江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A. 0 B. 12 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的定义求得结果. 【详解】()221112z i =-+=-+=本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()UA B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D.{|12}x x -<【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题. 3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠ B. α∀∈R ，sin 0α≠ C. α∀∈R ，sin 0α< D. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠ 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. y x =C. 3y x =-D. )lny x =【答案】D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误； 3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0x ≥x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. -1 B. 1C. ±1D. 2【答案】C 【解析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果. 【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意 当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q qq--=--，即212q+=，解得：1q =-综上所述：1q =± 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误.6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D 【解析】 【分析】记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥,所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ） A. 18种 B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A 【解析】 【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种． 故答案选A ．【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C 【解析】 【分析】写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=，第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=， 第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=， 第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=.故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可. 【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤， 即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ， 当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确； 当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形， 所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误； 故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题.10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b= (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】 【分析】联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a=±设直线方程为：)y x c =+由)y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b=；同理可得：Bc y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒=A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a =24A B C x x ax +∴==，2A B C y y y +==COC Cy k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (0,2]D. (0,2)【答案】A 【解析】 【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2aπ，又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果. 【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____.【答案】21n - 【解析】 【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果.【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】231,⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为3(),22μλλμ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32所以点13,22A ⎛- ⎝⎭ ，点13,22B ⎛ ⎝⎭， 故132OA ⎛=- ⎝⎭，132OB ⎛= ⎝⎭，即32OA λλλ⎛=- ⎝⎭，32OB μμμ⎛= ⎝⎭，所以 3()2OC OA OB μλλμλμ⎛-+=+= ⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故11221x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ，因为(,)2OC OA OB x y μλλμ⎛-=+== ⎝⎭，1≤≤，解得：13λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为1,3⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量的线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+ 12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)XN 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EB AB 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EBAB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点,所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********, 所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20x y x z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===⨯225252n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点，所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题． 四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= +34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ， 所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆取得最大值为：+324【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。
