数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)

第十九章 含参量积分

1含参量正常积分

概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=dcdyyxf),(, x∈[a,b].

2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y≤d(x), a≤x≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x值，f(x,y)作为y的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=)()(),(xdxcdyyxf, x∈[a,b].

3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x的(正常)积分，或简称含参量积分.

定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=dcdyyxf),(在[a,b]上连续.

证：设x∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x∈[a,b]

(若x为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是

φ(x+△x)-φ(x)=dcdyyxfyxxf)],(),([.

∵f(x,y)在有界闭域R上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0,

对R内任意两点(x1,y1)与(x2,y2),

只要|x1-x2|

|φ(x+△x)-φ(x)|≤dcdyyxfyxxf|),(),(|<dcdy=ε(d-c). 得证！

注：1、同理：若f(x,y)在R上连续，则含参量y的积分ψ(y)=badxyxf),(在[c,d]上连续.

2、若f(x,y)在R上连续，则对任何x0∈[a,b], 有dcxxdyyxf),(lim0=dcxxdyyxf),(lim0.

定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y≤d(x), a≤x≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G上连续，则函数F(x)=)()(),(xdxcdyyxf在[a,b]上连续.

证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y∈[c(x),d(x)],∴t∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt,

∴F(x)=)()(),(xdxcdyyxf =10))()()))(()(()(,(dtxcxdxcxdtxcxf. 由

被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知,

F(x)在[a,b]上连续.

定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数xf(x,y)都在矩形区域

R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=dcdyyxf),(在[a,b]上可微, 且

dcdyyxfdxd),(=dcdyyxfx),(.

证：设任一x∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x∈[a,b]

(若x为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则

xxxx)()(=dcdyxyxfyxxf),(),(. 由拉格朗日中值定理及

fx(x,y)在有界闭域R上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|

∴dcxdyyxfx),(≤dcxdyyxfxyxfyxxf),(),(),(

对一切x∈[a,b], 有dcdyyxfdxd),(=dcdyyxfx),(.

定理19.4：(可微性)设f(x,y), fx(x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=)()(),(xdxcdyyxf在[a,b]上可微，且F’(x)=)()(),(xdxcxdyyxf+f(x,d(x))d’(x)-f(x,c(x))c’(x).

证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=dcdyyxf),(, c=c(x), d=d(x).

由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：

F’(x)=Hx+Hcc’(x)+Hdd’(x)=)()(),(xdxcxdyyxf+f(x,d(x))d’(x)-f(x,c(x))c’(x).

定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则

φ(x)=dcdyyxf),(和ψ(y)=badxyxf),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.

注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：

badcdxdyyxf),(与dcbadydxyxf),(,或badcdyyxfdx),(与dcbadxyxfdy),(.

它们统称为累次积分，或二次积分.

定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则

badcdyyxfdx),(=dcbadxyxfdy),(.

证：记φ1(u) =uadcdyyxfdx),(, φ2(u) =dcuadxyxfdy),(, u∈[a,b], 则 φ1’(u)=ucdxxdud)(=φ(u). 令H(u,y)=uadxyxf),(, 则φ2(u) =dcdyyuH),(,

∵H(u,y)与Hu(u,y)=f(u,y)都在R上连续，

∴φ2’(u)=dcdyyuHdud),(=dcudyyuH),(=dcdyyuf),(=φ(u).

∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k为常数).

当u=a时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u∈[a,b].

取u=b, 证得：badcdyyxfdx),(=dcbadxyxfdy),(.

例1：求aaaaxdx12201lim.

解：记φ(a)=aaaxdx1221, ∵a, 1+a, 2211ax都是a和x的连续函数,

由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim0aa=φ(0)=1021xdx=4.

例2：设f(x)在x=0的某个邻域U上连续, 验证当x∈U时, 函数

φ(x)=xndttftxn01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x).

证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数Fx(x,t)在U上连续,由定理19.4可得:

φ’(x)=xndttftxnn02)())(1()!1(1+)()()!1(11xfxxnn

=xndttftxn02)()()!2(1. 同理φ”(x)=xndttftxn03)()()!3(1.

如此继续下去，求得k阶导数为φ(k)(x)=xkndttftxkn01)()()!1(1.

当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=xdttf0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).

例3：求I=10lndxxxxab. (b>a>0) 解：∵baydyx=xxxabln, ∴I=baydyxdx10. 又

xy在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件,

∴I=10dxxdyyab=abdyy11=lnab11.

例4：计算积分I=1021)1ln(dxxx.

证：记φ(a)=1021)1ln(dxxax, 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且

函数21)1ln(xax在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是

φ’(a)=102)1)(1(dxaxxx=10221111dxaxaxxaa

=10101022211111dxaxadxxxdxxaa

=10102102)1ln()1ln(21arctan11axxxaa=)1ln(2ln214112aaa.

∴10)(daa=102)1ln(2ln21411daaaa=102)1ln(8a+10arctan2ln21a-I

=2ln4-I. 又10)(daa=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln4-I, 解得I=2ln8.

习题

1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=10),(dxyxf所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.

证：∵x∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1;

当0≤y≤1时, F(y)=ydxyxf0),(+1),(ydxyxf =ydx0)1(+1ydx=1-2y. ∴F(y)=11102101y，yy，y，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：

2、求下列极限：(1)11220limdxaxa；(2)2020coslimaxdxxa.

解：(1)∵函数f(x,a)=22ax在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，

∴11220limdxaxa=11220limdxaxa=11||dxx=1.

(2)∵函数f(x,a)=x2cosax在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，

∴2020coslimaxdxxa=2020coslimaxdxxa=202dxx=38.

3、设F(x)=22xxxydye, 求F’(x).

解：F’(x)=-222xxyxdyey+2x5xe-3xe.

4、应用对参量的微分法，求下列积分：

(1)202222)cossinln(dxxbxa (a2+b2≠0)；(2)02)cos21ln(dxaxa.

解：(1)若a=0, 则b≠0,

原式=2022)cosln(dxxb=πln|b|+220)ln(cosdxx=πln|b|-πln2=πln2||b;

同理，若b=0, 则a≠0, 原式=πln2||a; 若a≠0,b≠0, 可设

I(b)=202222)cossinln(dxxbxa, 则

I’(b)=2022222cossincos||2dxxbxaxb =202tan1||2xbadxb. 记u=ba, t=utanx, 则

I’(b)=022211||2dttuutb=022222111)1(2dttutubu=||||ba.