人教版高中数学选修(4-5)-1.2《绝对值三角不等式》教学设计

学校：临清二中 学科：数学 编写人： 路云明 审稿人 :马英济

1.4 绝对值三角不等式

☆教课目的： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基天性质的推导过程；2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式 ；

4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。

☆教课要点： 定理 1 的证明及几何意义。 ☆教课难点： 换元思想的浸透。 ☆教课过程： 一、引入 ：

证明一个含有绝对值的不等式建立，除了要应用一般不等式的基天性质以外，常常还要用到对于绝对值的和、差、积、商的性质：

（ 1） a b a b （2） a b a b

（ 3） a b a b a a (b 0) （4）

b b

请同学们思虑一下，能否能够用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道 理？

实质上，性质 a b a a (b 0) 能够从正负数和零的乘法、除法 a b 和

b b

法例直接推出； 而绝对值的差的性质能够利用和的性质导出。 所以，只需能够证明 a b a b 对于随意实数都建立刻可。我们将在下边的例题中研究它的证

明。

此刻请同学们议论一个问题：设 a 为实数， a 和 a 哪个大？

明显 a a ，当且仅当 a 0时等号建立（即在 a 0 时，等号建立。在 a 0

时，等号不建立）。相同， a a. 当且仅当 a 0 时，等号建立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a a 、 a a 及绝对值的和的

性质。 二、典型例题 ：

例 1、证明 （ 1） a b a b ， （2） a b a b 。

证明（ 1）假如 a b 0, 那么 a b a b. 所以 a b a b a b .

如 果 a b 0, 那 么 a b (a b). 所 以

a b a ( b) (a b) a b

（2）依据（ 1）的结果，有 a b b a b b ，就是， a b b a 。

高中数学-打印版

精心校对完整版 二 绝对值不等式

1.绝对值三角不等式

1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)

2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)

[基础·初探]

教材整理1 绝对值的几何意义

阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．

1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．

2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．

教材整理2 绝对值三角不等式

阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．

1．定理1 如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．

对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )

A．当a，b异号时，左边等号成立

B．当a，b同号时，右边等号成立

C．当a＋b＝0时，两边等号均成立 高中数学-打印版

精心校对完整版 D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立

【解析】 当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．

【答案】 B

教材整理3 三个实数的绝对值不等式

阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．

定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )

1 人教版高中选修(B版)4-51.4绝对值的三角不等式教学设计

一、教学目标

1. 了解绝对值的概念及其性质；

2. 掌握三角不等式的基本概念及其应用；

3. 能够运用绝对值和三角不等式解决实际问题。

二、教学重点

1. 理解绝对值的概念及其性质，并能灵活地运用绝对值的性质；

2. 熟练掌握三角不等式的基本概念及其应用；

3. 能够独立运用绝对值和三角不等式解决实际问题。

三、教学难点

1. 理解绝对值的概念及其性质，并掌握绝对值的灵活应用；

2. 使用三角不等式证明一些代数不等式。

四、教学方法

本课采用讲授、探究、归纳、演练等多种教学方法，通过实例引入，让学生通过演示验证，掌握三角不等式的基本概念及其应用。

五、教学过程

1. 导入新知识

1. 通过引入生活中的实际案例，如竞赛中的分数差距等，引导学生思考分别能用哪些方法解决这些差距问题。

2. 引入“绝对值”的概念，结合数字直观解释，让学生感受绝对值的含义和性质。 2 2. 学习新知识

1. 通过讲解三角形边长的概念，引入“三角不等式”的概念。

2. 结合例题，讲解三角不等式的应用，引导学生理解三角不等式的含义。

3. 讲解绝对值的定义和性质，以及绝对值与三角不等式的应用，让学生掌握绝对值的使用方法。

3. 练习巩固

1. 小组合作，围绕三角不等式和绝对值的练习，进行讨论和练习，巩固学生的知识。

2. 在黑板上放出一些无序的数字，要求学生通过运用三角不等式和绝对值的方法，将其按顺序排列。

六、教学评估

1. 学生的自主学习情况；

2. 学生在小组练习中的表现；

3. 课后作业的完成情况；

4. 期中、期末考试成绩。

七、教学资源

1. 讲义、教材；

2. 课件；

3. 黑板、彩笔；

4. 练习题。

八、教学反思

1. 在教学过程中，要注重理论联系实际，让学生感受到绝对值和三角不等式在实际生活中的应用价值；

2. 在练习环节，要设计一些有趣的练习题，激发学生的学习兴趣； 3 3. 要注意及时反馈学生的问题，并通过科学的评估体系对学生的学习情况进行全面评估。

1 / 3 《绝对值三角不等式的应用》教学设计

一、教学目标

（一）学习目标

1.了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法.。

2.掌握运用绝对值三角不等式求函数的最值。

（二）学习重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

（三）学习难点：绝对值三角不等式取等条件及运用绝对值三角不等式求函数的最值。

二．课堂设计

1.绝对值三角不等式的知识点：

（1）|a|、|a-b|的几何意义；

（2）定理1 若,abR，则||||||abab，当且仅当ab≥0时，等号成立。

（3）定理2 若,,abcR，则||||||acabbc，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

（4）拓展：若,abR，则||||||||||||ababab及等号成立条件。

|a|-|b| ≤ |a+b|≤|a|+|b| （ab≥0取“=”） 2 / 3 |a|-|b| ≤ |a-b|≤|a|+|b| （ab≤0取“=”）

2.典例分析：

例1.函数|4||6|yxx的最小值为（ ）

A.10 B.7 C.4 D.2

【知识点】绝对值三角不等式

【解题过程】|4||6||(4)|6||2yxxxx，当且仅当(4)(6)0xx即46x 取等号.

【思路点拨】注意使用绝对值三角不等式求最值时的不等号方向以及取等条件.

【答案】D

▲含参双绝对值问题

例2 ,|38||32|Rxxxa，求实数a的取值范围 .

【知识点】绝对值三角不等式；恒成立问题.

【解题过程】因为,|38||32|Rxxxa，所以max(|38||32|)xxa，

||38||32|||(38)(32)|10xxxx，即10a

【思路点拨】利用绝对值三角不等式求函数最值