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数学建模之稳定性模型解答

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数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。

3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。

作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的，则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。

将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。

()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分）记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ，k v ）定义为决策。

姜启源 数学模型第五版-第1章

姜启源 数学模型第五版-第1章


1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O

A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
什么是数学模型

什么是数学模型

2 3
V kS
3/ 2
v ks
3/ 2
V n v
3/ 2
应用
V n ( nv) nv
V是 nv是 n 倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 1.4 公斤馅
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
开展数学建模教学的目的
1.培养学生的数学素质和创新能力
• 培养学生分析问题和解决问题的能力 • 培养学生的想象力 • 培养学生的洞察力
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
数学建模竞赛
数学建模竞赛的开展情况
• 20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模 教材较集中地出现在70年代）。
• 20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版 第1本教材（《数学模型》，姜启源编，高教社）； 80年代末估计30~40所学校开课（数学系，讲座）。
• 1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办， 1989 年我国大学生开始参加这项竞赛。 • 1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，1999 年有26省（市、自治区）460所学校参加。
高中数学建模试题及答案

高中数学建模试题及答案

高中数学建模试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数学建模的一般步骤不包括以下哪一项？A. 问题提出B. 模型假设C. 模型求解D. 数据收集答案：D2. 在数学建模中，模型的验证通常不包括以下哪一项？A. 模型的逻辑性检验B. 模型的适用性检验C. 模型的稳定性检验D. 模型的美观性检验答案：D3. 以下哪一项不是数学建模中常用的方法？A. 微分方程B. 线性规划C. 概率论D. 文学创作答案：D4. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的要素？A. 模型的假设B. 模型的变量C. 模型的参数D. 模型的结论答案：D5. 数学建模中，以下哪一项不是模型的分类？A. 确定性模型B. 随机性模型C. 静态模型D. 动态模型答案：C6. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的构建过程？A. 模型的假设B. 模型的建立C. 模型的求解D. 模型的发表答案：D7. 数学建模中，以下哪一项不是模型的分析方法？A. 数值分析B. 符号计算C. 图形分析D. 文字描述答案：D8. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的优化方法？A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 统计分析答案：D9. 数学建模中，以下哪一项不是模型的应用领域？A. 工程技术B. 经济管理C. 生物医学D. 音乐艺术答案：D10. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的评估标准？A. 模型的准确性B. 模型的简洁性C. 模型的可解释性D. 模型的复杂性答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 数学建模的一般步骤包括：问题提出、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型验证和______。

答案：模型报告2. 在数学建模中，模型的假设应该满足______、______和______。

答案：科学性、合理性、可行性3. 数学建模中，模型的求解方法包括解析方法和______。

答案：数值方法4. 数学建模中，模型的分析方法包括______、______和______。

数模期末考试试题及答案

数模期末考试试题及答案

数模期末考试试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数学建模中，以下哪项不是模型的基本组成部分？A. 假设B. 模型C. 符号D. 结果答案：D2. 在数学建模中，以下哪项不是模型的类型？A. 确定性模型B. 随机模型C. 动态模型D. 静态模型答案：D3. 数学建模中，以下哪项不是模型的建立步骤？A. 模型准备B. 模型假设C. 模型求解D. 模型验证答案：D4. 数学建模中，以下哪项不是模型的验证方法？A. 残差分析B. 敏感性分析C. 模型拟合D. 模型优化答案：D5. 在数学建模中，以下哪项不是模型的分析方法？A. 数值分析B. 图形分析C. 符号分析D. 以上都是答案：C6. 数学建模中，以下哪项不是模型的应用领域？A. 工程领域B. 经济领域C. 社会科学领域D. 艺术领域答案：D7. 在数学建模中，以下哪项不是模型的优化方法？A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 概率论答案：D8. 数学建模中，以下哪项不是模型的预测方法？A. 时间序列分析B. 回归分析C. 马尔可夫链D. 微分方程答案：D9. 在数学建模中，以下哪项不是模型的稳定性分析方法？A. 李雅普诺夫稳定性理论B. 奈奎斯特稳定性准则C. 劳斯-赫尔维茨稳定性准则D. 傅里叶变换答案：D10. 数学建模中，以下哪项不是模型的误差分析方法？A. 误差传播B. 误差估计C. 误差校正D. 误差消除答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 数学建模的一般步骤包括：____、____、____、____、____。

答案：模型准备、模型假设、模型求解、模型验证、模型分析2. 确定性模型是指模型的输出与输入之间具有____的关系。

答案：确定性3. 在数学建模中，模型的敏感性分析用于研究模型输出对模型参数的____。

答案：敏感性4. 数学建模中，模型的稳定性分析是研究模型在受到____时，其输出是否能够保持稳定。

数学建模经典案例详解

数学建模经典案例详解


数学模型概述; 微积分模型；随机模型
P24
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
模 型
了解实际背景 明确建模目的 形成一个
准
比较清晰
备 搜集有关信息 掌握对象特征 的‘问题’
数学建模.
数学模型概述; 微积分模型；随机模型
数学建模的一般步骤
模
针对问题特点和建模目的
将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践 理论 实践
数学建模.
数学模型概述; 微积分模型；随机模型
P28
1.5 数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的非预制性
模型的渐进性 模型的强健性
模型的条理性 模型的技艺性
模型的可转移性
模型的局限性
数学建模.
• Matlab (工程中应用最广的数学软件 Matrix Laboratory)
数学建模.
数学模型概述; 微积分模型；随机模型
P11
1.2 数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理

如虎添翼
数学建模
计算机技术
知识经济
数学建模.
数学模型概述; 微积分模型；随机模型
p5931报童的诀窍假设报童已经掌握了需求量的随机分布规律即在他的销售范围内每天报纸的需求量为份的概率是购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量即日收入的数学期望值数学模型概述
数学建模的一般步骤和案例

数学建模的一般步骤和案例

2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
1、中间柱体体积的计算变换
油位探针
β
横向变位 前油液面
横向变位 后油液面
h0 h
图11 储油罐横向变位示意图
h R ( R h0 ) cos R(1 cos ) h0 cos
2、球冠体积的计算

容易计算球冠的半径为1.625m
Y
计算体积可以近似看做高为
h 2 tan
1m O 1.625m X
h 2tan 的球缺的体积，
数学建模-模型优缺点评价

数学建模-模型优缺点评价

数学建模-模型优缺点评价
数学建模中模型的优劣评价主要从以下几个方面考虑：
1.模型的准确性：模型的准确性是评价一个模型好坏的重要指标。

模型要能够准确地描述和解释问题的本质和内在规律，并能够预测未知情况或进行决策。

2.模型的简化程度：模型要尽可能简化而不失准确性，避免过度复杂和冗余的参数和结构。

简化的模型更易理解、计算和应用，降低了建模和计算的复杂度。

3.模型的可用性和通用性：模型应具有广泛的适用性和通用性，能够解决多个相关的问题，而不仅仅是特定场景下的一个问题。

模型能够应用于实际情境中，并能得到可靠的结果。

4.模型的稳定性和可靠性：模型应具备良好的稳定性和可靠性，保证模型在不同数据条件下有一致的表现，减小误差和波动。

此外，模型应该对输入数据和参数的变化具有一定的鲁棒性。

5.模型的可解释性：一个好的模型应该具备可解释性，即模型能够清晰地解释和说明问题的本质，能够对模型的结果进行合理的解读和解释。

模型解释能够帮助人们理解问题背后的原理和规律。

综上所述，模型的优劣评价需要综合考虑准确性、简化程度、可用性、通用性、稳定性、可靠性和可解释性等多个因素，并根据具体问题的需求和应用背景进行综合评估。

《数学建模》复习思考题答案

《数学建模》复习思考题答案

（0349）《数学建模》复习思考题答案一、名词解释1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。

5．测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。

7．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。

8．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。

9．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。

10．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。

11．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。

12．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。

13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。

14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。

15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。

数学建模 微分方程模型讲解

数学建模 微分方程模型讲解


量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模答案 (5)

数学建模答案 (5)

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是系统知识的抽象表示。

我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。

知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。

而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。

通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。

而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。

2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。

具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。

3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。

从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

数学建模评价指标体系

数学建模评价指标体系随着数学建模在各个领域的广泛应用，对于数学建模的评价也变得越来越重要。

为了有效评价数学建模的质量和效果，需要建立一个科学合理的评价指标体系。

本文将从数学建模的目标、过程和结果三个方面，介绍一套完整的数学建模评价指标体系。

一、目标评价指标数学建模的目标是解决实际问题，并提供决策支持。

因此，评价指标体系首先应包括对于问题解决的效果进行评估的指标。

常用的目标评价指标有：1. 准确性：评估模型对于实际问题的解决程度，包括模型的预测准确度、误差分析等。

2. 稳定性：评估模型对于输入数据的变化和扰动的响应程度，包括模型的鲁棒性、敏感性分析等。

3. 可靠性：评估模型的可信程度，包括模型的验证和验证结果的可靠性。

4. 可解释性：评估模型对于问题的解释程度，包括模型的可解释性、解释结果的合理性等。

二、过程评价指标数学建模的过程包括问题分析、模型建立、模型求解和结果验证等环节。

评价指标体系还应包括对于数学建模过程的评估的指标。

常用的过程评价指标有：1. 问题分析能力：评估团队对于实际问题的分析能力，包括问题定义的准确性、问题分析的深度和广度等。

2. 模型建立能力：评估团队对于问题建立数学模型的能力，包括模型的合理性、模型的创新性等。

3. 模型求解能力：评估团队对于模型求解的能力，包括数学方法的选择和应用、算法的设计和实现等。

4. 结果验证能力：评估团队对于模型结果的验证能力，包括对比实际数据和模型结果、误差分析等。

三、结果评价指标数学建模的结果是模型的输出和解决方案。

评价指标体系还应包括对于数学建模结果的评估的指标。

常用的结果评价指标有：1. 实用性：评估模型和解决方案的实际应用价值，包括解决问题的效果、解决问题的可行性等。

2. 经济性：评估模型和解决方案的成本效益，包括模型和算法的复杂度、计算资源的消耗等。

3. 可行性：评估模型和解决方案的可行性，包括技术可行性、实施可行性等。

4. 创新性：评估模型和解决方案的创新程度，包括模型的新颖性、解决方案的独特性等。

数学模型与数学建模

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1. 1数学模型与数学建模
• 从而解释或描述某一系统或过程.数学模型对我们其实并不陌生.如牛 顿第二定律F=ma就是一个典型的数学模型;欧姆电路定律I=U/R也是 一个数学模型;历史上著名的七桥问题的答案更是一个巧妙的数学模 型。
• 七桥问题18世纪东普鲁士哥尼斯误被普列格尔河分为四块.它们通 过七座桥相互连接(图1. 2).当时.城里的市民热衷于这样一个游 戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发.经每座桥一次且仅一次到 出发点?实时控制，其控制过程原理方框图 如图8-1所示。由A/D转换器把由传感器采集来的模拟信号转 换成为数字信号，送计算机处理，当计算机处理完数据后， 把结果或控制信号输出，由D/A转换器转换成模拟信号，送 执行元件，对控制对象进行控制。可见，ADC和DAC是数字 系统和模拟系统相互联系的桥梁，是数字系统的重要组成部 分。
科的专门知识外.还常常需要较广阔的应用数学方面的知识.以开拓思 路.
• N模型求解本环节对建立的模型可以采用解方程、问图形、证明定
理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法.特别是计
算机技术进行求解.确定模型所涉及关键参量的结果.
• V模型分析对模型结果及算法进行理论上的分析.
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1. 1数学模型与数学建模
• 初始状态:x(0)=0,y(0)=h.x‘(0)=vcos0,y'(0)=vsin0.但如果考虑空气 阻力.问题的理解似乎并不那么简单.比如:空气阻力和什么因索有关? 关系如何?阻力对投掷距离的影响怎样?如果考虑这些附加问题会对建 立模型
• 那么.为什么还要再根据实际问题不断去修正、完善数学模型呢?实 际中.建立问题的模型不一定一次就能成功.不成功时自然需要根据实 际问题对模型加以改进、调整.最终让模型接近现实原形.否则.建立不 能反映实际状况的模型又有什么用呢?然而·模型只能近似描述实际问 题.不能苛求与真实事物完全吻合.

数学建模 建立函数模型解决实际问题


数学 必修 第一册 A
返回ห้องสมุดไป่ตู้航
谢谢观看！
Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；① 其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大．
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得 t＝6r－3g0rg－3. ②
当 r＝2.5，g＝0.1 时，t＝36，Q(36)＝324，即 36 天后出售，可得最大纯利润 324 元．
第四章 指数函数与对数函数
2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、 水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y 表 示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模xx－＋yy××5300＝＝775500.， 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解yx＝＝52.0，
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常 数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)．
解 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)
x＋y×30＝750， x－y×50＝750.
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模 型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右 端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验．

数学建模和模型


常用的计算公式 k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
如何预报人口的增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
18:31
数学建模实例二

假设 汽车在两个相邻减速带之间一直做等加速运动和 等减速运动 需要得到汽车的加速度和减速度 方法一 查阅资料
速度（km/h） 时间（s） 0 0

方法二：进行测试 加速行驶的测试数
10 1.6 20 3.2 30 4.0 40 5.0
减速行驶的测试数
速度（km/h） 40 时间（s） 0 30 2.2 20 4.0 10 5.5 0 6.8
18:31
数学建模实例一
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数学建模实例一


通常，1kg面，1kg馅，包100个饺子（汤圆）
现在1kg面不变，馅比1kg多了，问应多包几个 （每个小一点）,还是少包几个（每个大一点）？ … S ( 共 n个 ) S S S S

V

v
v
v
v
定性分析

数模期末考试试题及答案

数模期末考试试题及答案 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 数学建模中，以下哪个步骤是正确的？ A. 问题定义 → 模型假设 → 模型求解 → 模型验证 B. 模型假设 → 问题定义 → 模型求解 → 模型验证 C. 问题定义 → 模型求解 → 模型假设 → 模型验证 D. 模型假设 → 模型求解 → 问题定义 → 模型验证

答案：A 2. 在数学建模中，以下哪个不是模型的基本要素？ A. 变量 B. 参数 C. 函数 D. 数据 答案：D 3. 对于一个数学模型，以下哪个说法是错误的？ A. 模型应该尽可能地简化 B. 模型应该尽可能地精确 C. 模型应该尽可能地符合实际 D. 模型应该尽可能地包含所有相关因素

答案：D 4. 在数学建模中，以下哪个方法不是常用的优化方法？ A. 线性规划 B. 非线性规划 C. 动态规划 D. 概率论

答案：D 5. 在数学建模中，以下哪个软件不是常用的数学建模软件？ A. MATLAB B. Mathematica C. Python D. Photoshop

答案：D 6. 数学建模中，以下哪个步骤是用于评估模型的？ A. 模型假设 B. 模型求解 C. 模型验证 D. 模型分析

答案：C 7. 在数学建模中，以下哪个不是模型的类型？ A. 确定性模型 B. 随机模型 C. 静态模型 D. 动态模型

答案：C 8. 在数学建模中，以下哪个不是模型的分析方法？ A. 敏感性分析 B. 稳定性分析 C. 可行性分析 D. 可靠性分析

答案：C 9. 在数学建模中，以下哪个不是模型的验证方法？ A. 残差分析 B. 交叉验证 C. 模型拟合 D. 模型优化 答案：D 10. 在数学建模中，以下哪个不是模型的应用领域？ A. 经济 B. 工程 C. 生物 D. 文学

数学建模习题及答案

可得 ，若d一定，w趋于0， 趋于 /2；w趋于 d， 趋于0。若管道长度为 ，不考虑两端的影响时布条长度显然为 d /w，若考虑两端影响，则应加上 dw/sin 。对于其它形状管道，只需将 d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
若 ,则 , 是平衡点; 的平衡点为 . 的平衡点为 ,其中 ,此时的差分方程变为
.
由 可得平衡点 .
在平衡点 处,由于 ,因此, 不稳定.
在在平衡点 处,因 ,所以
(i) 当 时,平衡点 不稳定;
(ii) 当 时,平衡点 不稳定.
第
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）单位重量价格 ，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长 的立方成正比，即 ， 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 ， 为比例系数。
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模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
时数量变化均服从Logistic规律;
•
两种x群1 (t在) 一r起1x1生(1存 时Nx11，) 乙对甲x2增(t长) 的r2阻x2滞(1作
x2 N2
)
用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。
模型
x1
(t
)

r1
x11

x1 N1


r 2
x 2
1


2

x1 N1

x2 N2


f
(x1, x2 )

r1x11

x1 N1
1
x2 N2


0


g
(
x1
,
x2
)


r2 x2 1 2

x1 N1

x2 N2

0
平衡点： P1(N1,0), P2 (0, N2 ),
假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用c
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
单位时间利润 R T S pEx cE
稳定平衡点 x0 N(1 E / r)
R(E) T (E) S(E) pNE(1 E ) cE r
求E使R(E)最大
ER

会稳定，否则军备将无限扩张。
2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
即友好邻国通过裁军可达到永久和平。
模型的定性解释
模型
x(t) x ky g

y (t )

lx

y

h
, ~ 本方经济实力的制约；
k, l ~ 对方军备数量的刺激；
F(x) 0 f 与h交点P
E r x0稳定 0
x0*=N/2 x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
产量最大
P*
(
x* 0

N
/
2,
hm

rN
/ 4)
E* hm / x0* r / 2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞
强度使效益最大.
第六章 稳定性模型
6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。
• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
1
x2 N2

x2 (t) r2x21 2

x1 N1

x2 N2

对于消耗甲的资源而
言，乙(相对于N2)是甲
(相对于N1) 的 1 倍。
1 1
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强
模型
模型 分析
x (t) 1


r 1
x 1
1


x1 N1
1
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型 在捕捞量稳定的条件下，
控制捕捞强度使产量最大 图解法
F(x) f (x) h(x)
y
f (x) rx(1 x )
N
hm
h(x) Ex
h
y=rx y=E*x
y=h(x)=Ex
P*
P
y=f(x)
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模
x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
x(t) x ky g
y(t) lx y h
g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。
3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)
很小，但因 x 0, y 0，也会重整军备。
4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0，
也会因 x ky g 使该方重整军备， 即存在互不信任( k 0 ) 或固有争端( g 0 ) 的单方面
lx

y

h
平衡点
x0

kh g kl
,
y0

lg h kl
双方军备稳定(时间充分 , ~ 本方经济实力的制约；
长后趋向有限值)的条件 k, l ~ 对方军备数量的刺激；
kl
g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才
x2 N2

x (t) 2


r 2
x 2
1


2

x 1
N1

x 2
N2

t 时x (t), x (t)的趋向 (平衡点及其稳定性)
1
2
(二阶)非线性 x1(t) f (x1, x2 ) 的平衡点及其稳定性 (自治)方程 x2 (t) g(x1, x2 )
f (x , x ) 0
6.1 捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）
• 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在鱼量稳定的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳。
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
产量模型


P0
p>0且q>0
2 p q 0
p ( f x1 g x2 ) P0 q det A
p<0或q<0
平衡点 P0稳定(对2,1)
平衡点 P0不稳定(对2,1)
模型
x (t) 1


r
1
x 1
1


x1 N1
1
x2 N2

x 2
(t)
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x 0 x x
x x0
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)

F(x) 0
平衡点
x0

N (1
E ), r
x1 0
稳定性判断 F(x0 ) E r, F(x1) r E
E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0稳定, x1不稳定
E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0不稳定, x1稳定
,
x2
)


r2 x2 1 2

x1 N1

x2 N2

A


f x1 g x1
fx2
g
x
2


r1
1


2 x1 N1

r2
2 x2

1 x2
N2

N1
r11x1
N2

r2 1
2 x1
N1

2x2 N2
, ~ 本方经济实力的制约；
k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。
军备竞赛的结局 t 时的x(t)，y(t) 微分方程的平衡点及其稳定性
线性常系数 微分方程组
x(t) ax by y(t) cx dy
的平衡点及其稳定性
ax by 0
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
(1)的近似线性方程
x F(x )(x x ) (2)
0
0
F(x0 ) 0 x0稳定(对(2),(1))
F(x0 ) 0 x0不稳定(对(2),(1))
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c e c e 1t 1
2t 2
1,2为负数或有负实部
p>0且q>0 p<0或q<0
平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定
军备竞赛
模型
x(t) x ky g

y (t )

lx

y

h
平衡点
x0

kh g kl
,
y0

lg h kl
P3
N1(11) , 11 2
N2 (1 2 11 2
)
,
P4
(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
平衡点稳 定性分析

f
(x1, x2 )

r1x11
x1 N1
1
x2 N2



g
(
x1
稳定性判断
系数 矩阵
A