圆周运动之卫星系列

泉港一中物理竞赛 1 圆周运动之卫星系列练习 1.求解一颗同步卫星的发射情况 【例1】要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动．如图一所示，在A点，实际上使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求： 卫星从A点到达B点所需的时间，设万有引力恒量为G，地球质量为M。 泉港一中物理竞赛

2 2.求解火星飞船的运动 【例2】 宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的倍，因量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图一 ，飞船喷气质量可忽略不计． （l）试求飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远；

（2）设飞船原来的运动速度为0V，试计算新轨道的运行周期T． 泉港一中物理竞赛

3 3.求解登月器与航天飞机的对接情况 【例3】质量为m的登月器连接在质量为M(M＝2m)的航天飞机上一起绕月球作圆周

运动，其轨道半径是月球半径mR的3倍．某一时刻，将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后，登月器仍沿原方向运动，并沿图一所示的椭圆轨道登上月球表面，在月球表面逗留一段时间后，经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接，试求： 登月器在月球表面可以逗留多长时间？已知月球表面的重力加速度为gm＝1.62m/s2，月球的半径R=1. 74 X106m． 泉港一中物理竞赛

4 4.发射火星探测器 【例4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周运动，火星轨道半径Rm为地球轨道半径R0的1．5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星．第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一 起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图－所示，问： （1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地面附近获得多大的速度（相对于地球）？ （2）当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日测得探测器与火星之间的角距离为600，如图二所示，问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机，方能使探测器恰好落在火星表面（时间限需要精确到日）？已知地球半径Re= 6．2 X 106m，

重力加速度 g可取./8.92sm． 泉港一中物理竞赛

5 【例1】解：以V表示卫星的速度，当卫星在暂行轨道上经过近地点A和远地点B时，V与r垂直，根据开普勒第二定律有 .21ABVrrV

卫星在暂行轨道上总机械能受恒，.BAEE ,2112rMmGmVEAA ,2122rMmGmVEBB

),11(21212122rrGMmmVmVBA 解，得 ,)(221122rrrGMrVA .)(221212rrrGMrVB 卫星的面积速度为S, 则 ABArrSSS121 椭圆的面积为ab，其中2121,2rrbrra，因此周期为

GMrrrrGMrrSabT2)(2)(2121321

。

从A到B的时间为 GMrrrrTt22)(22121 【例2】解：设火星和飞船的质量分别为M和m,飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点与火星中心的距离为r，飞船速度为V．

因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为0021Vr，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P点的面积速

度sin210pVr（P为圆和椭圆的交点），由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、远火星的面积速度速度V,故 000111sin.222prVrVrV 即.00rVVr

由机械能守恒定律 .)(21210202202rMmGVVmrMmGmV

飞船沿原圆轨道运动时，有 02020rVmrMmG 式中 hRrHRr,0。 上述三个方程消去G、M、V0后可解得关于r的方程为0)1(20022rrrr 泉港一中物理竞赛 6 上式有两个解，大者为远R，小者为近R，即 ,110HRrr近 .110HRrr远

故近、远火星点距火星表面的高度为 ,1RHRrh近近 ,1RHRrh远远

（2）设椭圆半径的半长轴为a，则2rra远近 即.120r

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为.2000VrT 设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律，得 .)11(2)(2/32002/300VrraT

T 得 .)11()(22/320VHRT

【例3】解:脱离前登月器与航天飞机一起绕月球运动速度为V。，有 ,3)()3()(202mmRVmMRmmMGM 得.30mmRGMV

其运动周期 mmmmGMRRVRT36)3(200----------------（1） 式中mM为月球的质量，而月球表面的重力加速度.2mmmRGMg 故)/(1082.21074.162.12266smRgRGMmmmm 因而（1）式中hST4.9338120 设登月器与航天飞机脱离后两者的速度分别为1V和2V，由动量守恒可得， 210)(MVmVVmM （2）

此后两者沿不同的椭圆轨道运动，设登月器运动到月球表面时的速度为1V，则由机械能守

恒，得 mmmmKRmGMVmRmGMmV2121)(21321 （3） 由开普勒第二定律，得 113VRmVRm （4） 泉港一中物理竞赛 7 .21601VRGMVmm （5）

将（5）式代入（2）式，得， 02)22123(VV。 设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为KRm,速度为2V，同样可得类似于（3）（4）式的方程mmmmkRMMGVMRMMGMV)(21321222 （7） 223VkRVRmm

（8）

由（7）（8）两式可以解得.75.512226191)(23220VVK

故航天飞机运动轨道的半长轴为mmRKd)3(21。 由题意知，登月器为能沿原来轨道返回脱离点与航天飞机实现对接，则它在月球上可逗留的时间应是 ...)3,2,1()1(nTTntmM

式中MT和mT分别为航天飞机与登月器的运动周期，由开普勒第三定律，得 ,76.1)63()3(2/32/30KRdTTmmM ,54.0)32()32(2/32/30mmm

RRT

T

所以，0054.0,76.1TTTTmM 将两式代入（10）式，得 )(4.9)22.176.1(]54.076.1)1[(0hnTnt n=0,1,2……

【例4】 解:（l）设地球的质量为Me，探测器及其附加装置的总质量为m，则探测器在地

球表面的动能Ek和引力势能EP，分别为 .,212RmMGEmVEePk 探测器脱离地球引力作用成为沿地球轨道运动的人造卫星时，可以认为探测器的引力势能EP’＝0，相对于地球的速度为零，因而0kE，由机械能守恒

0212RmMGmVe 得.22eeegRRGMV

代入数值，得smV/102.113。 （2）为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的火箭发动机，使得探测器泉港一中物理竞赛 8 沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星也恰好运行到这一点．为此，必须首先确定点燃火箭发动机时探测器与火星的相对位置，已知探测器在地球公转轨道上运行周期Td与地球公转周期相同，即

.365dTTed 根据开普勒第三定律，火星的公转周期为

,671804.1365)5.1(3653dddTm 而探测器的椭圆轨道上的半长轴为

00025.125.1RRR



所以探测器在椭圆轨道上的运行周期dT为 .51040.1365)25.1(3653dddTd

因此探测器从点燃火箭发动机至到达火星，需时 .2552dTd 探测器在点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为 ./986.0365/36000dded

火星绕太阳转动的角速度为 ./537.0671/36000ddm． 由于探测器运行至火星需时255d，火星在此期间运行的角距离为 00137255)/537.0(2/ddT

dm

即探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点之前1370，亦即点燃火箭发动机时，探测器与火星的角距离应为1800- 1370 ＝ 430，如图三所示． 已知某年3月1日0时探测器与火星的角距离为600（火星在前，探测器在后），为使其角距离成为430，必须等待二者在各自轨道中运行至某个合适的时日，设二者到达合适位置，探测器又经历的天数为t，则

,436000ttmd 得 .3886.37449.0174360dddtmd

故点燃火箭发动机的时刻应为当年3月1日之后38天，即同年的4月7日。