数学分析课后习题答案1.2

2、设 S 为非空数集,试给出下列概念的定义: ⑴数集 S 没有上界; ⑵数集 S 无界. 解: ⑴设 S 为一非空数集,若对任意的 M > 0 ,总存在 x 0 ∈ S ,使 x 0 > M ,则称数集 S 没有 上界 ⑵设 S 为一非空数集,若对任意的 M > 0 ,总存在 x 0 ∈ S ,使 x 0 > M ,则称数集 S 无界
3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证: S = y y = 2 − x x ∈ R} .
2ห้องสมุดไป่ตู้
{
对任意的 x ∈ R , y = 2 − x ≤ 2 所以数集 S 有上界 2
2
而对任意的 M > 0 ,取 x1 =
3 + m ,则 y1 = 2 = x1 = 2 − 3 − M = −1 − M ∈ S ,
sup a r r为有理数 } ，当a > 1 , x 8.设 a > 0 , a ≠ 1 , x 为有理数,证明: a = r < x inf a r r为有理数 } ，当a < 1 , r<x
证: 只证 a > 1 的情况, a < 1 的情况可以类似地予以证明. 设 E = {a r为有理数 ， r < x} . 因为 a > 1 , a 严 格 递 增 , 故对 任 意 的有理 数 r < x , 有
或
x < 0
2 6 x ≤ x + 1 ≤ −6 x
前 一 不 等 式 组 的 解 为 x ∈ [3 − 2 2 , 3 + 2 2 ] ， 后 一 不 等 式 组 解 为
x ∈ [−3 − 2 2 ,− 3 + 2 2 ] .
因此原不等式解为 x ∈ [−3 − 2 2 ,− 3 + 2 2 ]
2
但 y1 < − M ,因此数集 S 无下界
4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴ S = x x < 2}
2
{
⑵ S = x x = n! , n为自然数} ; ⑶ S = x x为(0 ,1)内的无理数} ; ⑷ S = x x = 1 −
{ {

1 , n = 1, 2 , } 2n
[3 − 2
2 ,3 + 2 2]
⑶令 f ( x) = ( x − a )( x − b)( x − c) ,则由 a < b < c 知:
< 0 , x ∈ (−∞ , a ) (b , c) ; f ( x) = > 0 , x ∈ (a , b) (c , + ∞) ;
ε
2
, x1 = − 2 +
ε
2
使 x 0 、 x1 ∈ S ，但 x 0 >
2 − ε ， x1 < − 2 + ε ，所以 sup S = 2 , inf S = − 2
⑵ sup S = +∞ , inf S = 1 ,以下依定义加以验证. 对任意的 x ∈ S ， 1 ≤ x < +∞ ，所以 1 是 S 的下界. 对任意的自然数 n , n!< +∞ ,所以 sup S = +∞ ; 对任意的 ε > 0 ,存在 x1 = 1! = 1 ∈ S ,使 x1 < 1 + ε ,所以 inf S = 1 ⑶ sup S = 1 , inf S = 0 ,以下依定义加以验证. 对任意的 x ∈ S ，有 0 < x < 1 ，所以 1、0 分别是 S 的上、下界. 又对任意的 ε > 0 ,取 0 < η < ε ，且使 1 − η 为无理数，则 1 − η ∈ S ， 1 − η > 1 − ε 所以 sup S = 1 ； 由 η 的取法知 η 是无理数， η ∈ S ， η < ε = 0 + ε ，所以 inf S = 0
x
所以 a = sup E ,即 a =
x
x
sup{a
r<x
r
r为有理数}
证明: ⑴ sup( A + B ) = sup A + sup B ⑵ inf( A + B ) = inf A + inf B 证: ⑴设 sup A = η1 , sup B = η 2 . 对任意的 z ∈ A + B ,存在 x ∈ A , y ∈ B ,使 z = x + y . 于是 x ≤ η1 , y ≤ η 2 ,从而 z ≤ η1 + η 2 对任意的
−
由S
−
= {x − x ∈ S } 知, 对任意的 − x ∈ S , − ξ ≤ −ξ ,且存在 − x0 ∈ S ,使 − ξ0 > −ξ − ε ,
−
由上确界的定义知 sup S 同理可证⑵式成立.
= −ξ ,即 inf S − = − sup S .
B 皆为非空有界数集,定义数集 A + B = {z z = x + y , x ∈ A , y ∈ B} . 7.设 A 、
r
{ {
r
a r < a x ,即 a x 是 E 的一个上界.
对任意的 ε > 0 ,不妨设 ε < a ,于是必存在有理数 r0 < x ,使得 a − ε < a
x x x x
x x
r0
< ax .
事实上,由 log a x 递增知: 0 < a − ε < a 等价于 log a ( a − ε ) < log a a = x 取有理数 r0 ,使得 log a ( a − ε ) < r0 < x .
ξ = min S .
设 ξ = min S ,则 ξ ∈ S ,下面验证 ξ = inf S . Ⅰ 对一切 x ∈ S ,有 ξ ≥ ξ ,即 ξ 是 S 的下界. Ⅱ 对任何 β > ξ ,只须取 x 0 = x ∈ S ,则 x 0 <
β ,从而 ξ 不是 S 的下界,
故 ξ = inf S .
因此 f ( x) > 0 当且仅当 x ∈ ( a , b) 因此原不等式的解为 x ∈ ( a , b)
(c , + ∞ ) ;
(c , + ∞ ) .
⑷当 x ∈ [
π 3π
4 , 4
] 时 sin x ≥
2 . 2
由正弦函数的周期性知 sin x ≥
π 3π 2 的解是 x ∈ [2kπ + , 2kπ + ] ,其中 k 是整数 4 4 2
解 ⑴原不等式等价于以下不等式组 前一不等式组的解为 x ≤
1 ，后一不等式组无解. 2
1 2
所以原不等式的解为 x ∈ − ∞ ,
⑵不等式 x +
1 1 ≤ 6 等价于 − 6 ≤ x + ≤ 6 x x
x > 0
2 − 6 x ≤ x + 1 ≤ 6 x
这又等价于不等式组
§2 数集 确界原理
1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴ 1− x − x ≥ 0 ; ⑵ x+
1 ≤ 6; x
⑶ ( x − a )( x − b)( x − c) > 0 ( a 、 b 、 c 为常数,且 a < b < c )
⑷ sin x ≥
2 2
x < 1 x ≥ 1 或 1 − x − x ≥ 0 x − 1 − x ≥ 0
ε > 0 , 必 存 在 x 0 ∈ A , y 0 ∈ B 且 x 0 > η1 −
ε
2
, y0 > η 2 −
ε
2
,则存在
z 0 = x0 + y 0 ∈ A + B ,使 z 0 > (η1 + η 2 ) − ε ,
所以 sup( A + B ) = η1 + η 2 = sup A + sup B ⑵同理可证
1 1 1 1 1 = ∈ S , x = 1− = < + ε 2 2 2 2 2 1 所以 inf S = 2
又 x = 1−
5. 设 S 为非空有下界数集.证明: inf S = ξ ∈ S ⇔ ξ = min S 证 : 设 ξ = inf S ∈ S , 则对一切 x ∈ S 有 ξ ≥ ξ , 而 ξ ∈ S , 故 ξ 是数集 S 中最小的数 , 即
解: ⑴ sup S = 由 x < 2知−
2
2 , inf S = − 2 ,以下依定义加以验证.
2 < x < 2 ,因之对任意的 x ∈ S ,有 x < 2 且 x > − 2 ,
即 2,−
2 分别是 S 的上、下界.
2−
又对任意的 ε > 0 ,不妨设 ε < 2 2 ,于是存在 x 0 =
1 ,以下依定义加以验证. 2 1 1 对任意的 x ∈ S ，有 ≤ x ≤ 1 ，所以 1、 分别是 S 的上、下界. 2 2 1 1 对任意的 ε > 0 ，必存在自然数 k ，使 x k = 1 − k ∈ S ，且 x k = 1 − k > 1 − ε 2 2
⑷ sup S = 1 , inf S = 所以 sup S = 1
6.设 S 为非空数集,定义 S
−
−
= {x − x ∈ S } ,证明:⑴ inf S − = − sup S ⑵ sup S − = − inf S
−
证: ⑴设 ξ = inf S ,由下确界的定义知,对任意的 x ∈ S ,有 ξ ≥ ξ ,且对任意的 ε > 0 ,存 在 x 0 ∈ S ,使 ξ 0 < ξ + ε