5%的盐水混合成15%的盐水，20%、15%、5%这三个浓度，根据十字相乘法原理(20% - 15%):(15% - 5%) = y:x，即5%:10%=y:x = 1:2。

- 因为x + y = 600且x:y = 2:1，所以x = 400克，y = 200克。

例题2。

现有浓度为30%的酒精溶液和浓度为60%的酒精溶液，要配制成浓度为40%的酒精溶液300克，两种溶液各需取多少克？解析。

1. 设30%的酒精溶液取x克，60%的酒精溶液取y克，则x + y=300。

2. 用十字相乘法，(60% - 40%):(40% - 30%)=x:y，即20%:10% = x:y=2:1。

- 又因为x + y = 300，所以x = 200克，y = 100克。

例题3。

有甲、乙两种糖水，甲糖水浓度为10%，乙糖水浓度为20%，要得到浓度为16%的糖水500克，甲、乙两种糖水各需多少克？解析。

1. 设甲糖水需x克，乙糖水需y克，有x + y = 500。

2. 十字相乘法：(20% - 16%):(16% - 10%)=x:y，即4%:6%=x:y = 2:3。

- 由x + y = 500且x:y = 2:3，可得x = 200克，y = 300克。

例题4。

浓度为70%的硫酸溶液和浓度为20%的硫酸溶液混合，要配制成浓度为50%的硫酸溶液1200克，两种溶液各需多少克？解析。

1. 设70%的硫酸溶液需x克，20%的硫酸溶液需y克，x + y = 1200。

2. 十字相乘法：(70% - 50%):(50% - 20%)=y:x，即20%:30% = y:x=2:3。

因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。

这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

【思考】10~20以内的平方数心算办法。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。

例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。

高中化学的十字相乘法十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。

适用范围：“十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。

例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。

可知其中乙烯的质量分数为（ ）A.25.0%B.27.6%C.72.4%D.75.0%解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。

这样，乙烯的质量分数是：ω（C 2H 4）=321283283⨯+⨯⨯×100％=72.4% 答案：C 。

（解毕）二、十字交叉法的解法探讨：1.十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c(a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。

如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b解之，得： ba c a xb a bc x --=---=1, 即：ca b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式：为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：3.解法关健和难点所在：十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。

究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。

关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。

十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- 变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++ 3、2()6()16x y x y +++- 4、2()7()30x y x y +++- 例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- ⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+- ⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+ （2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。

“十字相乘法”是怎样理解，怎样用，原理是什么“十字相乘法”是怎样理解，怎样用，原理是什么1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。