中考数学 圆中分类讨论问题归类举例

初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)

圆中最值域定值问题研究

类型一：

例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。求MP+NP的最小值。

例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。求PC+CD的最小值。

例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。求PE+PF的最小值。

类型二：折叠隐圆

基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.

例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。

例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？

例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？

类型三：随动位似隐圆

例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？

分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。

方法归纳：

1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。则点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1的中垂线与O1的交点。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．

（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；

（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；

（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．

试题解析：连接AD，OA，

∵∠ADC=∠B，∠B=60°，

∴∠ADC=60°，

∵CD是直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，

∵AP=AC，OA=OC，

∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，

∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，

即OA⊥AP，

∵OA为半径，

∴AP是⊙O切线．

（2）连接AD，BD，

∵CD是直径，

∴∠DBC=90°，

∵CD=4，B为弧CD中点，

∴BD=BC=，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DCB=45°，

即∠BDE=∠DAB，

∵∠DBE=∠DBA，

∴△DBE∽△ABD，

∴，

∴BE•AB=BD•BD=．

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．

2．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形

（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系

猜想结论： （要求用文字语言叙述）

写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）

（性质应用）

①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形 （填序号）

中考中的数学思想方法----分类讨论思想

一、概述：

当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;……

等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：

1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③

解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;

此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5

②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形

的外接圆半径等于21╳ 8=4

2、（北京市中考题）在△ABC中;∠B＝25°;AD是BC边上的高;并且ADBDDC2·;则∠BCA的度数为____________。

解：①如图1;当△ABC是锐角三角形时;

∠BCA=90°-25°=65°

①如图2;当△ABC是钝角三角形时;

∠BCA=90°+25°=115°

图1 图2

这是一道比较基础却很典型的分类

讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。

这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。

3、（济南市中考题）如图1;已知RtABC△中;30CAB;5BC．过点A作AEAB⊥;且15AE;连接BE交AC于点P．

(完整版)初三数学有关圆的经典例题

1 初三数学 有关圆的经典例题

1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132OABACBAC

分析：根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，

当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示,

过O作OD⊥AB于D,过O作OE⊥AC于E，

∵，，∴，ABACADAE323222

∵，∴∠，OAOADADOA132cos

cos∠OAEAEOA22

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，

当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示,

同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°，

∴∠BAC=15°

点拨:本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2。 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R,⊙O与AC交于D，

如果点既是的中点，又是边的中点，DABAC

（1）求证：△ABC是直角三角形；

()22求的值ADBC

分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，DABODABF

则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；

（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°,DE⊥AB,∴△ADF

∽△，可得·，而，，故可求DAEADDFDEDFBCDERADBC22122

解：（1）证明,作直径DE交AB于F，交圆于E

∵为的中点，∴⊥，DABABDEAFFB (完整版)初三数学有关圆的经典例题

2 又∵AD=DC

∴∥，DFBCDFBC12

∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。

(2）解：连结AE