第22章第15课时二次函数y=ax2的图象和性质

体验画图
x ┄ -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ┄
y ┄ 9 6.25
4 2.25
1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25
┄
9
(2)为了初步验证以上画图 的合理性，我们将上表中 x取值细化(取每两整数点 的中点)，尝试连接这所 有13个点：
y 10
y=x2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x
体验画图
（3）为了更精确验证这个函数图象，可以运用计 算机辅助，取每两个整数点的三等分点，乃至100 等分点，并将这些点连接起来.
它类似于投篮和投掷铅球时，球在空中所经过 的路线，只是这条曲线叫做抛物线.
体验画图
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9 -10
y 1 x2
a<0
2
y 2x2 y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为 （__0_，__0）_的抛物线，反之，顶点在（0,0）
的抛物线的形式是__y__=__a_x_2_.
总结性质
2.填表：
y＝ax2
开口方向
a>0 向上
(1) y 3x2 ; (2) y 3x2 ;
(3) y 1 x2 ; 3
(4) y 1 x2. 3
基础练习
补充练习：
1.函数y=0，0) .
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 , 对称轴是 y 轴 ,顶点是 (0,0) .

例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.

（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5点) D的坐标为 ( 5,7)或 ( 5.,7)
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=o）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在增对大称轴的右侧，y随x的增大而 ， 减小 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
归纳二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
k>0
24
(1)一次函数的图象是一条_直___ 线

8、假设m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2
(m+3，y3)在抛物线 y
1 4
x2
上，那么
y1、 y2、y3的大小关系是
。
m2+m
9、 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1 ∴ m=1
它是抛物线 y x2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图象 解: (1) 列表
(2) 描点
1 2
8
2
0
2
8…
…
… -2
-1
0
1
2…
…8
2
(3) 连线
0
2
y 2x2 y
10
9
8
7
6
5
4
3 2
1
8
…
y x2
y 1 x2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y x2
7
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c〔a≠0〕
6 5
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
4 3
这条抛物线是轴对称
2
二次函数y = x 2 的图象图是形轴吗对？称如图果形是，，
1
对称轴是什么？
-5 -4 -3-2 -1 o1 2 3 4 5 x
对称轴是y轴
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 〔0，0〕叫做抛物线 y x2的顶点