高三数学课件：极限的四则运算3

重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。

n

an
)

c

a
上述法则表明:若两个数列都有极限,
那么这两个数列的和,差,积,商数列的
极限,分别等于这两个数列的极限的
和,差,积,商(各项作为除数的数列的
极限不能为0)
运算法则的实质是:在极限存在 的前提下,极限运算与加,减,乘, 除运算可以交换顺序.
注意:运算法则必须在两个数列 的极限都存在的前提下使用;且 运算法则可推广到有限个数列 的情况,但不适用于无限多个的 情况.
2.4 极限的四则运算(3)
一.数列极限的四则运算法则 :
如果 lim n
an

a,
lim
n
bn
b, 那么
nlim[an bn ] a b
nlim[an bn ] a b
lim an a (b 0)
b n n
b
特别地 : 若c为常数,则
lim (c
S
是面积
n
(n 3,4,5,)
(1)Sn与rn , Pn有什么关系?
(2)求
lim
n
rn与
lim
n
Pn
(3)利用(1)(2)的结果,
rn R O
说明圆面积
公式S R2
例2.在一个以AB为弦的弓形中, C为 弧AB的中点,自A, B分别作圆弧AB的 切线, 交于D点, 设x为弦AB所对的圆 心角, 求 lim SABC 的值.
S x0 ABD
例2.在一个以AB为弦的 弓形中,C为弧AB的中点, D
自A, B分别作圆弧AB的
切线, 交于D点, 设x为弦
AB所对的圆
心角,求 lim
SABC

• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim

x l x 0 iC m C ,(C 是)x l常 ;x 0 ix k m x 0 k 数 ,(k N * )
谢谢！
xiexie!
xx0
li[m C(xf) ]Clim f(x)（C为常数）
x x0
x x0
li[m f(x)n] [lim f(x)n(]n N *)
x x0
x x0
x l im x 0x n (x l im x 0x )n x 0 n ,即 x l im x 0x n x 0 n
1
处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析式中， 就得到极限值。
这组题目可以把x=x0代入函数的解析式中， 就可以了.所以求某些函数在某一点x=x0处的极限 值时，只要把x=x0代入函数的解析式中，就得到 极限值.这种方法叫代入法。
【小结】 1 .设f ( 多 x ) a 0 x n 项 a 1 x n 1 式 a n ,则有
12 5 1 4 21 3
0
x l 1 x 2 2 x 5 x 3 4 i m
例4：求lx im 1x2x22x13.
(0型) 0
【方法】消去零因子法
解：x1时,分子 ,分母的极限.都 ( 00 是 型 ) 零
先约去不为因 零子 x 的 1后 无 再 穷 求 .小 极
xx0
当 Q ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( x x ) ) i Q P ( ( x x 0 0 ) ) m
当 Q ( x 0 ) 0 且 P ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( i x x ) ) m
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)

定理 2 . 若
则有
说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
为无穷小
(详见P44)
定理 3 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理 , 得
为无穷小,
定理4: 若
且
则
例1. 设 n 次多项式
试证
证:
x = 3 时分母为 0 !
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例3.
若
例4 . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
一般有如下结果：
为非负常数 )
第一章
一、 极限的四则运算法则
二、 复合函数的极限运算法则
ห้องสมุดไป่ตู้第五节
极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由上节定理 2可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
定理 1 . 若
说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
( 如P46 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
三、 复合函数的极限运算法则

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

2.4极限的四则运算(1)
求下列函数的极限：
1、lim 1 x x
2、lim x 1 x x
3、lim ( x 1) x1
4、lim a x x
5、lxim1 x23x2 2xx211 6、lx im x23x2 2xx211
7、lx im x23x3 2xx211 8、lx im x23x4 2xx211
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓

p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 23 n
lim n
n2
1/2
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
பைடு நூலகம்
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan
2x
•
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n

x→x0
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .