人教版高中数学必修一教案(讲义)：映射与函数(PDF版)

映射与函数教案范文第一章：映射的概念与性质1.1 映射的定义教学目标：让学生理解映射的概念，掌握映射的表示方法。

教学内容：介绍映射的定义，举例说明映射的概念。

教学方法：通过具体例子引导学生理解映射的概念，互动提问，巩固学生对映射的理解。

教学步骤：（1）引入映射的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的映射现象。

（2）给出映射的定义，解释映射的基本要素：集合、对应关系。

（3）通过具体例子，让学生理解映射的表示方法，如图示、表格等。

（4）引导学生总结映射的性质，如单射、满射、双射等。

1.2 映射的性质教学目标：让学生掌握映射的性质，学会判断映射的类型。

教学内容：介绍映射的性质，包括单射、满射、双射等。

教学方法：通过实例分析，让学生理解映射的性质，互动提问，巩固学生对映射性质的掌握。

教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考映射的性质。

（2）讲解单射、满射、双射的定义与特点，举例说明。

（3）让学生通过实例分析，判断映射的类型。

（4）总结映射的性质，引导学生掌握判断映射类型的方法。

第二章：函数的概念与性质2.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

教学内容：介绍函数的定义，举例说明函数的概念。

教学方法：通过具体例子引导学生理解函数的概念，互动提问，巩固学生对函数的理解。

教学步骤：（1）引入函数的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的函数现象。

（2）给出函数的定义，解释函数的基本要素：定义域、值域、对应关系。

（3）通过具体例子，让学生理解函数的表示方法，如图示、表格等。

（4）引导学生总结函数的性质，如单调性、奇偶性等。

2.2 函数的性质教学目标：让学生掌握函数的性质，学会判断函数的类型。

教学内容：介绍函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。

教学方法：通过实例分析，让学生理解函数的性质，互动提问，巩固学生对函数性质的掌握。

教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考函数的性质。

（2）讲解单调性、奇偶性、周期性的定义与特点，举例说明。

高中数学映射的教案教学目标：1. 理解数学映射的概念和基本性质。

2. 掌握如何判断一个给定关系是否为映射。

3. 能够在实际问题中应用映射的概念解决问题。

教学重点：1. 映射的定义和基本性质。

2. 判断一个给定关系是否为映射。

3. 应用映射解决实际问题。

教学难点：1. 理解映射和函数的区别。

2. 能够准确地判断一个关系是否为映射。

教学准备：1. 教师备好教材、教具和课件。

2. 学生预先学习相关知识。

3. 教师准备案例题目和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾函数的概念，并告诉学生今天将学习数学映射的内容。

二、讲解映射的概念和基本性质（15分钟）1. 教师讲解映射的定义和基本性质，引导学生理解映射的概念。

2. 教师通过示例说明映射的性质，让学生加深对映射的理解。

三、判断关系是否为映射（15分钟）1. 教师讲解判断一个给定关系是否为映射的方法。

2. 教师通过案例指导学生如何判断一个关系是否为映射。

四、应用映射解决实际问题（10分钟）1. 教师给出一个实际问题，引导学生运用映射的概念解决问题。

2. 学生尝试独立解决问题，教师及时给予指导和反馈。

五、课堂练习（10分钟）学生完成几道与映射相关的练习题，巩固所学知识。

六、总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生对映射的概念进行复习。

七、作业布置（5分钟）布置相关习题作业，督促学生加强练习。

教学反思：本节课主要是对数学映射的基本概念和性质进行讲解，通过案例和练习引导学生深入理解映射的概念。

教学中应注意引导学生掌握映射的判定方法和应用技巧，激发学生对数学的兴趣和学习的动力。

§1.2.2 映射一．教學目標1．知識與技能：（1）瞭解映射的概念及表示方法；（2）結合簡單的對應圖表，理解一一映射的概念．2．過程與方法（1）函數推廣為映射，只是把函數中的兩個數集推廣為兩個任意的集合；（2）通過實例進一步理解映射的概念；（3）會利用映射的概念來判斷“對應關係”是否是映射，一一映射．3．情態與價值映射在近代數學中是一個極其重要的概念，是進一步學習各類映射的基礎．二．教學重點：映射的概念教學難點：映射的概念三．學法與教學用具1．學法：通過豐富的實例，學生進行交流討論和概括；從而完成本節課的教學目標；2．教學用具：投影儀．四．教學思路（一）創設情景，揭示課題復習初中常見的對應關係1．對於任何一個實數a，數軸上都有唯一的點p和它對應；2．對於座標平面內任何一個點A，都有唯一的有序實數對（,x y）和它對應；3．對於任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；4．某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應；5．函數的概念．（二）研探新知1．我們已經知道，函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關係，這種對應就叫映射（板書課題）．2．先看幾個例子，兩個集合A、B的元素之間的一些對應關係：（1）開平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．歸納引出映射概念：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A 中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A→B 為從集合A 到集合B 的一個映射．記作“f ：A →B ” 說明：（1）這兩個集合有先後順序，A 到B 的映射與B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具體的對應法則，可以用多種形式表述．（2）“都有唯一”什麼意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思．（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維例1．下列哪些對應是從集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是數軸上的點}，B=R ，對應關係f ：數軸上的點與它所代表的實數對應； （2）A={|P P 是平面直角坐標中的點}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈對應關係f ：平面直角坐標系中的點與它的座標對應；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一個三角形都對應它的內切圓； （4）A={|x x 是新華中學的班級}，}{|,B x x =是新华中学的学生對應關係f ：每一個班級都對應班裏的學生．思考：將（3）中的對應關係f 改為：每一個圓都對應它的內接三角形；（4）中的對應關係f 改為：每一個學生都對應他的班級，那麼對應f ：B →A 是從集合B 到集合A 的映射嗎？例2．在下圖中，圖（1），（2），（3），（4）用箭頭所標明的A 中元素與B 中元素的對應法則，是不是映射？是不是函數關係？求正弦 B（1） （2）A 求平方B A 乘以2 B（3） （4）（四）鞏固深化，回饋矯正1、畫圖表示集合A 到集合B 的對應（集合A ，B 各取4個元素） 已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，對應法則是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，對應法則是“求算術平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，對應法則是“求倒數”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤對應法則是“求余弦”．2．在下圖中的映射中，A 中元素600的像是什麼？B 中元素2的原像是什麼？A 求正弦 B（五）歸納小結提出問題：怎樣判斷建立在兩個集合上的一個對應關係是否是一個映射，你能歸納出幾個“標準”呢？師生一起歸納：判定是否是映射主要看兩條：一條是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二條是A 中元素與B 中元素只能出現“一對一”或“多對一”的對應形式．（六）設置問題，留下懸念．1．由學生舉出生活中兩個有關映射的實例．2．已知f 是集合A 上的任一個映射，試問在值域f (A)中的任一個元素的原象，是否都是唯一的？為什麼？3．已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-從集合A 到集合B 的映射，試問能構造出多少映射？。

高中数学映射教案
一、教学目标：
1. 理解映射的概念和性质；
2. 掌握映射的表示方法；
3. 能够根据给定的映射找出它的定义域、值域和像；
4. 能够进行映射的复合和逆映射的求解；
二、教学重点：
1. 映射的概念和性质；
2. 映射的表示方法；
3. 映射的定义域、值域和像的确定；
4. 映射的复合和逆映射的求解；
三、教学难点：
1. 映射的复合；
2. 映射的逆映射；
四、教学过程：
1. 映射的概念和性质的介绍（10分钟）
教师简单介绍映射的定义及性质，引导学生理解映射的基本概念。

2. 映射的表示方法（15分钟）
教师通过具体例子演示映射的表示方法，解释映射的不同形式表示。

3. 映射的定义域、值域和像（20分钟）
教师讲解如何确定映射的定义域、值域和像的方法，通过实例进行讲解并进行练习。

4. 映射的复合（15分钟）
教师介绍映射的复合的概念和方法，通过例题演示如何进行映射的复合，并让学生自行练习。

5. 映射的逆映射（15分钟）
教师讲解映射的逆映射的概念和求解方法，通过实例进行演示并让学生进行练习。

6. 练习与检测（15分钟）
教师布置相关练习题让学生巩固所学知识，并进行检测。

五、教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握映射的基本概念、性质和运算方法，能够熟练计算映射的复合和逆映射。

教师应该及时收集学生的反馈意见，对教学过程进行调整和改进。

教学设计1第2课时映射与函数一、教学内容本节课的教学内容来自小学数学教材《数学》的第七章第一节，主要内容包括映射与函数的概念、特点和运用。

具体内容有：1. 映射的概念：介绍映射是一种数学关系，是一种从一种数学对象到另一种数学对象的规则。

2. 函数的概念：介绍函数是一种特殊的映射，具有输入和输出的关系，每个输入都对应一个唯一的输出。

3. 映射与函数的特点：介绍映射和函数的单射、满射和一一对应的特性。

4. 映射与函数的运用：介绍如何运用映射和函数解决实际问题，如坐标系中的点与坐标的对应关系。

二、教学目标1. 学生能够理解映射和函数的概念，掌握它们的基本性质。

2. 学生能够运用映射和函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够培养逻辑思维能力，提高对数学概念的理解和运用能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：映射和函数的概念及其性质的理解和运用。

2. 教学重点：掌握映射和函数的概念，能够运用映射和函数解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际例子，如地图上的位置对应关系，引导学生思考数学中的映射和函数概念。

2. 概念讲解：讲解映射和函数的概念，引导学生理解映射和函数的基本性质。

3. 例题讲解：通过具体的例题，解释映射和函数的概念及其运用。

4. 随堂练习：学生独立完成随堂练习，巩固映射和函数的概念。

5. 小组讨论：学生分组讨论如何运用映射和函数解决实际问题，分享解题思路。

7. 课后作业：布置相关的作业题目，让学生进一步巩固映射和函数的概念。

六、板书设计板书设计如下：映射与函数1. 映射的概念：数学关系，从一种数学对象到另一种数学对象的规则。

2. 函数的概念：特殊的映射，具有输入和输出的关系，每个输入都对应一个唯一的输出。

3. 映射与函数的特性：单射、满射、一一对应。

4. 映射与函数的运用：解决实际问题，如坐标系中的点与坐标的对应关系。

映射数学讲解高中教案
教学目标：
1. 理解映射的概念和基本性质。

2. 掌握映射的表示方法和分类。

3. 能够应用映射的概念解决实际问题。

教学重点：
1. 映射的定义和符号表示。

2. 映射的分类和特点。

3. 映射的应用。

教学难点：
1. 理解映射和函数的关系。

2. 运用映射的知识解决实际问题。

教学准备：
1. 教材：包含映射相关知识的教材。

2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。

3. 实例：准备一些实际例题作为练习。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引入映射的概念，让学生了解映射的基本概念。

二、概念讲解（15分钟）
1. 映射的定义和符号表示。

2. 映射的分类和特点。

3. 映射与函数的关系。

三、示例分析（15分钟）
结合实际例题，分析映射的应用，引导学生掌握映射的运用方法。

四、练习与讨论（15分钟）
提供若干练习题，让学生在课堂上完成并进行讨论，加深对映射的理解。

五、总结与作业布置（5分钟）
总结本节课的重点内容，布置相关作业，巩固学生对映射知识的掌握。

教学反思：
映射是数学中的重要概念，理解和掌握映射的知识对于学生的数学学习起着重要的作用。

通过本节课的教学，学生能够对映射有一个初步的了解，为后续深入学习数学打下基础。

教学建议1.要明确构成一个映射的三要素:两个集合和一个对应法则.这两个集合有先后次序,从集合A 到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是截然不同的.2.使学生掌握一种对应要是映射,必须同时满足两个条件:(1)A中任何一个元素在B中有元素与之对应(至于B中元素是否都要A中元素与之对应则不必考虑,即B中可以有“多余”的元素);(2)A中任何一个元素在B中所对应的元素是唯一的(即“一对多”不是映射,而“多对一”可以构成映射).3.讲清一一映射即“一对一”,这是一种特殊的映射.除了要求是映射外,还必须同时满足两个条件:(1)A中不同元素在B中有不同的象(即不能“多对一”);(2)B中每一个元素都有原象(即B中不能有“多余”的元素).4.当判断某个对应是否为映射及一一映射时,必须严格根据定义.另外,给出了一个对应是映射(或一一映射),求A(或B)中元素的个数,或求原象(或象),求对应法则等,也是常见的题目.这类题目虽然要求稍高,但有利于培养学生的逆向思维,有利于加深他们对映射概念的理解.具体问题应具体分析,但前提是正确理解概念,正确运用映射的存在性、唯一性等.备用习题1.下列说法中正确的是( )A.对于任意两个集合A和B,都可以建立一个从A到B的映射B.对于无限集A和有限集B,一定不能建立一个从A到B的映射C.对于单元素集合A和非空集合B,只能建立一个从A到B的映射D.对于非空集合A和单元素集合B,只能建立一个从A到B的映射解析：紧扣映射的概念,当A=或B=时,选项A不正确;选项B也不正确,因为至少可以建立A 中的元素全与B中某一个元素对应的映射;选项C的说法不正确,因为B中有n个元素时,可以建立n个从A到B的映射;选项D是正确的,因为A中的任一元素都只能和B中的唯一元素对应.所以正确答案是D.答案：D2.设集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )解析：A中,y的范围不合;B中,y的范围不合;C中,不符合映射定义;D中,对于A中的每一个元素,在集合B中有唯一元素与之对应.∴选D.3.设映射f:x→-x2+2x是实数集R到实数集R的映射,若对于实数p,在原象集中不存在原象,则p的取值范围是( )A.(1,+∞)B.［1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1］解析：由题意,要使p存在对应的原象,则方程-x2+2x=p有根;若不存在对应的原象,方程-x2+2x=p,即x2-2x+p=0无实数根,即Δ=4-4p<0,得p>1,故选A.答案：A4.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):则与f［g(1)］相同的是( )A.g［f(1)］B.g［f(2)］C.g［f(3)］D.g［f(4)］解析：f［g(1)］=f(4)=1,g［f(1)］=g(3)=1.故选A.答案：A。

3.2 映射的概念教学目标：1．了解映射的概念，掌握象、原象等概念及其简单应用。

2．学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．树立数学应用的观点，培养学习良好的思维品质。

教学重点：映射的概念的形成与认识。

教学难点：映射的概念的形成与认识。

教学过程： 一、复习引入1、在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答） ①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 2、函数的概念设A ，B 是两个 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 确定数f （x ）和它对应，那么就称对应f ：A-B 为从集合A 到集合B 的一个函数 本节我们将学习一种特殊的对应—映射。

二、讲解新课：看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见分别设A ，B 是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一 个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应。

1、映射：设A ，B 是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称对应f ：A-B 为从集合A 到集合B 的一个映射2、象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

3、映射定义的分析：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）① 映射三要素：集合A 、集合B 、对应法则f.② 特殊的对应：A 中的任一元素都对应着B 中唯一的一个元素（任一对唯一）。

“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性；“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性。

§1.2.1映射一、教材地位和作用本节为人教版必修一第一章的第二节，在此之前学习了集合，这为本节的学习起了辅助作用。

由于映射是函数的推广形式，因此，先学习映射能为后面学习函数打下基础。

二、教学目标1．理解映射的概念；2．了解映射的两种对应形式，即多对一、一对一；3．通过本堂课的教学，学生能够认识到映射在生活中的常见性，启发学生在生活中发现数学．三、教学重点映射的概念．四、教学难点映射的概念，集合A中元素的任意性及集合B中对应元素的唯一性．五、教学过程（一）引入课题1．生活中的对应关系：去电影院看电影，电影票上的座位号在观众和他们的座位之间建立了一个对应关系。

2．数学中的对应关系：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一确定的点P和它对应。

本堂课将在“对应关系”的基础上，结合上一节所学的集合知识，重点研究两个集合元素与元素间的一种特殊对应关系——映射。

【设计意图】学生通过两个例子认识到映射并不是一个陌生、抽象的知识点，从而消除他们对新知识的畏惧感，并激发学习热情。

（二）新课教学1．先看一个例子，两个集合A、B元素之间的对应关系Ａ＝｛优图影城的4位观众｝Ｂ＝｛优图影城的4个放映厅｝它们的对应关系如下图：特点：（1）甲乙两人同时在①号放映厅看电影（多对一）（2）丙在③号放映厅看电影（一对一）（3）集合A中的每个人都对应B中的一个放映厅归纳：对于集合A中的每个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应。

【设计意图】从常见实例出发，学生容易理解，容易掌握，增强他们的内心成就感，同时也能对映射有初步的认识。

2．定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”集合A中的元素x称为原象，集合B中与x对应的元素y称为象。

说明：（1）集合A元素的任意性，即A中的每个元素都有对应元素y（2）集合B元素的唯一性，即B中有且只有一个元素与之对应3．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={三角形}，B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（2）A={x|x是新华中学的班级}，B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．（三）课堂小结回顾本堂课所学知识，再次强调映射定义中集合的任意性与唯一性。

函数的概念一、课题：函数的概念二、教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三、教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法那么是核心，定义域是灵魂．四、教学过程：〔一〕主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．〔二〕主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．〔三〕例题分析：例1．〔1〕A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；〔2〕*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；〔3〕{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应〔2〕是A 到B 的映射．例2．集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，那么集合N = 〔 D 〕()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>>()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>>()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<<()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为2x y +=，所以2222x y x y +⋅==．例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，那么映射f 的个数是 〔 D 〕()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=．例4．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，〔1〕将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式；〔2〕求S 的最大值．解：〔1〕2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯-22113113169()22228x x x =-+=--+． ∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，∴函数()S f x =的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； 〔2〕∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20．例5．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， 〔1〕求(0)f 的值；〔2〕对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值X 围． 解：〔1〕由等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．〔2〕由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由〔1〕知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+． ∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈． 要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a a x <,显然不成立．当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得14a ≤<∴a 的取值X围是4．〔四〕巩固练习：1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43-．2．以下函数中，与函数y x =相同的函数是 〔 C 〕()A 2x y x =()B 2y =()C lg10x y =()D 2log 2x y =3．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，那么(5)f ＝8．。

高一数学第一讲 函数学生用一、映射和函数1、映射定义：设A 、B 是两个集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射。

记为 B A f →:2、象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。

3、函数：设A 、B 是两个非空数集，若B A f →:是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数。

记为y=f （x ）例1．选择题（1）①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；③{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应是A 到B 的映射．（2）已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)xy，则集合N = （ ）()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>>()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<<()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>例2．下列各对函数中表示同一函数的是。

① f (x )＝2x , g (x )＝x ; ②f (x )＝x , g (x )＝xx 2; ③f (x )＝42-x , g (x )＝22-+x x ;④f (x )＝x , g (x )＝33x ; ⑤f (x )＝|x ＋1|, g (x )＝⎩⎨⎧-<---≥+1111x x x x二、函数的定义域1.能使函数式有意义的自变量x 的集合称为函数的定义域（自然定义域）。

课题：§1.2.2映射教学目的：〔1〕了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；〔2〕结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：映射的概念．教学过程：一、引入课题复习初中已经遇到过的对应：1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一X电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．二、新课教学1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，假设将其中的条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞，按照某种法那么可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射〔mapping〕〔板书课题〕．2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系〔1〕开平方；〔2〕求正弦〔3〕求平方；〔4〕乘以2；3．什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射〔mapping〕．记作“f：A→B〞说明：〔1〕这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法那么，可以用汉字表达．〔2〕“都有唯一〞什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

4．例题分析：以下哪些对应是从集合A到集合B的映射？〔1〕A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；〔2〕A={P | P是平面直角体系中的点}，B={〔x，y〕| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；〔3〕A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；〔4〕A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将〔3〕中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；〔4〕中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B A是从集合B到集合A的映射吗？5．完成课本练习三、作业布置补充习题。

映射 函数一、教学目标1．映射，一一映射 2．函数二、考点、热点回顾 1．映射、一一映射（1）集合A 到集合B 的映射有三个要素，即集合A 、集合B 和对应法则f .其中集合A 和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A 到B 的映射和B 到A 的映射是不同的映射.而对于集合A 和集合B 的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.（2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A 到集合B 的映射：①集合A 中的每一个．．．元素（一个不漏地）在集合B 中都有象（但集合B 中的每一个元素不一定都有原象）；②集合A 中的每一个元素在集合B 中的象只有唯一．．的一个（集合B 中的元素在集合A 中的原象可能不止一个）.也就是说，图1和图2所示的两种对应不能称为映射.（3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，则这样的映射称为“集合A 到集合B 上．的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B 中的每一个元素在集合A 中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A 到集合B 上的一一．．映射”.例1 如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={a 、b 、c 、d 、e }.判断下列对应中，（1）哪些是集合A 到集合B 的映射；(2)哪些是集合A 到集合B 上的映射；（3）哪些是集合A 到集合B 上的一一映射.图31 2 3 4 5 a b c d e A ① 1 2 3 4 5 abcdeB A ② 1 2 3 4 5 a b c d e ③1 2 3 4 5 a b c d e B A ④A B × × × × × × × × 图1 A B × × × × × × × × 图2 f 1f 2例2 已知集合A={30≤≤x x }，B={10≤≤y y }.判断下列各对应f 是否是集合A 到集合B 的映射？一一映射？并说明理由. (1)f :x y x 31=→； (2) f :x y x 41=→；(3) f :2)2(-=→x y x ； (4)f :291x y x =→；(5)f :2)1(41-=→x y x2.函数（1）函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的. 集合A 到集合B 的映射f :B A →要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A 、B 都是非空集合；②集合A 、B 都是数的集合.其中集合A 就是函数的定义域，而集合B 不一定是值域.一般地说，值域C 是集合B 的子集，即B C⊆.（若集合B C =，则这个映射就成为集合A 到集合B 上的映射）.（2）函数的三要素.定义域A ，值域C 和定义域A 到值域C 的对应法则f，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. （3）区间设a 、R b ∈，且b a <.用闭区间[b a ,]表示集合{b x a x ≤≤}，用开区间),(b a 表示集合{b x a x <<}，用半开半闭区间],(b a 表示集合{b x a x ≤<}，用半开半闭区间),[b a 表示集合{b x a x <≤}.（4）函数的表示法.函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号)(x f 和)(a f （a 为常数）的区别.一般情况下，)(x f 是一个随自变量x 的变化而变化的变量，而)(a f 是当自变量a x =时函数的值，是一个确定的量.与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线. 例3 判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由. (1) 2)(x x f = ， 2)()(x x g = ；(2).)(33x x f = ， x x g =)( ；(3)11)(2+-=x x x f ， 1)(-=x x g ； (4)1)(-=x x f ， ⎩⎨⎧<->-=);1(,1),1(,1)(x x x x x g (5)2)(x x f = ， x x g =)( ；(6) 21)(x x f -= ， 21)(t t g -= .例4 已知32)(-=x x f ， 12)(2+=x x g ，求 )]([x g f 和 )]([x f g .例5 （1）已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧-,12,2,02x求)2(f ，)1(-f ，)]0([f f ，)]22([-f f ； （2）已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<--≤+=),2(,23),21(,),1(,32)(2x x x x x x x g 且3)(=t g ， 求t .例6 （1）画出函数342+-=x x y 的图像；（2）画出函数342+-=x x y 的图像；（3）已知函数)(x f y =的图像如图4，写出)(x f 的解析式.(x > 0), (x = 0),(x < 0),例7 求下列函数的定义域： （1） 2312+-=x x y； （2）xy 21211++= ；（3）7522--=x x y .例8 已知函数)(x f y =的定义域为[-1，2]，求函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域.例9 （1）已知11)11(2-=+xx f ，求)(x f ；（2）已知函数)(x f 的定义域是),0()0,(∞-∞Y ，且x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ；(3)已知32)2(+=-x x f ，求)(x f .例10 设⎩⎨⎧≥<-=),0(,,1),0(,1)(x x x f 画出函数)1(-=x f y 的图像.（快速五分钟，稳准建奇功）1．设f是从集合A 到集合B 的映射，下列四个说法：①集合A 中的每一个元素在集合B 中都有象；②集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；③集合A 中不同的元素在集合B 中的象也不同；④集合B 中不同的元素在集合A 中的原象也不同，其中正确的是 （ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④2．已知集合A={}60≤≤x x ，B={}30≤≤y y ，则下列对应关系f 中，不能看成是从集合A 到集合B 的映射的是 （ ）A ．f ：x y x 21=→ B ．f ：x y x 31=→C ．f：x y x =→D ．f：x y x 61=→3．下列三个命题：①函数是从定义域到值域的一一映射；②函数的定义域和值域可能是数集，也可能不是数集；③函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．①和③4．下列各组函数：①2)(+=x x f ，44)(2++=x x x g ；②11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x g ；③x x f =)(，xx x g =)(；④1)(+=x x f ，⎩⎨⎧<--≥+=)0(,1)0(,1)(x x x x x g .其中)(x f 和)(x g 表示同一个函数的是 （ ）A ．①B ．①和②C ．③D ．④5．函数xx y -=1的定义域是 （ ）A ．),0()0,(+∞-∞YB ．),1()1,0()0,(+∞-∞Y YC ．)0,1()1,(---∞YD ．)0,(-∞6．已知函数)(x f 的定义域是)1,0(，则函数)1(2-x f 的定义域为 （ ）A ．)2,1( B ．)2,1()1,2(Y --C ．)0,1(-D ．)1,0()0,1(Y - 7．已知),(y x 在映射f 下的象是)2,2(y x y x -+，则)3,1(在f下的原象是 。

映射与函数讲学案
a.观察下列对应
{1,4,9}
A=, {3,2,1,1,2,3}
B=---，对应法则：开平方；
{3,2,1,1,2,3}
A=---，{1,4,9}
B=，对应法则：平方；
{30,45,60} A=︒︒︒,
231
{1,,,}
222
B=
, 对应法则：求正弦；
（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）
问题1：这三个对应的共同特点是什么？
这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则ƒ，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。

b.映射的定义
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则ƒ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包
括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。

记作：f：A
→B
c.象，原象的概念
给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。

如果在对应法则f的作用下，元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做
元素b（在f下）的原象。

注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；
（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。

这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示A到B的映射，符号“f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
由此有：。