(完整版)中考数学分类讨论题(含答案)

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1第8课时 分类讨论题

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方

法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，

领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐

级进行．

类型之一 直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的

问题尤为重要.

1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）

A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°

2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）

A．9cmB．12cm C．15cmD．12cm或15cm

3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′

处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

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2类型之二 圆中的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏

盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．

5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，．如果圆O的半径为，且3cos5B10

经过点B、C，那么线段AO的长等于 ．

6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均

为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）

与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

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3类型之三 方程、函数中的分类讨论

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论

或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点

B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的

长．

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48.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建

立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，

使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该

抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的

最小值；如果不存在，请说明理由．

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5参考答案

1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

故顶角可能是50°或80°.

【答案】D.

2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形．

【答案】D

3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，，，从而可求得B′E=BF；第(2)BFBFBFEBFE

小题要注意分类讨论.

【答案】（1）证：由题意得，，BFBFBFEBFE

在矩形ABCD中，，，ADBC∥BEFBFE，BFEBEF．．BFBEBEBF

（2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：abc，，（ⅰ）三者存在的关系是．abc，，222abc证：连结BE，则．BEBE

由（1）知，．BEBFcBEc

在中，，． ，，．ABE△90A222AEABBEAEaABb222abc（ⅱ）三者存在的关系是．证：连结BE，则．abc，，abcBEBE由（1）知，．在中，， ．BEBFcBEcABE△AEABBEabc

4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

【答案】 3＜r≤4或r＝2.4

5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，，3cos5B

可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O

在BC下方，则AO=5。

【答案】3或5．

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66.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；

当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．

（2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝； 311

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．

所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切． 311

7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的

长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”，一定要AND，，BME△

注意分类讨论。

【答案】（1）取中点，联结，ABHMH

为的中点，，．MDEMHBE∥1()2MHBEAD

又，． ，得；ABBEMHAB12ABMSABMHA△12(0)2yxx

（2）由已知得．22(4)2DEx

以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

，即．1122MHABDE2211(4)2(4)222xx

解得，即线段的长为；43xBE43（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，AND，，BME△

又易证得．DAMEBM

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．ADNBEMADBBME

①当时，， ．．ADNBEMADBE∥ADNDBEDBEBEM

，易得．得；DBDE2BEAD8BE

②当时，， ．ADBBMEADBE∥ADBDBE

．又， ．DBEBMEBEDMEBBEDMEB△∽△

，即，得．DEBEBEEM2BEEMDEA2222212(4)2(4)2xxxA

解得，（舍去）．即线段BE的长为2．12x210x

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7综上所述，所求线段BE的长为8或2．

8.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题

时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，

也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最

短之类的问题，常构建水泵站模型解决．

【答案】（1）；．(31)E，(12)F，

（2）在中，， ．RtEBF△90B2222125EFEBBF

设点的坐标为，其中， 顶点，P(0)n，0n(12)F，

设抛物线解析式为．2(1)2(0)yaxa

①如图①，当时，，EFPF22EFPF

．解得（舍去）；．221(2)5n10n24n

． ．解得．(04)P，24(01)2a2a

抛物线的解析式为22(1)2yx

②如图②，当时，，EPFP22EPFP

．解得（舍去）．22(2)1(1)9nn52n

③当时，，这种情况不存在．EFEP53EP

综上所述，符合条件的抛物线解析式是．22(1)2yx

（3）存在点，使得四边形的周长最小．MN，MNFE

如图③，作点关于轴的对称点，ExE

作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求FyFEFxyMN，MN，

点．

，．(31)E，(12)FNFNFMEME，，，

． ．43BFBE，FNNMMEFNNMMEFE22345

又，5EF

，此时四边形的周长最小值是．55FNNMMEEFMNFE55