湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题

雅礼中学2021年上学期高一年级入学考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}2340=--<A x x x ，{}4,1,3,5=-B ，则=AB ( )A.{}4,1-B.{}1,5C.{}3,5D.{}1,32.已知0>a ，0>b ，则“>a b ”是“11+>+a b b a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，△ABC 中，E 是AB 的中点，点F 满足2=BF FC ，则=EF ( )A.1263-+AB AC B.1263+AB AC C.1163-+AB AC D.1123+AB AC 4.在同一直角坐标系中，函数1=xy a ，1log 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a y x (0>a 且1≠a )的图象可能是( ) A. B.C. D.5.已知向量()2,4=a ，()1,=b k ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6.将函数()sin2=f x x x 的图象沿x 轴向左平移()0>ϕϕ个单位后得到函数()g x .若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为( )A.12π B.6π C.4π D.512π 7.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，15=a 、10=b 、60=︒A .则cos =B ( )A.12-B.3-C.3-3D.38.已知{}min ,m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数()124min 3log ,log ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭f x x x ，当0<<a b 时，有()()=f a f b ，则( )A.6B.8C.9D.16二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)9.下列结论正确的是( )A.在三角形ABC 中，若>A B ，则sin sin >A BB.在锐角三角形ABC 中，不等式2220+->b c a 恒成立C.若sin2sin2=A B ，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中sin sin cos cos +>+A B A B10.已知函数()()sin 0,0,2⎛⎫=+>><⎪⎝⎭f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ) A.函数()=y f x 的周期为πB.函数()=y f x 在2,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ单调递减 C.函数()=y f x 的图象关于直线512=-x π对称 D.该图象向右平移6π个单位可得2sin 2=y x 的图象11.如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域(阴影部分)的面积为()f x ，则下列说法正确的是( )A.142⎛⎫=⎪⎝⎭f πB.()f x 在,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ上为减函数 C.()()4+-=f x f x πD.()f x 图像的对称轴是2=x π12.设函数()=y f x 和()=-y f x ，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()=y f x 的“稳定区间”.已知区间[]1,2020为函数12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭xy a 的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是( )A.32-B.56-C.0D.132三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知命题“∃∈x R ，210-+<mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是________. 14.已知a ，b 满足：3=a ，2=b ，4+=a b ，则-=a b ________.15.已知0>a ，0>b ，且21+=a b+的最大值为________.16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的函数关系式为：()0ktP t Pe -=(e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量)，过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的1625.则=k ________；且至少需要过滤________小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的110000.(参考数据：lg 20.3≈)四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10分)已知集合303⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭x M xx ，集合{}2220N x x mx m =--<，其中0>m .(1)当2=m 时，求M N ；(2)若“∈x M ”是“∈x N ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.(12分)已知函数()22sin cos 22222⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x f x ππ. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.19.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1=a ，(1,3=-m ，()sin ,cos =A n A 且⊥m n .(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围.20.(12分)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .(1)求A 的大小；(2)若3cos 5=B ，5=BC ，17=BD BA ，求CD 的长. 21.(12分)湖南省第二届张家界园林博览会于2019年9月28日至11月28在张家界园博园举办，本届园林博览会以“辉煌张家界，生态林园博”为主题，展示张家界生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来张投资，从而促进张家界经济快速发展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商谈采购，并决定大量投放张家界市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完.且每万台的销售收入()G x (万元)与年产量x (万台)的函数关系式近似满足：()21802.0202000900070,20x x x x x G x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润()W x (万元)关于年产量x (万台)函数解析式：(年利润=年销售收入-总成本)； (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.22.(12分)设函数()-=-xxf x ka a (0>a 且1≠a )是定义域为R 的奇函数，()312=f . (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()222-=+-xx g x a a mf x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.雅礼中学2021上学期高一年级入学考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14m ≥16.5ln4，40四、解答题17.【解析】(1)由303x x +<-，得33x -<<， 所以{}33M x x =-<<；当2m =时，由2280x x --<，得24x -<<，所以{}24N x x =-<<.所以{}23MN x x =-<<.(2)由2220x mx m --<及0m >，得2m x m -<<.即{}2N x m x m =-<<因为x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，所以N 是M 的真子集所以323m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不同时成立，解得32m ≤.又0m >，所以实数m 的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.【解析】(1)()1cos 2sin cos sin 222x x xf x x x +=+-=+12sin 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x取得最小值 由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.【解析】(1)由(1,m =-，()sin ,cos n A A =，且m n ⊥，得sin 0m n A A ⋅=-=，∴tan A =；又()0,A π∈.∴3A π=；(2)由(1)知3A π=，1a =，则1sin sin sin sin 3b c a B C A π====，∴b B =，c C =，22C A B B ππ=--=-，20,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴2311sin 322l a b c B B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++-=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭12sin 6B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，又20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴212sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，ABC △周长的取值范围(]2,3. 20.【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()sin sin cos sin sin A C A C C A +=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =， 因为sin 0C ≠可得cos sin A A =， 又0A π<<， 所以4A π=；(2)在ABC △中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=，解得AC =又因为()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=， 所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA =得17BD BA =， 所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.21.【解析】(1)()()8050W x xG x x =--，∴()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. (2)当020x <≤时，()2210050W x x x =-+- ()22251200x =--+，在(]0,20上单调递增， ∴当20x =时，()W x 取得最大值()max 22512001150W x =-⨯+=(万元)；当20x >时，()9000195010W x xx =--9001950101950101350x x ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭. 当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立. ∴()max 1350x W =(万元).答：当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.22.【解析】(1)由题意知：()00f =，即()00010f ka a k =-=-=， 解得：1k =，∴()x x f x a a -=-，由()312f =，得：()1312f a a -=-=， 即22320a a --=，解得：2a =，或12a =-(舍去)， ∴()22x x f x -=-； (2)由(1)得，()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+， 令22x x t -=-，易知：22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增， 故当1x ≥时，113222t -≥-=， ∴函数()g x 转化为()222h t t mt =-+，对称轴为：t m =， ①当32m ≥时， ()()22min 222h t h m m m ==-+=-，即24m =，解得2m =，或2m =-(舍去)； ②当32m <时，()min 3932224h t h m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭， 解得2512m =(舍去)； 综上所述：2m =.。

2019-2020学年湖南省怀化市高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．函数()3log 4y x =-的定义域为（ ） A ．R B ．()(),44,-∞⋃+∞ C ．(),4-∞D ．()4,+∞【答案】D【解析】根据真数大于零，即可容易求得. 【详解】要使得函数有意义，则40x ->，解得()4,x ∈+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，属基础题. 2．2cos3π=（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ． 【答案】B【解析】利用诱导公式转化为cos 3π-，根据特殊角三角函数值求得结果.【详解】21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，属于基础题. 3．若集合A={x|x ﹣1＜5}，B={x|﹣4x+8＜0}，则A∩B=（ ） A ．{x|x ＜6} B ．{x|x ＞2}C ．{x|2＜x ＜6}D ．∅【答案】C【解析】试题分析：根据一次不等式解出集合A ，集合B ，在求交集即可． 解：集合A={x|x ﹣1＜5}={x|x ＜6}， 集合B={x|﹣4x+8＜0}={x|x ＞2}， 所以A∩B={x|2＜x ＜6}故选C ．【考点】交集及其运算．4．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r （ ）A ．4B ．6C ．1D ．2【答案】B【解析】根据图像，求得,A B 两点的坐标，再计算数量积即可. 【详解】令tan 042x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得42,x k k Z =+∈，结合图像可知2x =，故A 点坐标为()2,0； 令tan 142x ππ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得43x k =+，结合图像可知3x =，故B 点坐标为()3,1；故()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===u u u r u u u r u u u r，则()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r516+=.故选：B. 【点睛】本题考查正切函数的性质，以及向量的坐标运算，属综合基础题. 5．若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则=ϕ（ ） A ．2π B ．23π C ．32πD ．53π【答案】C【解析】因为函数()f x =[]()sin0,2π3x ϕϕ+∈是偶函数，所以φππ32k =+，所以3π3π2k ϕ=+，因为[]0,2πϕ∈，所以3π2ϕ=，故选C. 6．若sin()cos()2m ππαα+++=-，则3cos()2sin(2)2παπα-+-的值为（ ） A ．23m - B ．23m C ．32m D ．32m-【答案】D【解析】试题分析：sin()cos()sin sin sin 22mm m ππααααα+++=-⇒--=-⇒=，∴33cos()2sin(2)sin 2sin 22m παπααα-+-=--=-，故选D ．【考点】诱导公式．7．()f x 是偶函数，在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f >，x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞【答案】C【解析】根据函数的性质，解对数不等式即可求得结果. 【详解】因为()f x 是偶函数，在[)0,+∞上是减函数， 若()()lg 1f x f >，只需1lgx <，即11lgx -<< 解得1,1010x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.8．已知函数()22f x x x b =-+在区间()2,4内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ）A ．RB ．(),0-∞C ．()8,-+∞D ．()8,0-【答案】D【解析】分离参数，求得函数22y x x =-+在区间上的值域，即可容易判断. 【详解】因为函数()22f x x x b =-+在区间()2,4内有唯一零点，故22b x x =-+在区间()2,4上只有一个根.又22y x x =-+在()2,4上单调递减，其值域为()8,0-. 故要满足题意，只需()8,0b ∈-. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点的范围求参数范围，属基础题.9．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．2B ．2C ．4D ．12- 【答案】B【解析】设直线30x y -+=上的点为(,3)P t t +，已知圆的圆心和半径分别为(2,2),1C r =，则切线长为L ===故当12t =时，min 2L ==，应选答案B ． 点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．10．已知,60,2,1,,ABC BAC AB AC E F ∆∠===o为边BC 的两个三等分点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．54B ．109C ．158D ．53【答案】D【解析】∵在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知AB=2，AC=1，满足勾股定理可知∠BCA=90° 以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系∵AC=1，C （0，0），A （1，0），B （0） 又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E （0），F （0）则5,3AE AF AE AF ⎛⎛=-=-∴⋅= ⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v 故选D二、填空题11．已知函数()()()1,01,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()3f -=______.【答案】-12【解析】根据分段函数的解析式,代入即可求得解. 【详解】 函数()()()1,01,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩当0x <时,()()1f x x x =- 则()()331312f -=-⨯--=-⎡⎤⎣⎦ 故答案为:12- 【点睛】本题考查了分段函数求值,属于基础题. 12．若tan 2α=，则1sin cos αα+=______. 【答案】75. 【解析】利用同角三角函数关系，化简目标是为齐次式，代值计算即可. 【详解】因为1sin cos αα+=222222sin cos tan 17sin cos tan 15sin cos tan ααααααααα++++==++. 故答案为：75. 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系化简求值，属基础题. 13．若3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan 54απ-=-，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______. 【答案】15-【解析】根据正切值求得正弦和余弦值，即可容易求得结果. 【详解】因为()3tan 54απ-=-，故可得34tan α=-， 又因为3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，又0tan α<，故可得,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得34,55sin cos αα==-. 故sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭345155cos sin αα=+=-=-.故答案为：15-. 【点睛】本题考查诱导公式的使用，以及同角三角函数关系，属综合基础题.14．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量n = 【答案】80． 【解析】【详解】解：A 种型号产品所占的比例为2/ (2+3+5) =2 /10 ，16÷2/10 =80， 故样本容量n=80， 15．若角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称，且()4,αππ∈-，则α=______. 【答案】3πα=或53π-或113π-. 【解析】由角度对称关系可求得α的集合，结合其取值范围，即可求得α.【详解】因为角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称， 故可得2,3k k Z παπ=+∈，又因为()4,αππ∈-，故可得3πα=或53π-或113π-. 故答案为：3πα=或53π-或113π-.【点睛】本题考查角度的集合，考查终边相同的角，属基础题.三、解答题16．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[]96,106.（1）若某件产品净重低于98克，则视为不合格产品，试根据直方图估计这批产品的合格率；（2）若样本中净重在[)96,100的产品个数是24，求则样本中净重在[)98,104的产品个数.【答案】(1) 90%；(2)60【解析】（1）计算在[)96,98的频率，即可求得结果； （2）先计算样本容量，再计算在[)98,104的产品个数. 【详解】（1）由图可知，产品净重低于98克的频率为0.0520.1⨯=， 故合格率为90%.（2）因为样本中净重在[)96,100的产品个数是24， 设样本容量为n ， 故可得240.10.2n=+，解得80n =, 又样本中净重在[)98,104的频率为0.20.30.250.75++=， 故样本中净重在[)98,104的产品个数800.7560⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中样本容量，频率的计算，属基础题.17．如图所示，已知AB 丄平面BCD ，M 、N 分别是AC 、AD 的中点，BC 丄 CD ．（1）求证：MN//平面BCD ；（2）若AB=1，BC=3，求直线AC 与平面BCD 所成的角. 【答案】（1）见解析；（2）30°. 【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得MN ∥CD ，进而得线面平行；（2）由AB ⊥平面BCD ，知∠ACB 为直线AC 与平面BCD 所成的角，在直角△ABC 中求解即可. 试题解析：证明：（1）∵M ，N 分别是AC ，AD 的中点， ∴MN ∥CD .∵MN ⊄平面BCD 且CD ⊂平面BCD ， ∴MN ∥平面BCD .（2）∵AB ⊥平面BCD ，∴∠ACB 为直线AC 与平面BCD 所成的角. 在直角△ABC 中,AB =1,BC 3，∴tan ∠ACB =33AB BC =.∴∠ACB =30°. 故直线AC 与平面BCD 所成的角为30°. 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.18．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()sin(2)3f x x π=-；（2）最大值为1，最小值为12-． 【解析】试题分析：(1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)首先求得函数的解析式()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合函数的定义域可得函数的最大值为1，最小值为12-试题解析：（1）由条件，115212122T πππ=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 又5sin 21,12πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭∴3πϕ=- ∴()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴()2sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭而325,,488636x x πππππ⎡⎤∈∴-≤-≤⎢⎥⎣⎦∴函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-19．已知直线l ：1y kx =+和二次函数()2f x x c =+，若直线l 与二次函数()f x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求直线l 在y 轴上的截距b ；（2）若点A 的坐标为()1,2，求B 点的坐标；（3）当2c =时，是否存在直线l 与圆C ：222440x y x y +-+-=相切？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)1b =；(2)() 0,1；(3)存在直线1y =或314y x =+与圆相切，但不存在弦长AB .【解析】（1）根据截距的定义，令0x =，解得y 即为所求； （2）先求得,k c ，再联立方程求得B 点坐标；（3）根据直线与圆相切求得l 方程，再联立方程组求出,A B 坐标，则问题得解. 【详解】（1）因为直线l ：1y kx =+， 令0x =，解得1y =， 故直线l 在y 轴上的截距1b =； （2）因为点A 的坐标为()1,2，故可得12,12k c +=+=，解得1,1k c ==. 联立21,1y x y x =+=+，可得20x x -=，解得0x =或1x =， 故1y =或2y =， 则B 点坐标为()0,1.（3）假设存在直线l 与圆C ：222440x y x y +-+-=相切又圆心为()1,2-，半径3r =，3=，解得0k =或34k =. 则此时直线为1y =或314y x =+. 显然直线1y =与22y x =+没有交点；联立314y x =+与22y x =+， 可得23104x x -+=， 94016=-<n ， 故直线l 与二次函数22y x =+没有交点.综上所述：存在直线1y =或314y x =+与圆相切，但不存在弦长AB . 【点睛】本题考查直线方程的求解，直线与圆相切求参数值，以及弦长的求解，属综合基础题. 20．已知函数()()2log 1f x a x =++，且()11f =.（1）求实数a 的值，并指出函数()f x 的定义域；（2）将函数()f x 图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图象，写出函数()g x 的表达式；（3）对于（2）中的()g x ，关于x 的函数()()223y gx m g x =-⋅+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值. 【答案】(1) 0a =；定义域()1,-+∞；(2)()2log g x x =；(3)1m =. 【解析】（1）根据()11f =，结合对数运算，即可求得参数；由真数大于零，即可求得定义域.（2）根据左加右减的平移原则，即可容易求得；（3）利用换元法，将问题转化为求二次函数最小值的问题，根据动轴定区间问题的处理方式，分类讨论即可.【详解】（1）因为()()2log 1f x a x =++，且()11f =，故可得2log 21a +=，解得0a =.故()()2log 1f x x =+，要使得函数有意义，则10x +>，解得()1,x ∈-+∞，故函数()f x 的定义域为()1,-+∞.（2）()f x 图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图象，又因为()()2log 1f x x =+，故可得()2log g x x =.（3）由（2）可知()2log g x x =，故()()223y g x m g x =-⋅+等价于：()222log 23y x mlog x =-+，令2log x t =，则[]0,2t ∈则223y t mt =-+在[]0,2上的最小值为2. 又因为其对称轴为t m =，①当0m ≤时，二次函数在[]0,2上单调递增，故3min y =，不符合题意，故舍去；②当02m <<时，二次函数在[)0,m 单调递减，在(),2m 单调递增，故232min y m =-+=，解得1m =±， 故此时满足题意的1m =；③当2m ≥时，二次函数在[]0,2上单调递减，故742min y m =-=，解得54m =，故舍去. 综上所述：1m =.【点睛】本题考查对数的计算，函数图像的平移，以及二次型对数函数的最值问题，涉及动轴定区间问题的处理，属综合中档题.。

则 BEF （或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所成的角，
AC 2 3, SA SB AB BC SC 2
BE EF BF 3
BEF 60 ．
故选 C．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关
键．
12．各项均为实数的等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn ,若 S10 10 , S30 70 , 则 S40 等
的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运
算过程.
11．如图，在三棱锥 S ABC 中， E 为棱 SC 的中点.若 AC 2 3 ，
SA SB SC AB BC 2 .则异面直线 AC 与 BE 所成的角为（ ）
A． 30
【答案】C
B． 45
C． 60
a(1 q10 ) 1 q
10
，
S30
a(1 q30 ) 1 q
70
1 q30 二式相除得， 1 q10
7 ，整理得1 q10 q20
7
解得 q10 2 或 q10 3 （舍）
a(1 q40 )
S40 1 q S10 a(1 q10 ) 1 q40
所以有
1 q = 1 q10
1 24 15 = 12
7．在 ABC 中， a2 b2 c2 2bc cos A 2ac cos B ，则 ABC 一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理结合题意得 a2 b2 c2 ，由勾股定理逆定理即可得解.
【详解】
a2 b2 c2 2bc cos A 2ac cos B ，

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合 {}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}|3x x < B ．{}|13x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|0x x >【答案】B【分析】直接对P 、Q 求并集即可.【详解】∵{}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<， ∴P Q ⋃={}|13x x -<< 故选：B 2．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.3．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以2O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，222OA O A ''==所以原平面图形的面积是1222222⨯⨯= 故选：D4．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =，则向量OD 等于A ．a b c ++B ．a b c +-C ．a b c -+D ．a b c --【答案】C【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【详解】∵O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =， ∴OD OA AD OA BC OA OC OB a c b =+=+=+-=+-， 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，且1cos 4α=，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A ．2B ．21515C ．1D ．14【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 22cos RR αα==. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.6．已知棱长均相等的四面体A BCD -6，则这个四面体的棱长为（ ） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】D【分析】将棱长均相等的四面体A BCD -放正方体中，设正方体的棱长为a ，根据(22263a =，求出a ，求出正方体的面对角线即可求解.【详解】由题意可知A BCD -为正四面体， 将此正四面体放在正方体中，如图：设正方体的棱长为a ，()22263a =，解得22a =，所以四面体的棱长为22164a a +==. 故选：D7．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则函数()f x 在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性可知()00f =；由()()4f x f x +=可求得()20f =且()f x 周期为4，由此可得函数图象，结合图象可求得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f ∴=，且()f x 图象关于原点对称，由()()4f x f x +=知：()f x 是周期为4的周期函数， 且()()()()22422f f f f =-+=-=-，()20f ∴=；()f x ∴部分图象如下图所示：由图象可知：()f x 在[]0,4共有5个零点，分别为0x =，1x =，2x =，3x =，4x =. 故选：B.【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 8．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为(0,3)，则12...n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【分析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，进而得到结果.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、多选题9．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ） A ．一条直线 B ．一条直线和一个点 C ．两条相交的直线 D ．两条平行的直线【答案】CD【分析】逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：一条直线不能确定一个平面，故选项A 不正确；对于选项B ：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B 不正确；对于选项C ：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C 正确； 对于选项D ：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D 正确； 故选：CD10．给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A ．命题“1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定是：“1x ∀>，2320x x -+<”B ．若,,a b c ∈R ，当0ac >时，x ∃∈R ，20ax bx c +-=C ．若实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33x y > D ．x y x y -=+成立的充要条件是0xy ≥ 【答案】BC【分析】选项A ，可根据存在量词命题的否定的定义判断其为假命题；选项B ，根据方程判别式的符号判断一元二次方程是否有解；选项C ，根据指数函数和幂函数的单调性判断大小；选项D ，通过等价转化，逐步找到正确的充要条件. 【详解】选项A ，根据存在量词命题的否定的定义， “1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定应该是： “1x ∀≤，2320x x -+<”，故A 错误； 选项B ，20ax bx c +-=，2=4b ac ，因为0ac >，所以0∆>，则方程有解，故B 正确；选项C ，指数函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 则由1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得x y >， 又因为幂函数3()g x x =单调递增，所以33x y >，故C 正确；x y x y 22()x yxy 222222x xyy xxyy220xy xy xy ，故选项D 错误，也可举反例，如3,2x y ==-，3(2)532，则选项D 错误.故选：BC.【点睛】对于命题的真假判断，要结合各个知识点进行逐一判断，有时也可以通过举反例的方法判断命题为假.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B > B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；根据正弦定理，求得22sin sin A B >，结合余弦的倍角公式，可判定B 正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,(0,)2A B π∈ ， 可得2A B π>-，且(0,)22B ππ-∈，根据正弦函数的单调性，可得sin sin()2A B π>-，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >， 则22sin sin A B >，可得1cos 21cos 222A B-->，解得cos2cos2A B <，所以B 正确；对于C 中，由三角形的面积公式，可得in 12s S ab C =， 由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得22sin sin sin =S R A B C ，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 12．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ） A ．()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．(){},sin 1M x y y x ==+ C ．(){},22xM x y y ==-D ．(){}2,log M x y y x ==【答案】ABC【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-， 故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立，则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果. 【详解】因为α是锐角，2sin 3α=，所以5cos α，所以12cos cos cos sin sin 33323236πππααα⎛⎫-=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭14．复数11cos z i θ=+，2sin i z θ=-，则12z z -的最大值为_________．1【分析】利用复数的加减运算法则计算计算12z z -，然后计算12z z -并利用三角函数的性质分析其最值.【详解】因为11cos z i θ=+，2sin i z θ=-， 所以()()121sin cos 1z z i θθ-=-++， 故12z z -===，所以当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，12z z -有最大值，且最大值为12max 1z z -==.故答案为：21+.【点睛】本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出12z z -的表达式，然后通过辅助角公式将12z z -化简，结合三角函数的性质求解最值.15．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边BC 、CD 上的点，当CPQ 的周长是2，则PAQ ∠的大小为_________．【答案】4π 【分析】设出角,,PAB QAD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅ ，再利用两角和的正切公式可得4παβ+=，即求.【详解】设,PAB QAD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==， 则1tan ,1tan CP CQ αβ=-=-，22(1tan )(1tan )PQ αβ=-+-，2221tan 1tan (1tan )(1tan )αβαβ∴=-+--+- 22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅即tan()1αβ+=，4παβ∴+=，4PAQ π∴∠=.故答案为：4π四、双空题16．在ABC 中，已知2,1,120,AB AC BAC D ==∠=是BC 上一点，且AD 平分BAC ∠，则BDCD=__________，线段AD 的长度为__________. 【答案】2 23【分析】利用正弦定理求解得出比值BD CD ，利用余弦定理及BDCD可得AD ． 【详解】在ABD △和ACD △中，sin 60sin BD AB ADB =︒∠，sin 60sin CD ACADC=︒∠，又180ADB ADC ∠+∠=︒，即sin sin ADB ADC ∠=∠， 所以2BD ABCD AC==，所以BD CD=2==，解得23AD =（0AD =舍去）． 故答案为：2；23．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用．本题考查第一个结论BD ABCD AC=，实质上就是三角形的内角平分定理，可以通过平面几何的知识进行证明．五、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ； （2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解. （2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±，∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以1832440p p -=-=，解得6p．18．在①222b a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b . （1）求角B ； （2）求△ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】取①222b a c +=+，由余弦定理可得cos 2B =进而解得B ，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取②cos sin a B b A =，由正弦定理可得：tan 1B =，(0,)B π∈，解得B ，可得sin sin()C A B =+，由正弦定理可得：a ，利用三角形面积计算公式即可得出；取③sin cos B B +=)4B π+B 的大小，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；【详解】解：（1）若选①，222b a c =+，则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以4B π=若选②，cos sin a B b A =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 sin cos sin sin A B B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以cos sin B B = 又(0,)B π∈，tan 1B =，4B π=，若选③，由sin cos B B +=)4B π+=，所以sin()14B π+=，又(0,)B π∈，所以5(,)444B πππ+∈，42B ππ+=，所以4B π=，（2）由正弦定理得sin sin a bA B =，又3A π=，2b =，4Bπ=所以32sin 23sin 22b Aa B⨯===，512C A B ππ=--=， 所以562sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ+==+=+=所以1162sin 32224ABCSab C +==⨯⨯⨯=33+ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 【答案】（1）238a π；（2）3596a π． 【分析】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，求得r 和r '的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解； （2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积． 【详解】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，因为过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得2a r =，4a r '=，且圆柱母线长2a l '=，圆锥母线长l ==，所以圆柱的表面积为：222322224428a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭表（2）剩下几何体的体积222221153324296a a a V r OP r OO a a πππππ⎛⎫⎛⎫'=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知函数()2log 2a xf x mx-=+，（0a >且0a ≠）是奇函数．（1）求实数m 的值； （2）若217f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1m =；（2）304a <<或1a >． 【分析】（1）利用()()f x f x -=-恒成立求出m =±，再验证定义域是否关于原点对称； （2）化为3log 14a<，再分类讨论a ，利用对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2log 2axf x mx-=+（0a >且0a ≠）是奇函数，所以()()22log log 22aax mxf x f x mx x++-==-=-- ∴2222x mxmx x++=--，∴22244x m x -=-，∴21m =，∴1m =±，当1m =-时，()2log 02a xf x x-==-，此时2x ≠，定义域不关于原点对称，∴不成立，当1m =时，2()log 2a xf x x-=+的定义域为(2,2)-，符合题意， 故1m =．（2）由（1）知，2()log 2axf x x-=+， ∵217f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2237log log 12427a a-=<+当1a >时：3log 04a<，恒成立； 当01a <<时：由3log 14a <，得304a <<，综上所述：304a <<或1a >．【点睛】关键点点睛：对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式是解题关键. 21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，||2πϕ≤)求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？【答案】（1）()62cos8315H t t π=-+(030t ≤≤)；（2）5分钟【分析】（1）根据函数关系式()sin()H t A t B ωϕ=++，结合已知条件可知max ()145H t =，min ()21H t =，即21145A B A B -+=⎧⎨+=⎩，求得,A B ，利用()H t 的最小正周期30T =，求出ω，再根据题意知其过点(0,21)，求出ϕ，即可求出摩天轮转动一周的解析式；（2）令()52H t =，求出符合题意的t 即可. 【详解】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，∴摩天轮最低点距离地面14512421-=米，即max()145H t =，min()21H t =21145A B A B -+=⎧∴⎨+=⎩，解得8362B A =⎧⎨=⎩又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，()H t ∴的最小正周期为30T =223015T πππω∴===，()62sin 83.15H t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭又(0)62sin 8321H ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-||2πϕ≤，2πϕ∴=-()62sin 8362cos 83.15215H t t t πππ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭所以摩天轮转动一周的解析式为：()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)（2）由（1）知，()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)，令62cos835215t π-+=，解得：1cos152t π=要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，015t ∴≤≤，015t ππ∴≤≤，315t ππ∴=，5t ∴=所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米. 【点睛】方法点睛：求sin()y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω)解析式的步骤 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA，2M mB +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=. （3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）22⎡-⎢⎣⎦． 【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，化简得到()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()f x 的最小正周期为π，求得1w =，即可求解；（2）由（1）得sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 22226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos2sin 22sin 2cos2cos 212sin 2cos2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解， 方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+， 令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-， ①当0t =时，0y =；②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t+≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-，当且仅当2x =-时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，y ⎡∈⎢⎣⎦，所以a ⎡∈⎢⎣⎦， 故实数a的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦． 【点睛】解答中利用三角恒等变换的公式，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式求解是解答的关键.。