含参量反常积分答案

习 题 15.2 含参变量的反常积分1. 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛： （1）⎰∞++022cos dx yx xy ，0>≥a y ； （2）⎰∞+-+02sin dx e x x xαα，00αα≤≤； （3）⎰∞+04cos sin xdx x x α，b a ≤≤α。

解 （1）因为≤+22cos yx xy 221a x +，而 ⎰∞++0221dx a x 收敛，所以由Weierstrass 判别法，⎰∞++022cos dx yx xy在),[+∞a 上一致收敛。

（2）12sin 0≤⎰A xdx ，即0sin 2Axdx ⎰关于],0[0αα∈一致有界；αα+-x e x关于x 单调，且由xx e x 1≤+-αα，可知当+∞→x 时，αα+-x e x 关于],0[0αα∈一致趋于零。

于是由Dirichlet 判别法，可知⎰∞+-+02sin dx e x x xαα在],0[0αα∈上一致收敛。

（3）由分部积分法，4421cos sin cos cos 4AA x x x xdx d xx αα+∞+∞=-⎰⎰ 444223cos cos 1sin cos 1cos cos 442A A Ax x x x x x dx dx x x x αααα+∞+∞+∞=---⎰⎰, 其中22cos cos 1Ax x x Aα+∞≤； 再由224),max(cos sin x b a xx x ≤αα及3341cos cos xx x x ≤α，可得到 422max(,)sin cos 1max(,)AAa b x x dx a b dx x x Aαα+∞+∞≤=⎰⎰与4332cos cos 112AA x x dx dx x x A α+∞+∞≤=⎰⎰。

当+∞→A 时，上述三式关于α在],[b a 上一致趋于零，所以原积分关于α在],[b a 上一致收敛。

2．说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛：（1）⎰∞++02)1(sin dx x x x αα，+∞<<α0； （2）⎰101sin 1dx x x α，20<<α。

统计专业和数学专业数学分析（3）练习题一 填空题1. 函数 xy xyz +=arcsin 的定义域是 . 2. 函数y x z -=的定义域是 .3. 设 )ln(),(22y x x y x f --=，其中 0>>y x ，则),(=-+y x y x f .4. 设 yx xy y x y x f tan ),(22-+=，则 =),(ty tx f .5. 设2R E ⊂为 点集，则E 在2R 中至少有一个聚点.6. 32),,(yz xy z y x f +=，则 =-)1,1,2(gradf 。

7. xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(0P 处沿方向→l （其中方向角分别为00060,45,60）的方向导数为=→)(0P u l.8. ,y x z =其中,0>x ,0≠x 则=dz 。

9. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微，则 =-∆df f 。

10. 若函数 ),(y x f 在区域D 上存在偏导数，且,0==y x f f ，则),(y x f 在区域上为 函数。

11. 由方程1(,)sin 02F x y y x y =--=确定的隐函数)(x f y =的导数'()f x = . 12. 设243340x y x y +-=, 则dy dx= . 13. 平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式(,)(,)x y r θ∂=∂ .14. 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(θϕr 之间的变换公式为 . 其雅可比行列式(,,)(,,)x y z r ϕθ∂=∂ .15. 设平面曲线由方程0),(=y x F 给出, 它在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为切线： , 法线： .16. 设空间曲线由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x L ),(),(),(:给出, 它在点0000000(,,)((),(),())P x y z x t y t z t =处的切线和法平面方程为 切线： ,法平面： . 17. 设空间曲线L 由方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ 给出, 若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法平面，其方程分别为切线： , 法平面： .18. 设曲面由方程0),,(F =z y x 给出，它在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是切平面： , 法线： . 19. 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ的限制下，求目标函数 ),,,(21n x x x f y = 的极值.其拉格朗日函数是 , 其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数.20. 若(,)f x y 在矩形区域R 上连续, 则对任何[]0,x a b ∈, 都有0lim (,)dcx x f x y dy →=⎰.21. （可微性）若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则⎰=dcdy y x f x I ),()(在[]b a ,上可微，且(,)dcd f x y dy dx =⎰ .22. （可微性） 设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，()()x d x c ,为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在[]b a ,上可微，且'()F x = .23. (两个累次积分的关系)若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则(,)bdacdx f x y dy =⎰⎰ .24. 含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数 在[]b a ,上一致收敛. 25. 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f 若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上 .26. （连续性）设),(y x f 在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在[]b a ,上 ，则)(x I 在[]b a ,上 .27. （可微性）设),(y x f 与),(y x f x 在区域[][)+∞⨯,,c b a 上连续。

第十二章反常积分习题12.1 反常积分的概念和计算⒈物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。

一个带电量+q 的点电荷产生的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为F kqr =2（k 为常数），求距电场中心x 处的电位。

解⎰+∞==xx kqdr rq kU 2。

⒉证明：若⎰+∞a dx x f )(和⎰+∞a dx x g )(收敛，k k 12和为常数，则[]⎰+∞+a dx x g k x f k )()(21也收敛，且⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+aaadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121。

证 设⎰+∞a dx x f )(⎰+∞→=Aa A dx x f )(lim ，⎰+∞a dx x g )(⎰+∞→=Aa A dx x g )(lim ，则 []⎰+∞+a dx x g k x f k )()(21[]⎰+=+∞→AaA dx x g k x f k )()(lim 21 ⎰+∞→=AaA dx x f k )(lim1⎰+∞→+AaA dx x g k )(lim2⎰⎰+∞+∞+=a a dx x g k dx x f k )()(21。

⒊计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：⑴ e sin -+∞⎰205x xdx ;⑵ e cos -+∞⎰302x xdx ;⑶ 112x x dx ++-∞+∞⎰;⑷122220()()x a x b dx +++∞⎰)0,0(>>b a ;⑸ ⎰∞+∈0)(e 2R a dx x ax ;⑹ )(ln 12R ∈⎰∞+p dx xx p;∞ xq 图⑺ 11232()/x dx +-∞+∞⎰;⑻ 120(e e )x x dx +-+∞⎰; ⑼ 1140x dx ++∞⎰； ⑽ ln xx dx 12++∞⎰。

解（1）e sin -+∞⎰205x xdx ⎰∞+--=025cos e 51x d x ⎰∞+--=025cos e 5251xdx x⎰∞+--=025sin e 25251x d x ⎰∞+--=025sin e 25451xdx x ， 所以e sin -+∞⎰205x xdx 295=。