2013年福建省高中数学竞赛(打印稿)

2013年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1205．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于的方程a2+2+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．106．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的=10，则该算法的功能是（）A ．计算数列{2n ﹣1}的前10项和B ．计算数列{2n ﹣1}的前9项和C ．计算数列{2n ﹣1}的前10项和D ．计算数列{2n ﹣1}的前9项和7．（5分）在四边形ABCD 中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）A ．B ．C ．5D ．10 8．（5分）设函数f （）的定义域为R ，0（0≠0）是f （）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．∀∈R ，f （）≤f （0）B ．﹣0是f （﹣）的极小值点C ．﹣0是﹣f （）的极小值点D ．﹣0是﹣f （﹣）的极小值点9．（5分）已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n =a m （n ﹣1）+1+a m （n ﹣1）+2+…+a m （n ﹣1）+m ，c n =a m （n ﹣1）+1•a m （n ﹣1）+2•…•a m （n ﹣1）+m ，（m ，n ∈N *），则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为D ．数列{c n }为等比数列，公比为10．（5分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y=f （）满足：（i ）T={f （）|∈S}；（ii ）对任意1，2∈S ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．A=N *，B=NB ．A={|﹣1≤≤3}，B={|=﹣8或0＜≤10}C ．A={|0＜＜1}，B=RD ．A=，B=Q二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为 ．12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．13．（4分）如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD 的长为 ．14．（4分）椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ．15．（4分）当∈R ，||＜1时，有如下表达式：1++2+…+n +…=两边同时积分得：d+d+2d+…+n d+…=d从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： ×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1= ．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17．（13分）已知函数f （）=﹣aln （a ∈R ）（1）当a=2时，求曲线y=f （）在点A （1，f （1））处的切线方程；（2）求函数f （）的极值．18．（13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（10，0），点C 的坐标为（0，10），分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作轴的垂线与OB i ，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E 的方程； （2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积之比为4：1，求直线l 的方程．19．（13分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1=1，AB=3，AD=4，BC=5，DC=6，（＞0）（1）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1（2）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为，求的值（3）现将与四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f （），写出f （）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）20．（14分）已知函数f （）=sin （w+φ）（w ＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f （）图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g （）的图象．（1）求函数f （）与g （）的解析式（2）是否存在0∈（），使得f （0），g （0），f （0）g （0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a 与正整数n ，使得F （）=f （）+ag （）在（0，n π）内恰有2013个零点．本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l ：a+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l ′：+by=1 （I ）求实数a ，b 的值（II ）若点P （0，y 0）在直线l 上，且，求点P 的坐标． 22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为，且点A 在直线l 上．（Ⅰ）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C 的参数方程为，试判断直线l 与圆C 的位置关系．23．设不等式|﹣2|＜a （a ∈N *）的解集为A ，且（Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）求函数f （）=|+a|+|﹣2|的最小值．2013年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出复数，复数的对应点的坐标，即可得到选项．【解答】解：因为复数的共轭复数，所以=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查．2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选：C．【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选：B．【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于的方程a2+2+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【分析】由于关于的方程a2+2+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2+b=0，此时一定有解．【解答】解：（1）当a=0时，方程为2+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4﹣4ab≥0，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于的方程a2+2+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．故选：A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．7．（5分）在四边形ABCD 中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ） A ．B ．C ．5D ．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可． 【解答】解：因为在四边形ABCD 中，，，=0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5． 故选：C ．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．8．（5分）设函数f （）的定义域为R ，0（0≠0）是f （）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．∀∈R ，f （）≤f （0）B ．﹣0是f （﹣）的极小值点C ．﹣0是﹣f （）的极小值点D ．﹣0是﹣f （﹣）的极小值点【分析】A 项，0（0≠0）是f （）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，f （﹣）是把f （）的图象关于y 轴对称，因此，﹣0是f （﹣）的极大值点；C 项，﹣f （）是把f （）的图象关于轴对称，因此，0是﹣f （）的极小值点；D 项，﹣f （﹣）是把f （）的图象分别关于轴、y 轴做对称，因此﹣0是﹣f （﹣）的极小值点．【解答】解：对于A 项，0（0≠0）是f （）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A 错误；对于B项，f（﹣）是把f（）的图象关于y轴对称，因此，﹣是f（﹣）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（）是把f（）的图象关于轴对称，因此，是﹣f（）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣）是把f（）的图象分别关于轴、y轴做对称，因此﹣是﹣f（﹣）的极小值点，故D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．（5分）已知等比数列{an }的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m ，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•…•am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（）A．数列{bn}为等差数列，公差为q mB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为D．数列{cn}为等比数列，公比为【分析】①，当q=1时，bn =mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m =mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，可判断A，B两个选项②由于等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项．【解答】解：①，当q=1时，bn =mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m =mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；当q≠1时，，=，此时，选项B 不正确，又b n+1﹣b n =，不是常数，故选项A 不正确，②∵等比数列{a n }的公比为q ，∴，∴=，∴===，故C 正确D 不正确．综上可知：只有C 正确． 故选：C ．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n 项和公式是解题的关键．10．（5分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y=f （）满足：（i ）T={f （）|∈S}；（ii ）对任意1，2∈S ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A ．A=N *，B=NB ．A={|﹣1≤≤3}，B={|=﹣8或0＜≤10}C ．A={|0＜＜1}，B=RD ．A=，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．【解答】解：对于A=N *，B=N ，存在函数f （）=﹣1，∈N *，满足：（i ）B={f （）|∈A}；（ii ）对任意1，2∈A ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），所以选项A 是“保序同构”；对于A={|﹣1≤≤3}，B={|=﹣8或0＜≤10}，存在函数，满足：（i ）B={f （）|∈A}；（ii ）对任意1，2∈A ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），所以选项B 是“保序同构”；对于A={|0＜＜1}，B=R ，存在函数f （）=tan （），满足：（i ）B={f（）|∈A}； （ii ）对任意1，2∈A ，当1＜2时，恒有f （1）＜f （2），所以选项C 是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D ． 故选：D ．【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a 所对应图形的长度，及事件“3a ﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（4分）如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD 的长为．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC ，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin ∠BAC ，求出cos ∠BAD 的值，在三角形ABD 中，由AB ，AD 及cos ∠BAD 的值，利用余弦定理即可求出BD 的长． 【解答】解：∵AD ⊥AC ，∴∠DAC=90°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°， ∴sin ∠BAC=sin （∠BAD+90°）=cos ∠BAD=，在△ABD 中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos ∠BAD=18+9﹣24=3， 则BD=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（4分）椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示， 由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．15．（4分）当∈R ，||＜1时，有如下表达式：1++2+…+n +…=两边同时积分得：d+d+2d+…+nd+…=d从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．【分析】根据二项式定理得Cn 0+Cn1+Cn22+…+Cnnn=（1+）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．【解答】解：二项式定理得Cn 0+Cn1+Cn22+…+Cnnn=（1+）n，对Cn 0+Cn1+Cn22+…+Cnnn=（1+）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对C n 0+Cn1+Cn22+…+Cnnn=（1+）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】（1）记“他们的累计得分≤3”的事事件为A ，则事件A 的对立事件是“=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E （21），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E （32）．根据题意知1～B （2，），2～B （2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E （21）＞E （32），从而得出答案．【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件是“=5”， 因为P （=5）=，∴P （A ）=1﹣P （=5）=；即他们的累计得分≤3的概率为．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E （21）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E （32） 由已知可得，1～B （2，），2～B （2，）， ∴E （1）=2×=，E （2）=2×=， 从而E （21）=2E （1）=，E （32）=3E （2）=，由于E （21）＞E （32），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定服从的分布是解题的关键．17．（13分）已知函数f （）=﹣aln （a ∈R ）（1）当a=2时，求曲线y=f （）在点A （1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （）的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a ≤0时，f ′（）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a ＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值． 【解答】解：函数f （）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f （）=﹣2ln ，，因而f （1）=1，f ′（1）=﹣1，所以曲线y=f （）在点A （1，f （1））处的切线方程为y ﹣1=﹣（﹣1）， 即+y ﹣2=0 （2）由，＞0知：①当a ≤0时，f ′（）＞0，函数f （）为（0，+∞）上的增函数，函数f （）无极值；②当a ＞0时，由f ′（）=0，解得=a ．又当∈（0，a ）时，f ′（）＜0，当∈（a ，+∞）时，f ′（）＞0．从而函数f （）在=a 处取得极小值，且极小值为f （a ）=a ﹣alna ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f （）无极值；当a ＞0时，函数f （）在=a 处取得极小值a ﹣alna ，无极大值．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．18．（13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（10，0），点C 的坐标为（0，10），分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作轴的垂线与OB i ，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E 的方程；（2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积之比为4：1，求直线l 的方程．【分析】（I ）由题意，求出过且与轴垂直的直线方程为=i ，B i 的坐标为（10，i ），即可得到直线OB i 的方程为．联立方程，即可得到P i 满足的方程；（II ）由题意，设直线l 的方程为y=+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S △OCM =S △OCN ，可得|1|=4|2|．即1=﹣42．联立即可得到，进而得到直线方程．【解答】（I ）证明：由题意，过且与轴垂直的直线方程为=i ，B i 的坐标为（10，i ），∴直线OB i 的方程为．设P i （，y ），由，解得，即2=10y ．∴点都在同一条抛物线上，抛物线E 的方程为2=10y ．（II ）由题意，设直线l 的方程为y=+10， 联立消去y 得到2﹣10﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点， 设为M （1，y 1），N （2，y 2），则1+2=10，12=﹣100， ∵S △OCM =4S △OCN ，∴|1|=4|2|．∴1=﹣42．联立，解得．∴直线l 的方程为．即为3+2y ﹣20=0或3﹣2y+20=0．【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力．19．（13分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1=1，AB=3，AD=4，BC=5，DC=6，（＞0） （1）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1（2）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为，求的值（3）现将与四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f （），写出f （）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【分析】（1）取DC 得中点E ，连接BE ，可证明四边形ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE ⊥CD ，即CD ⊥AD ，又侧棱AA 1⊥底面ABCD ，可得AA 1⊥DC ，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （）．【解答】（1）证明：取DC 的中点E ，连接BE ，∵AB ∥ED ，AB=ED=3， ∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，且BE=AD=4，∴BE 2+EC 2=（4）2+（3）2=（5）2=BC 2，∴∠BEC=90°，∴BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵侧棱AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ， ∵AA 1∩AD=A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1． （2）解：以D 为坐标原点，、、的方向为，y ，轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （4，0，0），C （0，6，0），B 1（4，3，1），A 1（4，0，1）． ∴，，．设平面AB 1C 的一个法向量为=（，y ，），则，取y=2，则=﹣6，=3．∴．设AA 1与平面AB 1C所成角为θ，则===，解得=1，故所求=1．（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．20．（14分）已知函数f （）=sin （w+φ）（w ＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f （）图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g （）的图象．（1）求函数f （）与g （）的解析式（2）是否存在0∈（），使得f （0），g （0），f （0）g （0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a 与正整数n ，使得F （）=f （）+ag （）在（0，n π）内恰有2013个零点．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（）=sin ；（2）依题意，当∈（，）时，＜sin ＜，0＜cos ＜⇒sin ＞cos2＞sincos2，问题转化为方程2cos2=sin+sincos2在（，）内是否有解．通过G ′（）＞0，可知G（）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（）=asin+cos2，令F（）=asin+cos2=0，方程F（）=0等价于关于的方程a=﹣，≠π（∈）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（），∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（）的一个对称中心为，φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（）=cos2．将函数f（）图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）后可得y=cos 的图象，再将y=cos的图象向右平移个单位长度后得到函数g（）=cos（﹣）的图象，∴g（）=sin．（2）当∈（，）时，＜sin＜，0＜cos2＜，∴sin＞cos2＞sincos2，问题转化为方程2cos2=sin+sincos2在（，）内是否有解．设G（）=sin+sincos2﹣2cos2，∈（，），则G′（）=cos+coscos2+2sin2（2﹣sin），∵∈（，），∴G′（）＞0，G（）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（）的图象连续不断，故可知函数G （）在（，）内存在唯一零点0，即存在唯一零点0∈（，）满足题意．（3）依题意，F （）=asin+cos2，令F （）=asin+cos2=0，当sin=0，即=π（∈）时，cos2=1，从而=π（∈）不是方程F （）=0的解， ∴方程F （）=0等价于关于的方程a=﹣，≠π（∈）． 现研究∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况．令h （）=﹣，∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a 与曲线y=h （），∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h ′（）=，令h ′（）=0，得=或=，当变换时，h ′（），h （）的变化情况如下表：），当＜π且趋近于π时，h （）趋向于﹣∞， 当＞π且趋近于π时，h （）趋向于+∞， 当＜2π且趋近于2π时，h （）趋向于+∞，故当a ＞1时，直线y=a 与曲线y=h （）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a ＜﹣1时，直线y=a 与曲线y=h （）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a ＜1时，直线y=a 与曲线y=h （）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h （）的周期性，可知当a ≠±1时，直线y=a 与曲线y=h （）在（0，n π）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y=a 与曲线y=h （）在（0，n π）内恰有2013个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a 与曲线y=h （）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671， ∴依题意得n=671×2=1342．综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F （）=f （）+ag （）在（0，n π）内恰有2013个零点．【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题．本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分. 21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换 已知直线l ：a+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l ′：+by=1（I ）求实数a ，b 的值（II ）若点P （0，y 0）在直线l 上，且，求点P 的坐标．【分析】（I ）任取直线l ：a+y=1上一点M （，y ），经矩阵A 变换后点为M ′（′，y ′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l ′的方程，从而建立关于a ，b 的方程，即可求得实数a ，b 的值；（II ）由得，从而解得y 0的值，又点P （0，y 0）在直。

2013年福建普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题）和第II卷(非选择题），第II 卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照題号在各题的答题区域（黑色线框）内作答， 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4. 做选考题时,考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑.5. 保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：样本数据n x x x ,21，的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-=Sh V 31=， 其中x 为样本的平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh = 24R S π=，334R V π= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 表示球的半径 第I 卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 已知复数z=1+i,A. z =-1-iB. | =2 D. 2.已知向量a= (m 2，4)，b=(1，1)则“m= -2”是“a//b”的 A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 3. 函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是4. 执行如图所示的程序框图,若输入的x 值为2，则输出的x 值为A. 3B. 126C. 127D. 1285. 设M ，N 是两条不同的直线，A ，β是两个不同的平面.下列命题正确的是A. 若m//n, m 丄β,则n 丄βB. 若m//n ，m //β，则 n //βC. 若m //a ，m//β，则 a //βD. 若n 丄a, n 丄β,则a 丄β6. 已知函数1cos sin 32sin 2)(2-+=x x x x f 的图象关于点（ϕ，0)对称，则 ϕ的值可以是A. -6πC.12π 7. 设抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为L ,P 为抛物线上一点，PA 丄l，垂足为A,如果ΔAPF 为 正三角形，那么|P F |等于A , 34B . 36C 6D . 128. 在矩形ABCD 中，AB = 1 ,AD),(R ∈+=μλμλ,则μλ3+的最大值为A.4236+ 9. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=0,ln 0,1)(2x x x kx x x x f 有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是A. (-4,0) B, ( -∞ ,0] C. ( -4,0] D, ( - ∞ ,0)10. 设数集S={a,b,c,d}满足下列两个条件：(1)S xy S y x ∈∈∀,,;(2) yz xz y x S z y x ≠≠∈∀则或,,, 现给出如下论断：①A ，B ，C ，D 中必有一个为0; ②A 、b,c ，d 中必有一个为1;③若x∈S且xy =1.，则y ∈S; ④存在互不相等的x,y,z∈S,使得x 2=y,y 2=z. 其中正确论断的个数是A 1 B.2 C. 3 D.4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11.(x+2)4展开式中含x 2项的系数等于________.12.若变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥--20113013y y x y x ，则z =2x +y 的最大值为_____.点A，则ΔMOA的面积等于______.14.如图.A1，A2，…A m-1(m≥2)将区间[0,l] m等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=e x所围成的区域为Ω1图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点,则该点取自Ω2的概率等于______.15.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y∈R 当.x①（a*b) * c=a* (b* c); ②（a * b)+c=(a+c) * (b+c);其e正确的结论是_____.(写出所有正确结论的序号）三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本小题满分13分）某几何体ABC-A1B1C1的三视图和直观图如图所示.(I)求证:A1C丄平面AB1C1(II)求二面角C1-AB1 -C的余弦值.17 (本小题满分13分）国IV标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/km.根据这个标准，检测单位 从某出租车公司运营的A,B 两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量 进行检测，检测结果记录如下（单位:mg/km)由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A 、B 两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等.(I)求表格中x 与y 的值；(II )从被检测的5辆B 种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km” 的车辆数为ξ求ξ的分布列和数学期望.18. (本小题满分13分）如图,我海监船在D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东(I)求此时该外国船只与D 岛的距离；(II)观测中发现,此外国船只正以每小时4海里的速度 沿正南方向航行.为了将该船拦截在离D 岛12海 里处，不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海 监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据：）19. (本小题满分13分）)0(122>>=+b a by 的左、右焦点分别为F 1 F 2 ,(I)求椭圆E 的方程； (II)给出命题:“已知P 是椭圆E 上异于A 1,A 2的一点,直线 A 1P,A 2P 分别交直线l:x=t(t为常数）于不同两点M ，N, 点Q 在直线L 上.若直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共 点P,则Q 为线段MN 的中点”，写出此命题的逆命题，判 断你所写出的命题的真假,并加以证明；(III)试研究(II)的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双 曲线有且只有一个公共点S 的直线m ，并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.20. (本小题满分14分）已知函数x f =)((I )求a,b 的值及f(x)的单调区间；x 且与曲线y=f(x)没有公共点的直线？证明你的结论； (III ）设数列{a n }满足a 1=λ(λ≠l),a n + 1 =f(a n )，若{a n }是单调数列，求实数λ的取值 范围.21. 本题有（1)、（2)、（3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做， 则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.并 将所选题号填人括号中.(1) (本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1234 M ，向量，a=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 57a (I)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(II)求M 3a(2) (本小题满分7分）选修4-4:极坐标与参数方程如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1，0),半径为1.(I )求圆C 的极坐标方程；(II)若以极点0为原点,极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=6sin 1πt y t x (3)(本小题满分7分）选修4一5 ：不等式选讲 已知函数x x x f -+=52)((I)求证：5)(≤x f ，并说明等号成立的条件；(II)若关于x 的不等式. |2|)(-≤m x f 恒成立,求实数m 的取值范围，。

2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b c c> 3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为A ．3B ．8C ．9D ．63 4．“1x =”是“210x -=”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是6．已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ，则 “x MN ∈”的概率是A ．110B ．16C ．310D ．127．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为 A ．15 B ．25 C ．45D ．5A BCD8．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4B ．1C ．0D ．1- 9．设,m n 为两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若β//,//m n m ，则β//n B ．若αα//,//n m ，则n m // C ．若β⊥m n m ,//，则β⊥n D ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα// 10．已知点()0,0O ，()1,2A ,()3,2B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:30l x y +-=与圆C 的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 11．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N 是线段0n A A 的n 等分点，则011+n n OA OA OA OA -+++等于A ．5nB ．10nC ．()51n +D ．()101n + 12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()l g1010,x yx y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是A ． 0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人． 14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，8b =，C=3π，则c = ．15．若函数2,0,()ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． 18．(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）试写出一个函数()g x ，使得()()cos2g x f x x =，并求()g x 的单调区间． 19．(本小题满分12分)某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面11AB C ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）若E 是线段1AB 上的一点，且满足1111191C B A ABC C AA E V V --=，求AE 的长．20．(本小题满分12分)某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年的SO 2年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围.（参考数据9505.0328≈，9559.0329≈）． 21．(本小题满分12分)已知函数()2e xf x ax bx =++．（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围． 22．(本小题满分14分)某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线2:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S的坐标俯视图侧(左)视图正(主)视图1A(),S S x y ，如图．（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．8； 14．7； 15．01a <≤； 16．22n m -．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B，得17x y +=． ① ………………………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由22=A Bs s ，得228+8=1x y --（）（）． ② …………………………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，因为x y <， 所以8x y ==． ………………………………………6分(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ， ()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ， ………………………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………………………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. ………………………………………12分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为())4f x x π=+，………………………………………3分所以121243f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………6分 (Ⅱ)()cos sin g x x x =-. …………………………………………………………7分 下面给出证明：因为()()22(cos sin )(sin cos )cos sin cos2,g x f x x x x x x x x =-+=-=所以()cos sin g x x x =-符合要求．……………………………………………………9分又因为()cos sin 4g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，…………………………………………10分由222,4k x k πππππ+<+<+得3722,44k x k ππππ+<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .………………………………11分又由224k x k ππππ<+<+,得32244k x k ππππ-<<+, 所以()g x 的单调递减区间为32244k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，k ∈Z .………………………………12分 解法二：(Ⅰ)因为()21s i n 2,fx x =+⎡⎤⎣⎦所以231s i n 1262f ππ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………3分又因为0,12f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以12f π⎛⎫=⎪⎝⎭6分 (Ⅱ)同解法一． 解法三：(Ⅰ)sin cos sin cos 1212123434f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sincoscossincoscossinsin34343434ππππππππ=-++…………………3分112222=-++=………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．注：若通过()()cos 2xg x f x =得到()g x 或由()()(cos sin )(cos sin )g x f x x x x x =+-两边同时约去()f x 得到()g x 不扣分．19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．………………………………………2分 1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， …………………3分 11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴．……………………5分又1111C AB C B 平面⊂ ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴．………………………6分 （Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分1111191C B A ABC C AA E V V --= ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆ ……………………8分1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32=EF .……………………9分在Rt ABC ∆中，AB ===，在1Rt ABB ∆中，16AB ===，……………………10分由111C B EF AB AE =， ……………………11分 得22326C B EFAB AE 111=⨯=⋅=. ……………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分11111111133C AA B C B A A C B A ABC V V V ---== ，111111113191C AA B C B A ABC C AA E V V V ---==∴ ………8分,313131111111C B S EF S C AA C AA ⋅⨯=⋅∴∆∆,3111C B EF =∴ ………9分 在AB C Rt ∆中，5224AB 2222=+=+=BC AC ，在1ABB Rt ∆中，()6452AB 222121=+=+=BB AB ，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得2AB 31AE 1==. ……………………12分 20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列，……………3分 所以()55159.3(0.3)=43.52y ⨯-=⨯+⨯-（万吨）． 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．……………………6分 （2）由已知得， 2012年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），……………………7分所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，…………………9分由题意得891p ⨯-（）＜6，即1p -＜832， 所以10.9505p -<，解得 4.95%p >.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p <<<……………………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，……………………1分所以，当(,0x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,x ∈+∞时，()0f x '>；……………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……………………4分（Ⅱ）因为()2xf x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2tk f t e at b '==++，所以切线l 的方程为()()()22t t y e at bt e at b x t -++=++-，令0x =，得()21ty t e a t=-- ()01t << (5)分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211tt e at --<，即()2110tt e at -++>()01t <<.……………… 6分令()()211tg t t e at =-++，则()()2t g t t e a '=+，………………………………………………………… 7分 因为01t <<，所以1t e e <<， ①若21a ≥-即12a ≥-时，20te a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增， 所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.………………………………8分 ②若2a e ≤-即2e a ≤-时，20te a +<，所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，所以()(0)0g t g <=，所以2ea ≤-不满足题意.………………………………………9分 ③若21e a -<<-即122e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：所以()()l n (2)00g a g -<=，所以22a -<<-不满足题意.………………………………11分 综合①②③，可得，当12a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.…………12分22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解法一：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，……………………2分所以2p =，………………………………………………………………………3分因此，抛物线E 的方程24y x =．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意可设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①……………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，21121,y NS x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ……………………7分 又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………8分 2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22122112*********4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21121212144y y y y y y y y -=-+()22121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ②把①代入②，得()221212121604y y y y y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， (10)分即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以//MT NS ，又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．……………………………………………11分（Ⅲ）设抛物线2:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．……………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()221122,2,,2S t t T t t ，……………………5分依题意,可设直线:1ST l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=， 则1212224,224,t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩所以12124,1.t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩ (7)分又因为2:2AS l y t x =-，1:2AT l y t x =-， 所以()21,2M t -，()11,2N t -，………………………………………………………………………10分所以MT k =，0NS k =，………………………………………………………………………………10分又因为M 、T 、N、S四点不共线，所以MT //NS .…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意，设直线:1l my x =-，由241y xmy x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，…………………………………………6分 又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又因为212y y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭221122224404y y y y y x y +=+=，……………………………………9分 所以212y y x =-，所以NS 平行于x 轴； 同理可证MT 平行于x 轴；又因为M、T、N、S四点不共线，所以MT//NS.…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一.…………………………………………………14分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试卷(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++-… 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 若2ia bi i+=+（,,a b R i ∈为虚数单位），a b +=则（ ） A.1 B. 3 C.－1 D.－32A ．B ．C ．D ． 3．根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空天数350340330*********气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A.300B. 305C.315D. 320 ４.已知函数()af x x x=+，则“4a =”是“函数()f x 在(2,)+∞上为增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线l 与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题： ①直线l 上的点都在平面α内； ②直线l 上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l 平行． 其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.06．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ．8?n ≤ B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤7．已知正方形ABCD 边长为2,在正方形ABCD 内任意取一点M ，则点M 到边BC 的距离大于M 到点A 的距离的概率为( ) A.31 B. 61 C.32 D.65 8.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中R ∈λ，则点P 一定在 A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部9．在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是( ) A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP x y =+e e （其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP 的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论： ①若60θ=，P (2,－1)，则||3OP =；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++； ③若11(,)OP x y =，22(,)OQ x y =，则1212OP OQ x x y y ⋅=+；④若60θ=，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ． 3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11.341()x x -展开式中常数项为 ．12.已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x x π-⎰的值等于 ．13．在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1ax b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.14．“求方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。