14.3.1 提公因式法-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

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14.3 因式分解(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
因式分解的概念，提公因式法．
2．内容解析
因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式
乘法是互逆变形的关系．因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等
知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具．
提公因式法是因式分解的基本方法．通过逆向运用分配律，将多项式中各项的公因式
“提”到括号外边，从而把多项式分解为此公因式与多项式剩余部分所组成的因式的积．其
中，公因式可以是单项式，也可以是数或多项式．提公因式法分解因式的关键是找准公因式．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用提公因式法分解因式．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解因式分解的概念．
(2)了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生知道因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆变形
的关系，能识别某一式子的变形是否为因式分解．
达成目标(2)的标志：学生知道公因式就是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的
字母及多项式的最低次幂的积；知道公因式可以是单项式、也可以是数或多项式；知道提公
因式法分解因式要经历“找出公因式”“提取公因式”两个步骤，提取公因式就是把公因式
提到括号外面，括号内的因式即为多项式除以公因式所得的商式，并能按此步骤对多项式进
行因式分解．
三、教学问题诊断分析
因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形，学生第一次接触时在理解上会有一定的
困难．在对整式乘法的认识还不够深入的情况下，就遇到与之有互逆关系的新情境，学生有
时会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分
解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系．
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学生在运用提公因式法分解因式的过程中经常遇到的困难是公因式选取不准确，表现在
忽视了某些相同的字母或式子，导致提取公因式后的因式中仍然含有公因式．解决此问题的
关键是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积作
为公因式．
本节课的教学难点：正确理解因式分解的概念、准确找出公因式．
四、教学过程设计
1．了解因式分解的概念
问题1 上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项
式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)x2＋x＝___________； (2)x2－1＝___________．
追问1：根据整式的乘法，你能猜想出问题(1)(2)的结果吗？
追问2：在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式
子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．你认为因式分解与整式
乘法有什么关系？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，
学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中，了解因式分解
的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的
互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫．
练习
下列变形中，属于因式分解的是___________(填序号)．
(1)a(b＋c)＝ab＋ac；
(2)x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；
(3)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念．
2．探索因式分解的方法——提公因式法
问题2 你能试着将多项式pa＋pb＋pc因式分解吗？
(1)这个多项式有什么特点？
(2)你能将这个多项式因式分解吗？
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(3)因式分解的依据是什么？
(4)分解后的各因式与原多项式有何关系？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后学生代表展示求解过程．在回答(1)
后，学生能发现这个多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各
项的公因式．在得出pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项
有公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．教
师指出：这种分解因式的方法叫做提公因式法．
设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据；
了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式．
3．初步应用提公因式法
例1 把8a3b2＋12ab3c分解因式．
师生活动：师生共同分析，并解答问题．此时教师引导学生明白找8a3b2与12ab3c的公
因式的基本程序：先找系数8与12的最大公约数，再找出两项字母部分a3b2与ab3c都含的
字母a和b，然后找出都含的字母a和b的最低次数，进而选定8a3b2与12ab3c的公因式4ab2．
追问1：如果提出公因式4a，得出8a3b2＋12ab3c＝4a(2a2b2＋3b3c)，那么，另一个因
式2a2b2＋3b3c是否还有公因式呢？
追问2：如果提出公因式4b或4ab，那么，另一个因式是否还有公因式？
追问3：在利用提公因式法分解因式时应注意什么？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，互动交流，最后达成共识：用提公因式法分
解因式时，最后一定要满足各因式中再无公因式．
设计意图：通过例题的教学，引导学生：(1)了解提公因式法分解因式的基本程序和步
骤；(2)积累找公因式的经验——找到公因式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大
公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；(3)知道提公因式法就是把多项式
分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公
因式得到的；(4)用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．
例2 把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．
师生活动：学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流．
设计意图：此例题的公因式是多项式(b＋c)，通过此例题的教学，提高学生对“公因式”
的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质的认识．
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4．巩固应用提公因式法
练习1 把下列各式分解因式：
(1)ax＋ay； (2)3mx－6my； (3)8m2＋2mn；
(4)12xyz－9x2 y2； (5)2a(y－z)－3b(z－y)； (6)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．
师生活动：三名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后学生互动交流．
设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分
解的基本方法——提公因式法，积累解题经验．前4题的公因式为单项式，后两道题的公因
式为多项式．在前4题中，公因式有的只是一个字母构成的单项式，有的是有两个字母及系
数构成的单项式．在后两道题中，一个为直接提公因式，一个需要变形后再提公因式．
练习2 先分解因式，再求值：
4a2(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3．
师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过
程由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，提高对公因式的认
识，公因式可以是单项式、也可以是数或多项式，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此
方法的数学价值．
5．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
(3)提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么?
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因
式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维
品质的优化．
6．布置作业
教科书习题14.3第1题，第4题(1)．
五、目标检测设计
1．下列变形中是因式分解的是( )．
A．x(x＋1)＝x2＋x B．x2＋2x＋1＝(x＋1)
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C．x2＋xy－3＝x(x＋y)－3 D．x2＋6x＋4＝x(x＋3)2－5
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设计意图：考查学生对因式分解概念的理解．
2．分解因式：
(1)14 a3b－21a2b2c； (2)2m(m＋n)＋6 n(m＋n)．
设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解的掌握．
3．已知x－y＝3，x＋y＝7，求x(x－y)－y(y－x)的值．
设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解，并进行代数运算的掌握情况．