人教版高中数学必修第一册同步讲义第三章 3.5 等比数列的前n项和

3.5 等比数列的前n项和

①课文三点专讲

重点:

(1)等比数列的前n项和公式.111,(1),(1),(1).11nnnnaqSaaqaqqqq

(2)等比数列的前n项和与函数的关系.①当1q时,1nSna,则数列{}nS的图象是函数1yax图象上一群孤立的点; ②当1q时,111(1)111nnnaqaaSqqqq,令11aAq,则nnSAAq, 则数列{}nS的图象是函数xyAAq图象上一群孤立的点.

(3)等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即232,,nnnnnSSSSS为等比数列，公差为nq

难点：

错位相减法:

令12nnSaaa,在两边同乘一个数q,得12nnqSaqaqaq, 将右端的项向右(左)错开一个位置,然后求nnSqS,再求和.此方法适用于求一个等差数列{}na与等比数列{}nb对应项之积组成的数列{}nnab的前n项和.

考点:

(1)等比数列中与nS有关的本问题.此类问题主要由五个基本量应用方程或方程组减少运算量,其中应用注意计算过程中的整体思想.

(2)可化为等比数列的求和问题.此类问题的关键已知数列转化为等比数列的求和问题.

(3)等比数列中与nS与na的关系问题.此类问题的解法关键在于灵活运用等比数列的定义,通项公式,前n项和公式以及相关关系式运算.

(4) 数列的前n项和nS的通常解法：

①直接利用等差、等比数列求和公式求和，注意等比时分q=1q1和讨论. ②错位相减法：主要利用开一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即nnncab

③分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解

④裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：111=n(n+1)nn－+1, 1111=(2n1)(n+1)22n-12n（－）－+1,

1111=[]n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n)(n+2)－+1, 11=(ab)abab－－.

⑤倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加.

②练功篇

典型试题分析

例1. 已知等比数列｛an｝中，,916,144781,1691nnaSa,求公比q及项数n.．

分析: 等比数列中五个基本量a１、q、an、n、Ｓn，知三可求二，列方程组是求解的常用方法．本题主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式的运用．

解析：已知a１≠an，显然q≠1，由等比数列的通项公式及求和公式可得：

(2) 1447811)1(169(1) 9161691qqqnn

由①得qqn4)34( ③

代入②消去qn，可得,34q,再代入③得n=5.

∴公比,34q,项数n=5.

例2. 在等比数列｛an｝中，a１+an=66,a２·an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.

分析: 解本题的关键是利用a１·an＝a２·an－１，进而求出a１、an，要注意a1、an是两组解.本题主要考查等比数列的性质及求和公式．

解析：∵a１an=a２an-1=128,又a１+an=66,∴a１、ａｎ是方程x２-66x+128=0的两根，解方程得x1=2,x２=64,∴a１=2,an=64或a１=64,an=2,显然q≠1．

若a１=2,an=64,由qqaan11=126得2-64q=126-126q, ∴q=2,由an=a１qn-1得2n-1=32,∴n=6．

若a１=64,an=2,同理可求得.6,21nq

综上所述，n的值为6，公比q=2或.21

基础知识巩固

1. 数列｛an｝成等比数列的充分必要条件是 ( )

Ａ．an+1=anq(q为常数) B．a２n+1=an·an+2≠0

Ｃ．an=a１ｑn-1(q为常数)  Ｄ．an+1=2nnaa

2. 在等比数列｛aｎ｝中，已知对n∈Ｎ*有a１＋a２＋„+aｎ＝２ｎ－１，那么22221naaa等于( )

Ａ．4ｎ－１Ｂ．31（４ｎ-１）Ｃ．31（２ｎ－１）２ Ｄ．（２ｎ－１）２

3. 已知0＜a＜b＜c,且a、b、c成等比数列， n为大于1的整数，则logａｎ，logｂｎ，logｃｎ成 ( )

Ａ．等差数列 B．等比数列

Ｃ．各项倒数成等差数列 D．以上都不对

4.有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层

所点灯的盏数是 ( )

Ａ．190 B．191 Ｃ．192 Ｄ．193

5. (2005湖北) 设等比数列}{na的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .

6. 等差数列｛an｝中，已知an=4+(n-1)d,若它的第一、七、十项分别为等比数列的前三

项，且等比数列的公比q= .

7. 已知等比数列{an}的第七项与第五项的差是48，第六项与第五项的和为48，前n项和为1023，求n.

8. 已知数列nnnnSnaa求],)1([2,.

9. 求数列,16156,874,432,21„„的前n项和．

10.求数列1，)0(,,,4322aaaaaa的前n项和Sn.

③升级篇 典型试题分析

例3. 已知等比数列｛an｝中，n为偶数，前n项和Sn为这n项中偶数项和的4倍，

若前三项的积为64，求此数列的前三项．

分析:本题主要考查等比数列的性质、前n项和公式．数列中的偶数项是首项为a１q，公比为ｑ２的等比数列．

解析：设等比数列的公比为q,易知q≠1，

由已知得311411])(1[41)1(22221qqqqqaqqann

又a１a2a3=64，即32a=64,a２=4,∴a１=12,a２=4,a３=.34

例4. 求和Sn=1+3x+5x２+7x３＋„＋（2n-1）xn—1(x≠0)

分析:本题考查等比数列求和公式的推导方法：“错位相减法”．这里对x进行分类讨论的必要性有二，一是等式两边需同除以1—x，再就是求1+x+x２＋„＋ｘｎ－２要考虑x是否为1．

解析：当x=1时，2)12(531nnSn

当x≠1时，,)12(7531132nnxnxxxS

.)12(753432nnxnxxxxxS

两式相减得

.1)1(2)12(1)12()1(21)1(122xxxxnxnxxxxSxnnnnn12(21)(21)(1)(1)nnnnxnxxSx．

知识应用与提升

11. 一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n次着地时，共经过了an米，则当n≥2时，有 ( )

Ａ．312100nnnaa B．212100nnnaa Ｃ．nnnaa21001Ｄ．21210021nnnaa

12. 在等比数列｛an｝中，a１=4, q=5,使Sn＞１０７的最小n值是 ( )

Ａ．11 B．10 Ｃ．12 Ｄ．9

13. 求和个nnS111111111

14.(1）求和22222)1()1()1(nnnxxxxxxS. (2)求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，„前n项和nS.

15. 设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分别求出｛an｝及｛bn｝的前10项的和S10及T10．

16. 在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3„„，an，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，„„，bn，使这n＋2个数成等差数列.记An＝a1a2a3„„an，Bn＝b1＋b2＋b3＋„„＋bn.

（Ⅰ）求数列｛An｝和｛Bn｝的通项；

（Ⅱ）当n≥7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论.

④闯关篇

典型试题分析

例5. 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S３＋Ｓ６＝２Ｓ９，求数列的公比q.

分析:本题主要考查等比数列的基础知识、逻辑推理能力和运算能力．解法一用到等比数列求和公式，所以要考虑q是否为1，解法三利用了等比数列前n项和的性质，过程比较简捷．

解法一：若q=1,则S３＝３ａ１，Ｓ６＝６ａ１，Ｓ９＝9a１，但a１≠0故S３＋Ｓ６≠2S９与题设矛盾，

∴q≠１.

又依题意S３＋Ｓ６＝２Ｓ９

可得0)12(1)1(21)1(1)1(363916131qqqqqaqqaqqa，

由q≠0得2q６-q３－１＝０

 1,213qq (舍)，

∴243q

解法二：∵Ｓ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，∴S９－Ｓ３＝Ｓ６－Ｓ９，

∴817161814131qaqaqaqaqaqa

01,0,00)12)(1()1(2)1(213231261231qqqaqqqqaqqqaqqqa

.2421,012333qq 解法三：∵9632SSS

又S３，Ｓ６－Ｓ３，Ｓ９－Ｓ６成等比数列，

∴由236693963)()(2SSSSSSSS消去S９得S３＝２Ｓ６

∴.24,2133363qSSSq

例6. 有)4(2nn个正数，排成nn矩阵（n行n列的数表，如图）：

nnnnnnaaaaaaaaa212222111211

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：163,81,1434224aaa，

（1）求公比q；

（2）用k表示ka4；

（3）求nnaaaa332211的值.

解析：（1）∵每一行的数列成等差数列，444342,,aaa成等差数列，

41,244444243aaaa；又每一列的数成等比数列，故1,2422444aqaa，

21,0,412qaqn且

（2）.16))(2(81)2(4243424kaakdkaak