福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。

１2020年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷（考试时间：2020年6月27日上午9：00－11：30）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分. 请直接将答案写在答题卷相应位置上）1．已知复数z 满足1z z i -=-，若61z z z ---为正实数，则z = ★★★ . 2．已知()3cos()f x x ωϕ=+（0ω>，ϕπ<），若5()08f π=，11()38f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ= ★★★ .3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合{}260A x x x =--<，[]{}22350B x x x =--=，则A B = ★★★ .4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，当12x ≤≤时，()ln f x x =. 若关于x 的方程()10f x ax +-=在[]35x ∈，上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为 ★★★ .5．设1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >) 的左、右焦点，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，且120AF AF ⋅=，2220F B F A +=，则双曲线C 的离心率为 ★★ . 6．在以凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与该十八边形无公共边的概率为 ★★★ .7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别在棱1AA 、11A D 、11D C 上，E 为1AA 中点，11111113D F D G D A D C ==. 记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m ，则直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为 ★★★ .8．已知a 、b 、c 、d 为正数，且20202a b c d +=+=，则11a bcd+的最小值为 ★★★ . 9．已知实数m 满足：当关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根时，2222()()()a b b c c a ma -+-+-≥总成立，则m 的最大值为 ★★★ .10．设正整数n 为合数，()f n 为n 的最小的三个正约数之和，()g n 为n 的最大的两个正约数之和. 若3()()g n f n =，则n 的所有可能值为 ★★★ .（第7题图）２ 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程，写在答题卷相应位置上）11．已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2143n n n a a a ++=-（*n N ∈）.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设13n n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证：34n T <.12．已知椭圆C ：22221x y a b+= (0a b >>) 的离心率为12，右焦点F 到直线20x y -+=的距离为22，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点 (点A 在x 轴上方)，T 为直线1A A 、2A B 的交点. 当点T 的纵坐标为63时，求直线l 的方程.13．如图，在ABC △中，AB AC <，ABC △的内切圆I 与边BC 、CA 分别切于点D 、E ，连AI 并延长交ABC △的外接圆O 于点N ，连ND 、NO 并延长分别交O 于点G 、M ，连GE 并延长交O 于点F .(1) 求证：NIG NDI △∽△；(2) 求证：MF AC ∥.14．已知2()(1)1x f x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，若2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围.15．将一个20202020⨯方格表的每个小方格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个小方格A ，它所在的行与列的所有小方格中，与A 异色的小方格多于与A 同色的小方格. 证明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色的小方格一样多.（第13题图）。

全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间：9月11日上午8：00～10：30一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2,2(ππ-∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B21 C 22 D 12、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1291112===++-=--a a n a a a a a n nn n n 则5a 的值为（ ）A 3B 4C 3或4D 83、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则22y x +等于（ ）A 1 B26 C 35 D 127 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知nmx =50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A22 B 23 C 26D 16、P 为椭圆191622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ） A29 B 329 C 427 D 3427 二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数z y x ,,满足,146,74,72222-=+-=+=+x z z y y x 则222z y x ++＝.8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。