湖南省长沙市南雅中学2018年高一新生入学考试数学试卷

南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。

湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。

南雅中学2018-2019（秋）初二入学考试满分：100分 时量：90分钟 录入人：许霖一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.（南雅中学2018-2019 ）A.3±B.3C.9±D.92.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）在直角坐标系中，点P （6-2x ，x -5）在第四象限，则x 的取值范围是（ ）A.35x <<B.5x >C.3x <D.35x -<<3.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）在ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，若b ＝8，c ＝3，则a 的取值范围时（ ）A.38a <<B.511a <<C.610a <<D.811a <<4.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）若二元一次方程组2332x y x y +=⎧⎨-=⎩的解同时也是方程21x my -=-的解，那么m 的值为（ ）A.2-B.1-C.3D.45.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，AB=7cm ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ， DE ⊥AB 于点E ，则EB 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．不能确定6.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN7.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D 、E ，AE ＝3cm ，△ADC 的周长为9cm ，则△ABC 的周长是（ ）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．17cm8.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）已知a b <，则下列式子不成立的是（ ）A.11a b +<+B.33a b <C.1122a b ->-D.如果0c <，那么a b c c< 9.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）地理老师介绍到：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x 千米，黄河长为y 千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能应是（ ）A.836561284x y x y +=⎧⎨-=⎩B.836651284x y x y -=⎧⎨-=⎩ C.836651284x y y x +=⎧⎨-=⎩ D.836651284x y y x -=⎧⎨-=⎩10.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE ＝DF ，连接BF 、CE ，下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE ．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向左爬3个单位长度后，到达（0，0），则它最开始所在位置的坐标是__________.12.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）不等式5335x x x a-<+⎧⎨<⎩的解集为4x <，则a 满足的条件是__________.13.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）若2316x y +=，且3219x y +=，x y x y+=-__________.14.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）一个多边形的各内角都等于120°，则这个多边形是__________边形.15.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 与BC 交于点F ，则∠AFC ＝__________．16.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图所示，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 恰好落在BA 边上，得到点C′，若∠C′EB ＝40°，则∠EDC′＝__________度．17.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）解方程组和不等式组（每小题4分，共8分） ()21232121132x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩ ()()324221152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩三、解答题（共5小题，18~20题，每小题8分；21~22题，每小题10分，共44分）18.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，已知AD ，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，∠CAB=90°，求：（1）AD 的长； （2）△ABE 的面积；（3）△ACE 和△ABE 的周长的差．19.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA.20.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案．21.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）对x、y定义一种新运算T，规定：(),2ax by T x y x y +=+（其中a 、b 均为非零常数），例如：()010,101a b T b ⨯+⨯==+，已知()1,12T -=-，()4,21T =.（1）求a 、b 的值；（2）若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m p⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有4个整数解，求实数p 的取值范围.。

2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2地结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．（4分）向如图所示地正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能地，扔沙包1次击中阴影区域地概率等于（）A．B．C．D．3．（4分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式地值为（）A．9 B．±3 C．3 D．54．（4分）在如图所示地三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进．则情境a，b所对应地函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．（4分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）若关于x地方程无解，则a地值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣17．（4分）已知，，，那么a，b，c地大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．（4分）已知，在面积为7地梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合地一动点，Q是边BC上地任意一点，连结AQ、DQ，过P 作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积地最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．（5分）计算：=．10．（5分）规定用符号[m]表示一个实数m地整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定地值为．11．（5分）定义：在直角三角形ABC中，锐角α地邻边与对边地比叫做角α地余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角地余切概念，则ctan30°=．12．（5分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数地图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x地取值范围是．13．（5分）已知关于x地不等式组地整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式地值是．14．（5分）若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应地y值为1≤y≤9，则一次函数地解析式为．15．（5分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们地横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成地四边形是轴对称图形，并且点A地横坐标仍是整数，则移动后点A地坐标为．16．（5分）在正方形ABCD中，N是DC地中点，M是AD上异于D地点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量地两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌地单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生地需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，求出W与x地函数关系式；求出所有地购买方案．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b地实数x地所有取值地全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定地闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上地最小值是（2）求函数在区间上地最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上地最小值y min 地解析式．19．（10分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC地长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5地实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC地面积．20．（16分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD 在BC地同侧．（1）当正方形地顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE地长；（2）将（1）问中地正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中地正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移地距离为t，正方形B′EFG地边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样地t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t地值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问地平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分地面积为S，请直接写出S与t之间地函数关系式以及自变量t地取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2地结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．2．（4分）向如图所示地正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能地，扔沙包1次击中阴影区域地概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为阴影部分地面积与三角形地面积地比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域地概率等于．故选C．3．（4分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式地值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0地两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．4．（4分）在如图所示地三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进．则情境a，b所对应地函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家地距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选D5．（4分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．6．（4分）若关于x地方程无解，则a地值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；当a+1≠0时，x=．当x=1时，=1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；当x=2时，=2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．故选：C．7．（4分）已知，，，那么a，b，c地大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选B．8．（4分）已知，在面积为7地梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合地一动点，Q是边BC上地任意一点，连结AQ、DQ，过P 作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积地最大值是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PD=x ，S △PEF =y ，S △AQD =z ，梯形ABCD 地高为h ， ∵AD=3，BC=4，梯形ABCD 面积为7，∴，解得：，∵PE ∥DQ ，∴∠PEF=∠QFE ，∠EPF=∠PFD ， 又∵PF ∥AQ ， ∴∠PFD=∠EQF ， ∴∠EPF=∠EQF ， ∵EF=FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ）， ∵PE ∥DQ ， ∴△AEP ∽△AQD ， 同理，△DPF ∽△DAQ ， ∴=（）2，=（）2，∵S △AQD =3，∴S △DPF =x 2，S △APE =（3﹣x ）2， ∴S △PEF =（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2， ∴y=[3﹣x 2﹣（3﹣x ）2]×=﹣x 2+x ，∵y 最大值==，即y 最大值=．∴△PEF 面积最大值是， 故选：D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 9．（5分）计算：= 2﹣2 ．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．10．（5分）规定用符号[m]表示一个实数m地整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定地值为3．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故地值为3．故答案为：3．11．（5分）定义：在直角三角形ABC中，锐角α地邻边与对边地比叫做角α地余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角地余切概念，则ctan30°=．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．12．（5分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数地图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x地取值范围是x＜0或1＜x＜4．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．13．（5分）已知关于x地不等式组地整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式地值是．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组地整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣•=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．14．（5分）若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应地y值为1≤y≤9，则一次函数地解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求地函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．15．（5分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们地横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成地四边形是轴对称图形，并且点A地横坐标仍是整数，则移动后点A地坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【解答】解：如图所示：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．16．（5分）在正方形ABCD中，N是DC地中点，M是AD上异于D地点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【解答】解：如图：延长MN交BC地延长线于T，设MB地中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量地两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌地单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生地需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，求出W与x地函数关系式；求出所有地购买方案．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两人学习桌和三人学习桌地单价分别为50元，70元；（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，则W与x地函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组地解集为：43≤x≤46，故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b地实数x地所有取值地全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定地闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上地最小值是﹣7（2）求函数在区间上地最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上地最小值y min 地解析式．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x=0时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．19．（10分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC地长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5地实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC地面积．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为大于5地实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC地长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三角形地边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代入（3）得：﹣=，解得：sinQ=，∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，∴+=1，令a2=t，∴+=1，解得：t1=25+12，t2=25﹣12，由（1）知a＞0，cosQ＞0，即＞0，a2＞7，∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，∴t=25+12，即a2=25﹣12，过A作AD⊥BC于D，∵等边△ABC，∴BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，=•a•==9+．∴S△ABC答：△ABC地面积是9+．20．（16分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD 在BC地同侧．（1）当正方形地顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE地长；（2）将（1）问中地正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中地正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移地距离为t，正方形B′EFG地边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样地t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t地值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问地平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分地面积为S，请直接写出S与t之间地函数关系式以及自变量t地取值范围．【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG地边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件地t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，当0≤t ≤时，S=S △FMN =×t ×t=t 2， ②如图④，当G 在AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan ∠DCB=EC•=（4﹣t ）=3﹣t ，∴FK=2﹣EK=t ﹣1，∵NL=AD=， ∴FL=t ﹣，∴当＜t ≤2时，S=S △FMN ﹣S △FKL =t 2﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+t ﹣； ③如图⑤，当G 在CD 上时，B′C ：CH=B′G ：DH ， 即B′C ：4=2：3，解得：B′C=， ∴EC=4﹣t=B′C ﹣2=， ∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t ）=3﹣t ， ∵GN=GB′﹣B ′N=t ﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+2t ﹣， ④如图⑥，当＜t ≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t +． 综上所述：当0≤t ≤时，S=t 2，当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣； 当2＜t ≤时，S=﹣t 2+2t ﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

绝密★启用前湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A ．对任意实数x, 都有x > 1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x, 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π值是（ ）A ．12-B ．12C ．D ．22- 4．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点()sin ,2cos P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．……………………7．如果33log log 4m n +≥，那么m n +的最小值为（ ） A ．4B ．C ．9D ．188．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线3x π=对称B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 10．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=u u u v u u u v v，则OC =u u u v （ ）A ．2OA OB -u u u v u u u vB ．2OA OB -+u u u v u u u vC ．2133OA OB-u u uv u u u vD ．1233OA OB -+u u uv u u u v11．已知函数1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ，2x ，则有（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．1201x x <<12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有（ ）A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．cos300°＝____________. 14．在△ABC 中，“30A >︒”是“”的 ▲ ．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 15．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()ααβ=+=，则sin β=_____16．已知()2sin f x x π=，()g x =，则()f x 与()g x 图象交点的横坐标之和为___________.三、解答题17．已知sin θ=，2πθπ<<．（1）求tan θ的值；（2）求222sin sin cos 3sin cos θθθθθ++的值． 18．已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.19．设:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集为{}|0x x <；:q 函数()2ln y ax x a =-+的定义域为R ．若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围．20．已知3cos 5α=，cos 10β=-，23απ<<π，0βπ<<． （1）求sin α和sin β的值； （2）求αβ-的值． 21．在锐角ABC V 中，274sin cos 222B C A +-=． （1）求角A 的大小； （2）求sin sin B C 的最大值．22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函()f x 的一个上界.已知函数()111()()24x x f x a =++，()121log 1axg x x -=-． ()1若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；()2在()1的条件下，求函数()g x ，在区间5,3⎡⎤⎢⎥上的所有上界构成的集合；f x在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．参考答案1．B 【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0A B ⋂=-. 【考点定位】集合的表示，集合的运算. 2．C 【解析】 【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ，都有x ≤1” 故选C ． 3．A 【解析】 【分析】 由03ππ<<,将3x π=代入()cos2f x x =中,进而求解即可.【详解】由题,21cos 332f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 故选:A 【点睛】本题考查分段函数求函数值,考查特殊角的三角函数值. 4．B 【解析】分析：由()()sin cos cos sin A B B A B B -+-利用两角和的正弦公式，得到sin 1A =，可得2A π=，从而可得结果.详解：ABC ∆中，若()()cos cos sin 1sin A B B A B B -+-≥，则()sin 1sin A B B A ⎡⎤-+=≥⎣⎦，sin 1A ∴=， 2A π=，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5．D 【解析】 【分析】由点()sin ,2cos P θθ位于第二象限可得sin 0θ<,2cos 0θ>,即可判断θ所在象限. 【详解】由题,因为点()sin ,2cos P θθ位于第二象限, 所以sin 0θ<,2cos 0θ>, 所以θ在第四象限, 故选:D 【点睛】本题考查象限角,属于基础题. 6．C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小 7．D 【解析】 【分析】先由对数的运算法则得出()333log log log m n mn +=,再利用基本不等式性质可求出最小值.解：∵()333log log log 4m n mn +=≥, ∴43mn ≥,又由已知条件隐含着0m >,0n >,故18m n +≥≥=,当且仅当9m n ==时取到最小值． 所以m n +的最小值为18. 故选：D 【点睛】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】由T π=可得2ω=,则()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将3x π=代入()f x 中即可得到结果.【详解】 由题,2T ππω==,所以2ω=,则()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将3x π=代入()f x 中可得sin 2sin 0333f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心, 故选:B 【点睛】本题考查正弦型函数的周期性的应用,考查代入验证法处理正弦型函数的对称性问题. 9．A【解析】∵()232sin 1cos 23cos22y x x x ππ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭， ∴232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是最小正周期为π的偶函数. 10．A 【解析】由AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r , CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r代入运算即可得解.【详解】解：因为20AC CB +=u u u r u u u r r，所以2()()0OC OA OB OC -+-=u u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以OC =u u u r 2OA OB -u u u r u u u r ，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属基础题. 11．D 【解析】 【分析】先将1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点转化为|lg |y x =与2xy -=有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在(0,1)和(1,)+∞内,即可得到112lg x x --=和222lg x x -=,然后两式相加即可求得12x x 的范围.【详解】Q 1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ,2x ,即|lg |y x =与2xy -=有两个交点由题意0x >,分别画2xy -=和|lg |y x =的图像∴ 发现在(0,1)和(1,)+∞有两个交点不妨设1x 在(0,1)内，2x 在(1,)+∞内，∴ 在(0,1)上有112lg x x -=-,即112lg x x --=——①在(1,)+∞有222lg x x -=——② ①②相加有211222lg x x x x ---=Q 21x x >,∴2122x x --<即21220x x ---<∴12lg 0x x < ∴1201x x <<故选:D . 【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 12．B 【解析】 【分析】由cos y x π=关于y 轴对称,则可将问题转化为当0x >时,5log y x =与cos y x π=的交点个数,画出图象,由图象即可得到结果. 【详解】由题,因为cos y x π=关于y 轴对称,所以只要找到当0x >时,5log y x =与cos y x π=的交点个数即可,函数图象如图所示,则共有5个交点, 故选:B 【点睛】本题考查余弦型函数的奇偶性的应用,考查利用函数图象求交点个数,考查数形结合思想. 13．12【解析】试题分析：01cos300cos(36060)cos602=-==． 考点：三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值．点评：简单题，利用诱导公式，转化成小范围特殊角的三角函数值． 14．必要不充分条件 【解析】此题考查充分条件和必要条件的判断、考查学生的逻辑推理和论证能力； 由在△ABC 中，“30A >︒”得出11sin 10sin 22A A <≤<<或，所以不是充分条件，由1sin 2A >，且在ABC ∆中，可以得出30120A <<o o ，所以是必要条件，所以填必要不充分条件 15．1665【解析】 【分析】由已知求出cos ,sin()ααβ+，再由两角差的正弦公式计算sin sin[()]βαβα=+-． 【详解】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即()βαβα=+-．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．16．17.【解析】【分析】作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出()f x 与()g x 的图象，如图，2=，解得9x =2=-，解得7x =-，()f x ∴与()g x 图象共有17个交点.Q 则()f x 与()g x 关于()1,0对称，设17个交点横坐标为12317,,,,x x x x L ，则1231728117x x x x ++++=⨯+=L .故答案为：17.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键.17．（1）2-（2）213 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1θθ+=和sin tan cos θθθ=求解即可,需注意角的范围； （2）对分式分子分母同时除以2cos θ,进而求解即可.【详解】解:（1）因为sin θ=,2πθπ<<,根据22sin cos 1θθ+=,所以cos θ=, 所以sin tan 2cos θθθ==- （2）()()()222222222sin sin cos tan tan 23sin cos 3tan 113321θθθθθθθθ-+-++===++⨯-+ 【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查三角函数的齐次式问题.18．（Ⅰ）π；（Ⅱ）()f x 1时x 的集合为{|},8πx x k πk Z =+∈ 【解析】【详解】（Ⅰ）2()sin 22sin sin 2cos 21)14f x x x x x x π=-=+-=+-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==． （Ⅱ）当2242πππ+=+x k ，即8x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 1，()f x 1时x 的集合为{|},8πx x k πk Z =+∈.19．10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据指数函数的图象可得若p 为真命题,则01a <<；若q 为真命题,则20ax x a -+>在R 上恒成立,可解得12a >,当p q ∧为假,p q ∨为真时,则p 与q 中一个为真,一个为假,进而分别讨论p 为真命题,q 为假命题和q 为真命题,p 为假命题的情况,即可求解.【详解】由题,若p 为真命题,则01a <<；若q 为真命题,则20ax x a -+>在R 上恒成立,当0a =时,0x ->,不符合；当0a ≠时,20140a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得12a >； 因为p q ∧为假,p q ∨为真,所以p 与q 中一个为真,一个为假,若p 为真命题,q 为假命题,则1a ≥；若q 为真命题,p 为假命题,则102a <≤, 综上,[)10,1,2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围问题,考查指数函数的图象的应用,考查已知函数的定义域求参数范围问题,考查分类讨论思想.20．（1）4sin 5α=，sin =β（2）74π 【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系求解即可,需注意角的取值范围；（2）先求得()cos αβ-,再根据αβ-的范围确定角.【详解】解:（1）因为3cos 5α=,且23απ<<π, 根据22sin cos 1αα+=,所以4sin 5α=；因为cos 10β=-,且0βπ<<,根据22sin cos 1ββ+=,所以sin =β （2）由（1）,()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+34510510⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭2=, 因为3cos 05α=>,所以522αππ<<,因为cos β=,所以2πβπ<<,即2ππβ-<-<-, 所以2παβπ<-<,所以74αβπ-=【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查已知三角函数值求角,考查余弦的差角公式的应用.21．（1）3A π=（2）34【解析】【分析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得24cos 4cos 10A A -+=,进而求解即可；（2）()sin sin sin sin B C B A B =+,进而利用和角公式展开,整理可得11sin 2264B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,由26B π-的范围,进而求得最值.【详解】解:（1）因为274sin cos 222B C A +-=,即()721cos cos 22B C A -+-=⎡⎤⎣⎦, 所以()2722cos 2cos 102A A +---=,即24cos 4cos 10A A -+=, 所以1cos 2A =, 所以3A π=（2）由（1）,()sin sin sin sin B C B A B =+()sin sin cos sin cos B A B B A =+1sin sin 2B B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos sin 2B B B =+112cos 244B B =-+ 11sin 2264B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 因为锐角ABC V ,所以2A B π+>,即62B ππ<<, 所以5666B πππ<2-<, 当262B ππ-=,即3B π=时,sin sin B C 取得最大值为34【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的最值问题.22．（1）1a =-；（2）上界构成集合为[)2,+∞；（3）实数a 的取值范围为[]5,1-.【解析】试题分析：（1）因为121()log 1ax g x x -=-为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得a 的值，由于真数大于零，所以排除1a =-.即可得到结论.（2）由（1）得到的a 值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间(1,)+∞上单调递增.所以5[,3]3x ∈上，5()()(3)3g g x g ≤≤.即2()1g x -≤≤-.所以可得.即存在常数20M =≥，都有()2f x M ≤=.所以所有上界构成的集合[2,)+∞.（3）因为函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得a 的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即，即，得，而当时不合题意，故1a =-. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间(1,)+∞上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以在上递减，在上递增， 12分 在上的最大值为，在上的最小值为. 所以实数a 的取值范围为. 14分考点：1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.。

2018年湖南省长沙市南雅中学中考数学二模试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在实数﹣、﹣2、0、中，绝对值最小的实数是（）A．﹣2B．0C．﹣D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．a+2a＝2a2C．a•a＝a2D．（mn2）3＝mn6 3．（3分）作为长沙地铁“米”字型构架西南﹣东北方向的地铁3号线一期工程线路全长约36400米，则数据36400用科学记数法表示为（）A．364×102B．36.4×103C．3.64×104D．0.364×105 4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）若下列各组值代表线段的长度，以它们为边不能构成三角形的是（）A．3，8，4B．4，9，6C．15，20，8D．9，15，8 6．（3分）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）对于二次函数y＝2（x﹣3）2+4，下列说法中哪个是正确的（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最小值3D．无法确定最值9．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°10．（3分）下列命题中正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形B．菱形的对角线相等C．三点确定一个圆D．圆内接四边形的对角互补11．（3分）在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则这个塔顶有（）盏灯．A．1B．2C．3D．712．（3分）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB 的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：x2y﹣y＝．14．（3分）不等式组的解集是．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝．16．（3分）如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b＝．17．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分数）708092将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．18．（3分）如图，直线y1＝﹣2x和双曲线y2＝﹣交于A、B两点，若y1＜y2，则x的取值范围是．三、解答题（本题共8个小题，共66分。

长沙市南雅中学2020年上学期入学考试试卷高 一 数 学时量：120分钟 总分：150分 命题人玉 审题人：一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}1,0,1A =−，{}|11B x x =−≤<，则A B = () A ．{}1,0 B ．{}1,0− C ．{}0D ．{}1,0,1−2．命题“存在实数x ，使1x >”的否定形式是()A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤3．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π的值是()A ．12−B ．12C ．3−D ．23−4．ABC ∆中，若()()sin cos cos sin 1A B B A B B −+−≥，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点(sin ,2cos )P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．已知13212112,log ,log 33a b c −===，则（ ）（A ）a b c>>（B ）a c b >>（C ）c a b>>（D ）c b a>>7.如果33log log 4m n +=，那么m n +的最小值为()A ．4B ．3C ．9D ．188． 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象()A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=−对称 D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭是( ) A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数10．已知,,O A B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0,OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →11．已知函数1()lg ()2xf x x =−有两个零点21,x x ，则有（ ）A. 021<x xB. 121=x xC. 121>x xD. 1021<<x x12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有( )A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡中的对应题号后的横线上．13．cos300= 。

2018-2019学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（下）开学数学试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1、(3分) 实数-3，√2，20，π，0.121221222…中，有理数的个数是（）6A.2B.3C.4D.52、(3分) 下列计算正确的是（）A.a2+a3=a5B.（a4）3=a12C.a2•a3=a6D.a6÷a2=a33、(3分) 2011年7月2日，杭州“最美妈妈”吴菊萍奋力接住了从10楼坠落的两岁妞妞，据估算接住妞妞需要承受约2950牛顿的冲击力，2950牛顿保留两个有效数字约为（）A.29.5×102B.2.95×103C.29×102D.3.0×1034、(3分) 不等式组{2x+3>53x−1<5的解集是（）A.1＜x＜2B.x＞1C.x＜2D.x＜1或x＞25、(3分) 下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆6、(3分) 如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（）A.4 5B.35C.43D.347、(3分) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A.a＜0B.abc＞0C.a+b+c＞0D.b2-4ac＞08、(3分) 若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A.-1B.1C.-4D.49、(3分) 有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A.事件A、B都是随机事件B.事件A、B都是必然事件C.事件A是随机事件，事件B是必然事件D.事件A是必然事件，事件B是随机事件10、(3分) 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A.①②B.②③C.②④D.③④11、(3分) 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A.y=x2B.y=x-1C.y=34x D.y=1x12、(3分) 如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F ，BG⊥AE ，垂足为G ．若BG=4√2，则△CEF 的面积是（ ）A.√2B.2√2C.3√2D.4√2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13、(3分) 分解因式：mx 2-6mx+9m=______．14、(3分) 使代数式√2x−13−x 有意义的x 的取值范围是______．15、(3分) 甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们平均成绩均为8环，10次射击成绩的方差分别是：S 甲2=1.5，S 乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是 ______．（选填“甲”或“乙”）16、(3分) 已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为______．17、(3分) 已知关于x 的分式方程2x+2−ax+2=1的解为负数，那么字母a 的取值范围是______．18、(3分) 已知：C 32=3×21×2=3，C 53=5×4×31×2×3=10，C 64=6×5×4×31×2×3×4=15，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C 86=______，C 106=______．三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）19、(6分) 计算：（√2）0+√12-tan60°+（13）-2．20、(6分) 先化简：（3a+1-a+1）÷a 2−4a+4a+1，并从0，-1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．21、(8分) 2014年世界杯足球赛6月12日-7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．22、(8分) 如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）23、(9分) “城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当0＜x≤28时，V=80；当28＜x≤188时，V是x的一次函数．函数关系如图所示．（1）求当28＜x≤188时，V关于x的函数表达式；（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）24、(9分) 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=4，AC=6，求⊙O的直径．525、(10分) 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和点Q （a ，b′），给出如下定义：若b ′={b , a ≥1−b , a <1，则称Q 点为P 点的限变点。

⎨7 南雅高中部理实班招生初三数学试卷本试卷共有 20 道小题，满分 100 分，时间 90 分钟2018-3-11填空题（共 20 小题，每题 5 分，共 100 分）1. 若不等式组⎧x - 2m < 1恰有 3 个整数解，则 m 的范围为。

⎩1 - 2x ≤ 54.如图， ∆ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC = 120mm ，高 AD = 80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是mm 。

5.已知 a 、b 为有理数， m 、 n 分别表示5 - 的整数部分和小数部分，且 amn + bn 2 = 1， 则 2a + b =。

6.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 4x + m = 0 。

若方程两实数根分别为 x ， x ，且满足125x 1 + 2x 2 = 2 ，则实数 m 的值为。

7.如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上一点，且 BP = 1，点 D 为 AC 边上一点若∠APD = 60︒，则CD 的长为。

8.九年级（3）班的 50 名同学进行物理、化学两中实验测试，经最后统计知，物理实验做对的有 40 人，化学实验做对的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。

9.如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E ，双曲线 y = k(k > 0)经过 A ， E 两点，x若平行四边形 AOBC 的面积为 18，则 k =。

10.分式方程 x x - 1 - 1 = m (x - 1) (x + 2 )有增根，则 m =。

11.已知不等式 ax + b > 0 的解集为 x > 3，则不等式bx - a < 0 的解集是 。

12.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 、F 分别在 AB 、AD 上，且 AE = 1 AB , AF = 1AD ，3 4连结 EF 交对角线 AC 于G ，则 AG= 。