《应用数理统计》吴翊李永乐第一章数理统计的基本概念课后习题

第一章 数理统计的基本概念 课后习题参考答案 设对总体X得到一个容量为10的子样值：，，，，，，，，，，试分别计算子样均值X和子样方差2S的值。

解：12,nXXX为总体X的样本， 根据 121()nXXXXn 求得X=；

根据2211()niiSXXn 求得2S=。

设总体X的分布函数为xF，密度函数为xf，nXXX,,,21

为X的子样，求最大顺

序统计量nX与最小顺序统计量1X的分布函数与密度函数。 解： 将总体X中的样本按照从小到大的顺序排列成nXXX21

? n

nnnxFxxPxxPxxPxxPxF21

xfxnFxFxfnnn1'

n

nnxFxxPxxPxxPxxPxxPxxPxxPxF111111121

2111



xfxFnxFxfn1111'

设总体X服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,XXX，试问： (1)子样的平均值X大于13的概率为多少 (2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少 (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少 解： 。 

nIiXnXNX12

1

,,~





5412,N~X5411212121nXDnXDXEnXEniinii，

(1)1314.08686.0112.1n/-X15/41213n/-XP-113XP-113XPP (2) 5785.08412.011-XP-121210-XP-110P-110P551i51i51miniiiiXX (3) 2923.093315.015.1-XP-121215-XP-115P-115P551i51i51maxiiiiXX 试证： （1）22211()()()nniiiixaxxnxa 对任一实数a成立。并 且此证明当

ax时，21()niixa达到极小。

（2）22211()nniiiixxxnx 其中 11niixxn ￥ 证明：

（1）2211()()nniiiixaxxxa

22111()()2()()nnniiiiixxxaxxxa

 221211()()2()()nniniixxxaxxxnxxa



2211()()nniiixxxa



221()()niixxnxa



222111()2nnniiiiiixaxnaax



21(2)niixnaax



求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量a求导 得 220ax 即 ax ！ 根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也 是其相应的最值。

(2) 22111()2nnniiiiiixxxnxxx

21212()ninixnxxxxx



2212niixnxnx

21niixnx

设nXXX,,,21为正态总体2,N的样本，令niiXnd11 试证：nddE221D2， 证明: 令iixy 则2,0~Ny

i





2212202202iyiiiiidyeydyyfyyEdEi ? 

nn

xExEnxDnxnDdniniiiniiini2122212221212121111D



设总体X服从正态2,N，nXXX,,,21为其子样，X与2S分别为子样均值与方差。又设1nX与nXXX,,,21独立同分布，试求统计量111nnSXXYN的分布。 解： 01111111niinniinnXEnXEXnXEXXE

2

212111111111nnXDnnXDnnXnXnnDXXDinniinn





1,0~21nnNXXn



又1~222n

nS





1~111111ntnnSXXY

nSn

n

nXXNn



设(),Ttn求证 2(1,)TFn } 证明： 设2(0,1),(),XNYnX与Y独立，则称随机变量

()XTtnYn

那么221XTYn 其中22(1)X 根据F分布的定义得出：2(1,)TFn 设nXXX,,,21

独立，同服从指数分布，即密度函数为

00,00,xxexf

x

求证nXn2~22，其中niiXnX11 证明： 总体X的概率密度函数为：00,00,xxexfx | 令XXi2，则2

XXi22

212

12xxieeXf





即2~22iX 由可加性定理知nXXnnXnniinii2~2122211

设1,,,21nXXX与2,,,21nYYY分别来自总体21,N和22,N且相互独立，和是两个已知常数，试求





221221222211212nnnn

SnSn

YX

的分布，其中2122221121211,1niiniiYYnSXXnS 证明： 



22212

1n,~Y,,~Nn

NX

又因为X与Y相互独立， > 故









22122121,~nnNYX 又有1~,1~222222122211nSnnSn 所以21S与22S相互独立，由2的可加性知 2~21222222211nn

SnSn





由定理及两总体样本的独立性知 21YX与222211SnSn相互独立，

因而2~222121222221122122122122122221121nntnnSnSnnnYXnnnnSnSnYX 设总体nnYXYXYXNYX,,,,,,,,,,,~,2211222121为子样，令



2112

11212221221,1,1,1SSSRYYXXnSYYnSXXnSniiiniinii



. 求证

1~2121222121ntSRSSSYXn



证明： 二维正态分布的数学期望是21,,YEXE

协方差矩阵是22212121

令YXZ，则niiSRSSSZZ1212221222n1S221,~NYX 1,0~,1~21222NnYXnnS