考点27 椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质-2017届高三数学(理)黄金考点总动员(原卷版)

2017届高三数学33个黄金考点总动员

考点27 椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质

【考点剖析】

1.最新考试说明：

(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，理解它的简单的几何性质.

(2)了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质.

(3)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

2.命题方向预测：

(1)椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题目.

(2)双曲线的定义，标准方程及几何性质是命题的热点．题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度中等偏低，解答题很少考查直线与双曲线的位置关系，个别省份也偶有考查.

(3)抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活选择、填空题，又有综合性较强的解答题.

3.课本结论总结：

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.

①若ac，则集合P为椭圆；

②若ac，则集合P为线段；

③若ac，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程及其几何性质

条件 22222000acabcabc＞，＝＋，＞，＞，＞ 图形

标准方程 2222+=1(a>b>0)xyab 2222y+=1(a>b>0)xab

范围 xayb, xbya,

对称性 曲线关于,xy轴、原点对称 曲线关于,xy轴、原点对称

顶点 长轴顶点,0a ,短轴顶点0,b 长轴顶点0,a ,轴顶点,0b

焦点 ,0c 0,c

焦距 222122()FFccab＝＝

离心率  0,1cea＝，其中c＝22ab

通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为22ba

3．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

4. 双曲线的几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形

性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca， e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．

a、b、c

的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

5.抛物线方程及其几何性质

图形

标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0）

顶点 O（0，0）

范围 x≥0，yR x≤0，yR y≥0，xR y≤0，xR

对称轴 x轴 y轴

焦点 ,02pF ,02pF 0,2pF 0,2pF

离心率 e=1 准线方程 2px 2px 2py 2py

焦半径 0||2pMFx 0||2pMFx 0||2pMFy 0||2pMFy

4.名师二级结论：

椭圆：

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上0＜m＜n.

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．

双曲线：

一条规律

双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．

两种方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．

(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．

三个防范

(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．

双曲线的标准方程中，对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；

若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝2；

若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞2.

(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±bax，

y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±abx.

抛物线：

一个结论

焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2.

两种方法

(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．

(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．

5.考点交汇展示：

（1）与导函数及其应用交汇

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa(a＞0)交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

（2）与解三角形交汇

已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,FC与过原点的直线相交于,AB两点，

4,.10,6,cosABF,5AFBFABAFCe连接若则的离心率= .

(3)与平面向量交汇

【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx 上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )

（A）33 （B）23 （C）22 （D）1

【考点分类】 热点一 椭圆的标准方程及其几何性质

1.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221()xyabab＞＞0 的右焦点，直线2by 与椭圆交于,BC两点，且90BFC,则该椭圆的离心率是 .

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【方法总结】

1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆2222=1xyab，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0

2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．

3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a、b的关系：222222222e=1-1cabbbeaaaa. B A

O x y

l P

C 热点二 双曲线的标准方程及其几何性质

1.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1xyb（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的

圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）

（A）22443=1yx（B）22344=1yx（C）2224=1xyb（D）2224=11xy

2.【2016高考新课标2理数】已知12,FF是双曲线2222:1xyEab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MFF,则E的离心率为（ ）

（A）2 （B）32 （C）3 （D）2

【方法总结】

1．双曲线方程的求法

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)

(2)与双曲线2222=1xyab有共同渐近线的双曲线方程可设为2222=xyab（0）．

(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0).

2．已知双曲线的离心率e求渐近线方程注意应用221+bea，并判断焦点的位置．

3．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时若焦点不确定时，m＝ba(m>0)或m＝ba，故离心率有两种可能.

热点三 抛物线的标准方程及其几何性质

1.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为 （ ）

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8