随机过程课后习题解答 毛用才胡奇英
- 格式：pdf
- 大小：595.46 KB
- 文档页数：58
u ( jt b ) x b p e u u p 1 du
bp
1
( p) 0 (b jt) p
(b jt ) p (1 jt ) p
b
( ( p ) e x x p 1 d x )
0
（2） E(X )
1 j
fX ' (0)
p b
E(X 2)
1 j2
f X '' (0)
n(1 e jt )
= 1 n e jtk
n k 1
P{xk
k}
1 n
（ k 0, 2,n ）
6、证函数 f (t) 1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
1 t2
nn
解 （1）
f (ti tk )i k
n
jt x k
解
f n (t) E (e Xk
k 1
)
k 1
n
=
E (e jtxk )
k 1
n
=
p
k 1 1 qe jt
= pn (1 qe jt )n
= Cnk pn (q)k e jtk k 0
n
P{ xk n k} Cnk pn (q)k k 1
5、
试证函数
f
(t)
e jt (1 e jt ) n(1 e jt )
F(x) 的特征函数为
fX
(t)
1 0
ejtxdx
ejtx jt
1 0
1 (ejt 1) jt
fY (t ) e jbt f X (at ) e jbt (e jta
1)
1 jat
（2） f Z (t ) E (e jtz ) E[e jt ln F ( x) ]
1
= e j t ln y 1 d y
的特征函数。
（1）Y aF ( X ) b, (a 0, b是常数)；
（2） Z ln F ( X ),并求E(Z k )(k是常数）。
解 （1） P{F ( x) y} P{x F 1 ( y)} F [ F 1 ( y)] y
0
F (y)
y
1
y0 0 y 1
y 1
F ( x) 在区间[0，1]上服从均匀分布
k 0
= p (q e jt ) k
k 0
p 1 qe jt
又 E ( X )
kpq k
k 0
p kq k
k 0
p
q p2
q p
D(X ) E(X 2) [E(X )]2 q P2
（其中 nxn (n 1)xn xn ）
n0
n0
n0
令 S(x) (n 1)xn n0
则
p( p 1) b2
D(X)
E(X2
)
E2(X)
P b2
（4） 若 Xi (pi,b) i 1, 2 则
fX1X2
(t)
fX1
(t)
fX2
(t)
(1
jt )(P1P2 ) b
Y X1X2 (P1 P2,b)
2
同理可得：
f
Xi
(t )
( b
b
jt
)
Pi
3、设 X 是一随机变量， F(x) 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量
k0
k0
令 S(x) (k 1)2 xk 则 k 0
x
S (t )d t ( k 1) 2 t k d t ( k 1)x k 1 k x k ）
0
k 0
k0
k 1
1
2、（1） 求参数为 ( p,b) 的 分布的特征函数，其概率密度函数为
p(
x)
b (
p
p)
x
e p1 bx
,
x
0
b
0,
p
0
0, x 0
（2） 其期望和方差；
（3） 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X
(t)
e jtx
0
bp ( p)
x e p1 bxdx
bp
x p 1e ( jt b ) x dx
( p) 0
0
=
1 0
y
jt dy
1 1
jt
fZ'(t) (1) j(1 jt)2 fZ '' (t) (1)(2) j2 (1 jt)3
（0 y 1）
3
fZ(k)(t)(1)kk! jk(1jt)(k1)
E(Z k )
1 jk
fZ (k ) (0) (1)k k !
n
4、设 X1，X 2， X n 相互独立，且有相同的几何分布，试求 X k 的分布。 k 1
x
S (t )d t
x
( n 1 )t n d t
x n 1
x
0 k0 0
n0
1 x
S (x)
d dx
xHale Waihona Puke S (t)dt01 (1 x ) 2
nxn
1
1
x
n0
(1 x ) 2 1 x (1 x ) 2
同理 k 2xk (k 1)xk 2 kxk xk
k 0
k 0
为一特征函数，并求它所对应的随机变量
的分布。
证 （1） lim f (t) lim e jt (1 e jnt ) 1 lim e jt (1 e jt ) 1
t 0
t0 n(1 e jt ) n t0 1 e jt
lim
t 0
f (t) lim t 0
e jt (1 e jnt ) n(1 e jt )
} i
k
=
n i 1
n k 1
e jti e jtk
{1
e jti ( e jtk
)(1
e jti e jtk
n(1
e jti e jtk
)
)} i k
n n n
1 j(ti tk ) l
[e ] =
ik
n i1 k 1 l 1
n n n jlti
1 e =
jltk i k
n e i1 k 1 l1
n n
nn
1 e e =
jlti i
jltk k
n i1 l 1
k 1 l 1
nn
f (ti tk )i k 0
i1 k 1
非负定
（2）
f
(t)
e jt (1 e jnt ) n(1 e jt )
= e jt (1 e jt )(1 e jt e2 jt e(n1)tj )
第一章习题解答
1． 设随机变量 X 服从几何分布，即： P(X k) pqk , k 0,1, 2,。求 X 的特征函
数，EX 及 DX。其中 0 p 1, q 1 p 是已知参数。
解 f X ( t ) E ( e jtx )
e jtk p q k
k 0
p
( q k e jtk )
1 lim e jt n t0
lim
t 0
(1 e jt ) 1 e jt
1
f (0) 1
lim f (t) 1 f (t) 为连续函数 t0
4
n
i 1
n k 1
f (ti tk )i k
n i 1
n k 1
e e
jti
jtk {1
n (1
e jti ( e jtk
)n
e jti e jtk )
