考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例
一、选择题
1.（2012·江西高考理科·Ｔ7）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
2
2
2PA PB PC
+＝（ ）
(A)2 (B)4 (C)5 (D)10 【解题指南】用向量法求解.
【解析】选D. 22
2
2
2
2PA PB PA PB
PC PC ++=
()()
222
PC CA PC CB PC +++=
2222
222PC PC CA PC CB CA CB PC +⋅+⋅++=
()
22
2
22PC PC CA CB AB PC
+⋅++= 22264610AB PC =-=-= . 2.（2012·安徽高考理科·Ｔ8）在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量
OP
绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） ()
A (- ()B
(- ()C
(2)-- ()
D (-
【解题指南】先写出向量(6,8)OP = ，在把向量OP
按逆时针旋转34
π，计算出向量
OQ
，即得点Q 的坐标.
【解析】选A .将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-
，则
)(OQ OP OM =+=- .
3.（2012·辽宁高考理科·Ｔ3）已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b
|，
则下列结论正确的是（ ）
(A) a ∥b (B)a
⊥b (C)︱a ︱=︱b ︱ (D)a +b =a -b
【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系. 【解析】选B.
22222222a b a b a b a b a a b b a a b b
+=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+
0a b a b ⇒⋅=⇒⊥ .
4.（2012·辽宁高考文科·Ｔ1）已知向量(1,1),(2,)a b x =-= ，若1a b ⋅=
，则x =（ ）
1
1()1()()
()1
2
2
A B C D --
【解题指南】按照数量积的坐标运算，展开即可解决问题. 【解析】选
D.(1,1)(2,)211a b x x x ⋅=-⋅=-=⇒= .
5.（2012·福建高考文科·Ｔ3）已知向量(1,2)a x =- ，(2,1)b = ，则a b ⊥
的充要
条件是（ ） (A)
12x =-
(B)1x =- (C)5x = (D)0x =
【解题指南】垂直表明数量积为0，结合平面向量的数量积的坐标运算公式进行求解 .
【解析】选D.(1)220a b x ⋅=-⨯+=
，解得0x =.
6.（2012·广东高考理科·Ｔ8）对任意两个非零的平面向量α
和β ，定义
αβαβββ⋅=⋅
．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角
(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2
n n Z ⎧⎫
∈⎨⎬
⎩⎭中，则a b =( ) (A)12 (B)1 (C)32 (D)5
2
【解题指南】解决本小题首先搞清αβ 的定义，然后根据
再结合
(0,),4π
θ∈确定1
()()(,1)
2a b b a ⨯∈ 是解决本题的关键.
【解析】选 C.
7.（2012·广东高考文科·Ｔ10）对任意两个非零的平面向量,αβ
，定义
=αβαβββ . 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，且a b r r o 和
b a r r o 都在集合n {n Z}2
∈中，则a b r r
o =( ) (A)52 （B ）32 （C ）1 （D ）12
【解析】选 D.
1212n n
a b=,
b a=(n ,n Z),22
∈ 不妨设
12n n 1
(a b (b a =(0,)42
∴⨯∈ ））
8.（2012·陕西高考文科·Ｔ7）设向量a =（1，cos θ）与b
=（1-，2cos θ）垂直，
则cos 2θ等于 （ ）
(A) 2 (B) 12 (C)0 (D)1-
【解析】选C. 已知a =（1，cos θ），b =（1-，2cos θ）， ∵a b ⊥ ，∴0a b ⋅= ，∴2
12cos cos20θθ-+==0
即12cos cos20θθ+==，故选C.
9.（2012·天津高考理科·Ｔ7）已知△ABC 为等边三角形，AB=2，设点P,Q 满
足,(1),R.==-∈ AP AB AQ AC λλλ若
3
=2
=- BQ CP λ，则（ ）
(A)12 (B)
12±-32
± 【解题指南】根据向量的线性运算及数量积进行运算. 【解析】选A.
∵=BQ AQ AB -
=(1)AC AB λ-- ，=-CP AP AC - =AB AC λ- ，
又∵3
=2
BQ CP ⋅- ，且||=||=2AB AC ，<,>=60
AB AC 60 ， ∴=||||cos60=2AB AC AB AC ⋅⋅
60 =2， ∴3
[(1)]()=2
AC AB AB AC λλ---- ，
22
23||+(1)+(1)||=2
AB AB AC AC λλλλ--⋅- ，
所以234+2(1)+4(1)=2
λλλλ---，解得1
=2λ.
二、填空题
10.（2012·浙江高考文科·Ｔ15）与（2012·浙江高考理科·Ｔ15）相同
在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅
=________.
