2016随机过程（A ）解答
1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。
1) 求)(t X 的一维概率密度函数；
2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：
由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，
且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+
{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+
故： (1) )(t X
的一维概率密度函数为：()2
22218(1)
(),x t t t f x e
x ---
+=
-∞≤≤∞
(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：
{}{}
(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+
{}{}{}
22()13()413
st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+
协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+
（3）相关系数：
(,)s t ρρ==
==
)(t X 的二维概率密度函数为：
2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e
ρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪
+⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
=
2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的
平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：
到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。
将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为：
419,04
()80,47t t t t λ+≤≤⎧=⎨
<≤⎩
在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值：
6
4
6
2
2
4
(6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=⎰⎰⎰
在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为：
{}0282
282(282)(6)(2)00!
P X X e e ---==⋅=
在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：
(6)(2)282m m -=
3、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户
4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。 解：
已知移民到某地区定居的户数)(t N 是一个强度8λ=的泊松过程，第i 户的人口数
）（Λ,2,1=i Y i 是相互独立同分布的随机变量，在t 周内移民到该地区人口数：
∑==)
t (N 1
i i Y )t (X 是一个复合泊松过程，i Y 的分布为：
1234
0.20.30.30.2i Y P 22.5
7.3EY EY ∴==
由公式：()()2
tEY )t (X D ,
tEY )t (X E λλ== 可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：
()()(5)88 2.5160,(5)887.3467.2E X D X =⨯⨯==⨯⨯=
4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
0.20.30.50.10.50.40.60.20.2P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（1） 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。 （2） 求两步转移概率矩阵)
2(P
及当零时刻初始分布为：
000{1}0.2,{2}0.2,{3}0.6,P X P X P X ======
时，经两步转移后的绝对分布。
解：
（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布123{,,}T
ππππ=满足：
11232123
31231230.20.10.60.30.50.20.50.40.21
πππππππππππππππ=⋅+⋅+⋅⎧⎪=⋅+⋅+⋅⎪⎨
=⋅+⋅+⋅⎪⎪++=⎩ 解得：123323437,,103103103
πππ=== 故平稳分布323437{
,,}103103103
T
π= 各状态的平均返回时间：123123110311031103,,323437
μμμπππ======
（1）(2)
0.20.30.50.20.30.50.370.310.320.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.260.320.42P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⋅=⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
已知初始分布：(0)(0.20.20.6)T
P =，所以经两步转移后的绝对分布为：
(2)
0.370.310.32(2)(0)(0.20.20.6)0.310.360.33(0.2920.3260.382)
0.260.320.42T T P P P ⎛⎫ ⎪
=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
5、（10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。 解：
设红灯为状态1，绿灯为状态2，可以求出其转移概率矩阵为：0.10.90.40.6P ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布12{,}T
πππ=满足：
1122121
20.10.40.90.61
ππππππππ=⋅+⋅⎧⎪
=⋅+⋅⎨⎪+=⎩ 解得：1249
,1313
ππ=
= 故平稳分布49{,}1313
T
π=
路口遇红灯的极限概率为1413
π=
红灯和绿灯状态的平均返回时间：121
21
13113,49
μμππ=
=
== 6、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：
0.0
0.30.00.70.00.10.20.30.20.20.0
0.00.40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.0
0.8P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（1）试对状态进行分类，并说明各状态的类型；
（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。
解：
马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I 可以分解为1{1,2,4}C =和2{3,5}C =的并。其
