九年级上册第二十一章复习一元二次方程与三角形的四类综合问题ppt导学课件

教案

年级：初三 课本：人教版 章节：第二十一章 课次：1 课时：30分

课程主题：一元二次方程的韦达定理复习

课程类型：复习课

教学方法：讲授

教学手段：板书

教学重点：理解韦达定理的意义， 掌握根与系数的关系（即韦达定理的内容），并利用该部分知识点解决问题

教学难点：掌握根与系数的关系，并利用该部分知识点解决问题

教学目标：通过对相关知识点的复习以及专题练习，学生能够理解韦达定理的意义， 掌握根与系数的关系（即韦达定理的内容），并利用该部分知识点解决问题

教学设计

一、引入：

利用公式法引入

利用求根公式去算两根和与两根差（即推导韦达定理）

二、知识点归纳

1．根与系数的关系（韦达定理）

（1）一般形式

𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎

𝑥1∙𝑥2=𝑐𝑎

注：使用前提条件是一元二次方程有两个根即a≠0且△≥0

（2）如果一元二次方程二次项系数为1时，𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0

𝑥1+𝑥2=−𝑝

𝑥1∙𝑥2=𝑞

两个之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项

已知两个根，可以直接求出方程𝑥2−(𝑥1+𝑥2)𝑥+𝑥1∙𝑥2=0

2.重点题型

小练

（1）不解方程直接求方程的两根和或两根积

例题1 下列一元二次方程的两实数根和为-4的是（ ）

A. 𝑥2+2𝑥−4=0

B. 𝑥2−4𝑥+4=0 C. 𝑥2+4𝑥+10=0

D.𝑥2+4𝑥−5=0

例题2 已知关于x的一元二次方程𝑥2+𝑥+𝑚=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）

A. -2 B.0 C. 1 D.2

例题3 已知关于x的一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0的两根为𝑥1、𝑥2，那么𝑥1+𝑥2的值是（ ）

A. -2 B.b C. -b D.2

例题4 已知关于x的一元二次方程𝑥2−4𝑥−5=0的两根为𝑥1、𝑥2，那么𝑥1∙𝑥2的值是（ ）

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第1讲：一元二次方程

一：思维导图

二：知识点讲解

知识点一：一元二次方程的定义及一般形式

➢ 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程

➢ 一元二次方程的一般形式是002acbxax，其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系统；c是常数项

➢ 构成一元二次方程的三个条件：

 是整式方程

 只含有一个未知数

 未知数的最高次数是2.

不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程

➢ “0a”是一元二次方程002acbxax的重要组成部分。当0a，0b时，它就成为一元一次方程。若方程02cbxax未指明0a，则它不一定是一元二次方程

例1：下面关于x的方程：①022xax；②119322xx；③xxx1；④02ax(a为任意实数)；⑤11xx。其中，为一元二次方程的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

知识点二：一元二次方程的根

➢ 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

➢ 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根

例2：若31是方程022cxx的一个根，则c的值为（ ）

A. 2 B. 234 C. 33 D. 31

知识点三：根据实际问题列出一元二次方程

➢ 步骤

1．正确理解题目的含义 第2页/共5页 2．找出其中的数量关系和等量关系

3．列出一元二次方程

例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地面长比宽多2米。求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意，可得方程 。

第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：

1、已知关于x的方程（m+3）x21m+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程

21.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.

（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；

②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；

③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；

中小学电子教案（导学案）

年级 九年级 班级 九（1）、九（2）班 学科 数学

执教 课题 21.1 一元二次方程 课类 新授课

主备 审定 授课时间 第 课时

教学

目标 1.了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程（重点）；

2.理解将实际问题转化为一元二次方程模型的方法（难点）；

3.感受“形式化”的数学思想（重点）.

教法

教师主导步骤（要点问题化） 二备

教

学

过

程

一、新课导入

1.自主学习课本P1“雕像设计”；

2.自主学习课本P2“问题1”；

3.自主学习课本P2“问题2”。

二、新知探究

1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？

；雕像问题：0422xx

；：问题03507512xx

.5622xx：问题

2．定义：

一元二次方程是：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程.

三、例题讲解

【例1】将方程)2(5)1(3xxx化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.

跟踪训练：下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？

(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－x31－1 ＝0 ；

猜测：方程0562xx的根是什么？

方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.

思考：（1）下列哪些数是方程062xx的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，从中你能体会根的作用吗？

（2）若x＝2是方程0542xax的一个根，你能求出a的值吗？

【例2】关于x的方程062kxx的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）

A．1 B ． -1 C．2 D．-2

跟踪训练：你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？

.094)2(;036122xx）（

四、随堂练习

1.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，请列出相应的方程。