2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。

福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知【法规类别】教育综合规定【发文字号】闽科协发[2017]30号【发布部门】福建省科学技术协会福建省教育厅【发布日期】2017.03.23【实施日期】2017.03.23【时效性】现行有效【效力级别】XP10福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知（闽科协发〔2017〕30号）各设区市、平潭综合实验区科协、教育局：为进一步普及数学基础知识，培养高中学生学习数学的兴趣爱好、创新意识和创新思维，经研究，决定联合举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛。

现将有关事项通知如下：一、参赛对象2016～2017学年高一、高二在校生。

二、竞赛形式、时间和地点1.预赛：竞赛形式为笔试。

2017年5月21日（星期日）上午9：00～11：30，在各设区市设立考场同时进行。

2.复赛：竞赛形式为笔试。

2017年9月10日（星期日）上午8：00～12：10（其中8：00～9：20为联赛，9：40～12：10为联赛加试），在福州第一中学高中部（福州市闽侯上街镇福州大学城）举行。

三、报名方法学生自愿参加，其所在学校统一向各设区市组织单位报名。

报名时需提交学生一寸彩色近照2张，用于准考证制作。

四、赛事组织福建省数学学会为福建赛区承办单位，组成福建省中学生数学竞赛委员会，统筹负责福建赛区竞赛工作。

预赛考务工作由各设区市科协、教育局确定组织单位负责组织实施，复赛由省中学生数学竞赛委员会负责组织实施。

1.预赛：预赛由省中学生数学竞赛委员会命题制卷，各设区市组织单位须于2017年4月21日前向省中学生数学竞赛委员会报送预赛报名名单，以便提供试卷，福州一中、福建师大附中纳入福州市统一管理；5月14日左右，省中学生数学竞赛委员会将把试卷寄达各设区市组织单位；6月4日前各设区市应将本设区市预赛总体情况、所有预赛参赛选手的成绩花名册（加盖设区市教育局公章）以及参加复赛选手的答卷、2张一寸彩色近照、复赛报名表（含姓名、学校、年级、身份证号、指导教师及其联系方式等），上报省中学生数学竞赛委员会。

3_¥)故学敉学2021年第3期例谈题根在数学解题中的应用----以对数均值不等式为例张国治(新疆生产建设兵团第二中学，新疆乌鲁木齐83_2)笔者通过对近几年高考、竞赛试题的研究，有一个很有趣的发现——许多试题来源于 同一个问题.我们可以把这类不断生长的问题 称为“题根题根是一个题族、一个题系中的 源头，也是一个题群中的典例.把握住了一个 题根，叩源推委，便能寻觅到解决问题的“金钥 匙”，进而辐射到一个题族、题群.以题根方式 展开教学，旨在寻找解题思维入口，通过题根 的变式拓展探求不同的解法，帮助学生理解问 题内涵，总结归纳.那么如何寻找“题根”呢? 将源于课本、高考、竞赛的题目进行提炼与升 华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践 中，这便是寻找题源的不二法门.这一过程意 义非凡，因为茫茫题海中很多题目表象不同，但实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一 个题源加工而成的结论，其功效不亚于教材中 的一个定理，寻找“题根”需要八方联系，浑然一 体.笔者以一道竞赛题为例，探源溯流，给出一类 高考题、竞赛题命题的题根，多题归一，提供一种 高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]题根（2017年全国高中数学联赛湖南省 预赛第15题）[2]已知a、6 e 11且〇 > 0, i > Q，a #b.(i)求证：#(2)如果 a、6 是函数/(a:) = lnx -的两个零点，求证> e2.证法 1:如图 1，设/(*) = e*，x e [m，n]，其中双m，0)，B(n，0)，过点分别作x轴的垂线，交曲线于c、Z)两点.点)处的切线/分别交BC、于点£、f，则f c pJ f=6〒，所以/:7 1梯形从一(j£+J f)=(n-m*n^l)e ，•^曲边梯形A sa) =| g dx =e一 e , *S梯形^ m数感是《义务教育数学课程标准（2011 版)》中的十大核心概念之一，对运算结果的估 计是数感的一种重要体现.估计（估算）在三个 学段都有明确具体的目标要求，其中在第三学 段(7-9年级）的知识技能目标对运算（包括估 算）技能的要求是达到掌握层级.固然，计算的 准确性是数学学科的基本要求之一，运算能力 是典型的数学能力，但其内涵已发生了变化.运 算能力不仅指能够“正确地从事运算”，还包括 借助工具计算和手算，也包括精确计算和估算[2].作为一线的数学教师，应该充分理解课标 的价值理念,在日常的教学中应该给“估算”留一席之地.准确、标准的答案是我们数学人的追求，但“估算”是数学运算中不可或缺的组成部分估算”过程中所体现出的发散式调适与思考，正是学生创新意识形成、创新能力培养的一个有效载体.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数 学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]马复，凌晓枚.新版课程标准解析与 教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2021年第3期故学敉学3-41n - m . 、 n — m / m …、 _ ...2 (yA + J b ) = 2 (e + e )•显然有S 梯形y l B E F < $曲边梯形/I B C D < S 梯形A f i C Z )，艮Pm +nr j一)(n - m ) e 2 < en - em < —-—(em + e n)，1_•设％> 1，则欲证不等式成立等价于证明21n % < i ---(x > 1).构造函数则e 宁<^<n - m a2，令 en = a ，可得< , , , - ^In a - lno 2证法2:(1)由对称性，不妨设a > 6 > 0,^ a - b a + b a - b a + l 先证^-----TT < —•因为^----— <In a - Ini 2 〇 In a - Ini >2(a - b )^ a ^In a - \nb 2a + ba—+设％ = T > 1，则欲证不等式成立等价于〇证明lnx > ^l l (x > 1}.X + l构造函数/(尤）=lnx - ^~~> 1)，则作)=(n因为* > 1,所以尸（*) >x(x + 1)0,/(X )在（1，+ =C )上为单调递增函数，由 f i x ) >/〇) = 0,即得lm > 1)，即<In a - In 62再证#< , a ~ f -,-.因为# <In a - Ini In a - Inia<=> In a - In 6 <y 〇b<=> In — <g 〇) = 21m -卜 一(% > 1)，则g '(x ) =- (% -J )<〇，因此g U )在（1, + 〇〇)上为单调递减函数.办）<g (l ) = 0,即得21n % < (a :---1 (x > 1),即y 〇b <a综上可知，#<In a - Inia -b In a - Ini2以上结论反映了对数平均与算术平均、几何平均的大小关系，我们知道两个正数a 、6的 对数平均定义：L (a , b ) = jlna - ln 6 () ’la(a = b ).则当 a >〇，i >〇,有<In a - Ini—^一，^^<[(16)<-^—（当且仅当〇=6时，等号成立).若令 lna =文！，Ini =%2,贝l j d = e*1，6 = e*2, < —z —等价于^^?J~a b <In a — Ini 2?V 2__*2 丄 ^2‘1—，利用该不等式，可x X pL e - e " e •十 ee 2 < ------- < —-xx - x 2 2以轻松获解该题的第（2)小题：证明:定义域为（〇, +〇〇 )，尸(％) 1 2017 -x2017 2黯•若p2〇17，则/，（,）= 0;若* e (0,2017),则尸〇) >0,函数/(；〇单调递 增;若;c e (2017, + 〇〇 )，则尸(无）< 0,函数3-42故学敉学2021年第3期/(幻单调递减.由对称性，不妨设 a >6> 〇,则可得〇< 6<2017 <a.由条件知，ln a= 且ln6=故 lna- ln6(a-6)，即2017由对数均值不等式得2017即a + 6 > 2 x 2017.-bIn a - Inia -bIn a - In6= 2017,<2 ，1iia;,a：2= \nxl+ \nx2= m(x l+ x2)> 2m•— = 2,所以a:丨a:2> e*12.m评注:不难发现，例1第（2)小题是题根第(2)小题的一般情况，事实上，由对数均值不等,______ 1 X] ~X22J x x x2<—=---------------，艮p<m lnxj -m x2-7,可见必有〇< m < i.m e因为lnafc= In a+ In6 =----(a+ 6) >2017 》^x 2x 2017 = 2,所以d> e2.下面举例说明此题根在高考、竞赛、模考中的应用，也进一步洞悉此类问题的编拟奥秘.类型1直接用对数均值不等式例1(2016年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[3]已知函数/(幻=i l n x-(1)若m =」2时，求函数/(幻的所有零点；(2)若/(4有两个极值点心、巧,且x, < 尤2•求证:丨内> e2.解析:（1)当m =-2时，/(幻=;*111»:+；*:2-x = x( \nx + x -l) (x> 0). i^,p(x)=ln% + x -1(«：> 0)，则p'(A〇=丄+ 1> 0,于是p(a〇在X(〇, + «>)上为增函数.又P(1) = 0,所以，当m =-2时，函数/(幻有唯一的零点a; = 1.(2)若/(x)有两个极值点x,、*2,则导函数/'(*)有两个零点h h•由/'U)= In* -m*，可知例2(2018年全国高中数学联赛福建省预赛第14题）[4]已知/U)= e* -似.(1)当x > 0时，不等式Q-2)/(幻+ m*2+ 2> 0恒成立,求实数m的取值范围；(2)若力、*2是/(幻的两个零点，证明：A C, + A；2> 2.解析：（1)略.(2)证明：由题可得/U)= /U2) = 〇,即I e*' = m x., t _x x,x得。

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编函数2017.031、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 .2、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x = ，则(2)f -=A ．4B ．14 C ．14- D ．4- 3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）函数331x x y =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．5、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知函数f (x )＝lg 101＋4x 2－2x，则f (2017)＋f (－2017)＝（ ）A ．0B ．2C ．20D ．4034 6、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）已知12a =，123b =，3log 2c =，则（ ）A ．b a c >> B.c b a >> C.b c a >> D.a b c >>7、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）函数8、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）函数223xx xy e -=的图象大致是A ．B ． C. D ．9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））函数()21log 41 410 4x x f x x ⎧-≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，若方程()()20af x bf x c ++=有8个不同的实根，则此8个实根之和是（ ） A ．52 B ．4 C.114D ．2 10、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）下列四个图中，函数1|1|ln 10++=x x y 的图象可能是（ ）11、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()()()0.50.52log 2,log 4,2a f b f c f ===，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >> 13、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）若幂函数()f x 过点（2，8），则满足不等式 f (a ﹣3)＞f (1﹣a ) 的实数a 的取值范围是 .14、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知函数f (x )＝x 3＋2x －1（x ＜0）与g (x )＝x 3－log 2 (x ＋a )＋1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(－∞，2)B ．(0，12)C ．(12，2)D ．(2，＋∞)15、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考） 函数cos ln ||xy x -=的图象大致是（ ）16、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x ()21x x ≠，使得()()21x f x f =.当)()4ff b =成立时，则实数=+b a （ ）A ．3 B. 5 C.3 D. 117、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.318、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞19、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））已知函数()()133ln f x mx m x x=--+，若对任意的()4 5m ∈，，[]12 1 3x x ∈，，，恒有()()()12ln33ln3a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是 ．20、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）已知函数()()(),ln 24x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln 2B ．ln 21-C ．ln 2-D ．ln 21--21、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为（A ） （B ）（C ）（D ）参考答案1、),0[+∞2、D3、C4、1,04⎛⎤-⎥⎝⎦5、B6、C7、C8、A9、D 10、D 11、B 12、A 13、(2,)+∞ 14、A 15、D 16、A 17、C 18、B19、37 6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 20、D 21、D。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C ==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE ===同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H E F ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。

则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。

则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。

则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。

则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列 2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设}{na 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80,则131211a a a ++= （A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 2、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,,234n. ①第二步：将数列①的各项乘以2n ，得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a .则1223341n n a aa a a a a a -++++= ．3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考） 等差数列{}na 中,nS 是前n 项和，且k S S S S==783,，则k 的值为( ）A.4B.11C.2D. 124、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考)等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，若32S=，618S=,则105SS 等于( ） A ．—3 B ．5 C ．-31 D ．335、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知数列}{na 与}{nb 满足)(32*∈+=N n b an n,若}{n b 的前n 项和为)13(23-=n n S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 。

6、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月)月考）已知等差数列{}na 前9项和为27，()1099=8=aa ，则A ． 100B 。

99 C. 98 D. 977、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos 1b b a a +-⋅的值是（ )A 。

13 3 33 2 5 5 2 2 12 a q (a a ⎩n) q说明：2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．1. 在等比数列{a } 中， a 2, a ，则 a 1a 2011的值为 ．n23aa答案： 8．972017解：数列{a } 的公比为qa 3 ，故 a 1 a 2011 a 1 a 2011 1 8．a 2a 6 67 2017 1 20112. 设复数 z 满足 z 9 10 z22 i ，则 z 的值为． 答案： ．解：设z a b i, a , b R ．由条件得 (a 9) b i 10a (10b 22) i ．比较两边实虚部可得⎧a + 9 = 10a , ⎨b = -10b + 22, 解得a 1,b 2 ，故 z 1 2i ，进而 z ．3. 设 f (x ) 是定义在R 上的函数，若 f (x ) x 2 是奇函数， f (x ) 2x 是偶函数，则 f (1) 的值为 ．答案：7 ．4解：由条件知， f (1)1f (1) (1)2f (1) 1,f (1) 2 f (1) 1，2两式相加消去 f (1) ，可知2 f (1)31 ，即 f (1)7 244. 在ABC 中，若sin A 2 sin C ，且三条边a , b , c 成等比数列，则cos A 的值为． 答案： 2．4解：由正弦定理知， a sin A2 ，又b 2 ac ，于是a : b : c 2 :: 1 ，从 c sin Cb 2c 2 a 2 ( 2)2 12 22而由余弦定理得， c os A ．2 ．92bc 45.在正四面体ABCD 中，E, F 分别在棱AB, AC 上，满足BE = 3, EF = 4 ，且EF 与面BCD 平行，则∆DEF 的面积为．2333737DE2 EH 2333321172答案：2 ．解：由条件知，EF 平行于BC ．因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF4,由余弦定理得，DE同理有DFAD AB AE BE 7 ．，作等腰DEF 底边EF 上的高DH ，则EH1EF 2 ，故2于是SDEFDH ，1EF DH 2 ．26.在平面直角坐标系xOy 中，点集K ( x, y) | x, y 1, 0, 1．在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2 的概率为．答案：5．14解：注意K中共有9 个点，故在K中随机取出三个点的方式数为种．当取出的三点两两之间距离不超过2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6 种情况．（2）三点是边长为1, 1, 的等腰直角三角形的顶点，有4 4 16 种情况．（3）三点是边长为2, 2, 2 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0, 0) 的有4 个，直角顶点位于(1, 0), (0, 1) 的各有一个，共有8 种情况．综上可知，选出三点两两之间距离不超过2 的情况数为，进而所求概率为30 5．84 147.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线x2 ay2 a2 0 的焦距为4，则a 的值为．答案：117 ．2x2 y2解：二次曲线方程可写成a2 a1．显然必须 a 0 ，故二次曲线为双曲2 x2 2 2 2 21．则c(a)2a(a)a a ，注意到焦距2c 4 ，可知a2 a 4 ，又a 0 ，所以a ．8. 若正整数a, b, c 满足2017 10a 100b 1000c ，则数组(a, b, c) 的个数为．答案：574 ．AD2AE 2 2 AD AE c os6049 16 2832017 解：由条件知c2 ．1000当c 1时，有10 b 20 ．对于每个这样的正整数b ，由10b a 201 知，45n n1n2n相应的a 的个数为202 10b ．从而这样的正整数组的个数为20(202 10b)b10(1022)112572 ．2017 2017当c 2 时，由20 b ，知b 20 ．进而200 a201 ，100故a 200, 201 ．此时共有 2 组(a, b, c) ．综上所述，满足条件的正整数组的个数为．10二、解答题：本大题共 3 小题，满分56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设不等式2x a52x 成立，求实数a 的取值范围．解：设t 2x ，则t [2, 4]，于是对所有成立．由于t a 5t (t a)2 (5t)2(2t a 5)(5a) 0 ．………………8分对给定实数a ，设f (t) (2t a 5)(5a) ，则f (t) 是关于t 的一次函数或常值函数．注意t [2, 4]，因此f (t) 0 等价于f(2)(1a)(5a)0,f(4)(3a)(5a)0,………………12分解得3 a 5 ．所以实数a 的取值范围是3 a 5 ．………………16分10.（本题满分20 分）设数列{an} 是等差数列，数列{bn} 满足b a a a2, n 1, 2, ．（1）证明：数列{bn}也是等差数列；（2）设数列{an}、{bn}的公差均是d0，并且存在正整数s,t，使得asbt 是整数，求a1的最小值．解：（1）设等差数列{an}的公差是d，则b b(a aa2) (a a a2 )n1n n2n3n1n1n 2 nan 2(an 3an1) (an 1an)(an 1an)an 22d (an 1an) d(2an 2an 1an) d ．所以数列{bn}也是等差数列．………………5分（2）由已知条件及（1）的结果知．因为，故．这样b a a a2 (a d )(a 2d ) a2n n 1 n2n n n n6nn3da 2d 2a 2． ………………10 分9若正整数 s , t 满足，则72 1 2abaa 2a (s 1) d a (t1) d 2stst9 1192a 1s t22Z ． 39记l 2a 1s t 2 2 ，则39l Z ，且 18a 1 3(3l s t 1) 1是一个非零的整数，故，从而 ．………………15 分又当时，有 ab1171Z ．1318 18综上所述， a 的最小值为 1．………………20 分11811. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C : y24x ，曲线C : (x 4)2y 28 ．经过C 上一点 P 作一条倾斜角为 45 的直线l ，与C 交于两 21 2个不同的点Q , R ，求 P Q PR 的取值范围．解：设 P (t 2 , 2t ) ，则直线l 的方程为 y x 2t t 2，代入曲线C 的方程得， (x 4) 2 (x 2t t 2 ) 2 8 ，化简可得 2x 2 2(t 2 2t 4)x (t 2 2t ) 2 8 0 ． ① 由于l 与C 2 交于两个不同的点，故关于 x 的方程①的判别式为正．计算得，(t22t 4)2 2((t 22t ) 28) (t 2 2t )28(t 2 2t ) 16 2(t22t )216 4因此有(t 22t ) 28(t 22t )(t 22t )(t 22t8)t (t 2)(t 2)(t4) ， t (2, 0) (2, 4) ．②………………10 分设Q , R 的横坐标分别为 x 1, x 2 ，由①知，xxt 2 2t4, x x1((t 22t ) 28) ，121 2 2因此，结合l 的倾斜角为45可知，PQ PR2( x t 2 )2( x t 2 )2x x2t 2 ( xx ) 2t 4121 212(t 2 2t ) 282t 2 (t 22t4)2t 4t 4 4t 3 4t 2 82t 4 4t 3 8t 22t 4t 4 4t 2 8 (t 2 2) 2 4 ．③………………15 分由②可知，t 22 (2, 2) (2, 14) ，故(t 2 2)2 [0, 4) (4, 196) ，从而由③得， PQ PR (t 2 2) 2 4 [4, 8) (8, 200) ．………………20 分注 1：利用C 2 的圆心到l 的距离小于C 2 的半径，列出不等式2 ，同样可以求得②中t 的范围． 注 2：更简便的计算 PQ PR 的方式是利用圆幂定理．事实上，C 2 的圆心为4 2t t 22M (4, 0) ，半径为r 2 ，故2PQ PR PM 2 r 2 (t 2 4)2 (2t)2 (2 2)2 t 4 4t 2 8 ．8。

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。