则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.
根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明：
•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)
同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②
设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.
此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.
由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.
即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.
由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)
证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)
①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.
由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.
即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.
由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)
法则2的证明：
lim(A n-B n)
=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)
=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)
=A-B.
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.
证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④
设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.
此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.
由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数
即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.
由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.
法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.
则 liman=lim(An-A)
=limAn+lim(-A)( 法则 1)
=A-A (引理 2) =0.
同理 limbn=0.
/• lim(A n • Bn)
=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)
=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB
=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)
=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.
引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.
证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £
引理5:若limAn存M,使得对所有正整数
n,有|An| w
M.
证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可
法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.
由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.
现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：
当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);
当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);
现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有
|An/Bn-A/B|
=|A n*B-B n*A|/|B*B n|
=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|
w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)
(M+K)/((M+K+1)< £
法则5的证明：
lim(An 的k次方)
=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)
=(limAn)的k次方
=A的k次方.
