全国中学生物理竞赛——相对运动

第6讲运动图像相对运动6.1 学习提要6.1.1 正比例函数及图像1. 正比例函数一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的形式，那么y就叫做x 的正比例函数。

2. 正比例函数图像在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k>0）的图像是一条过原点O的倾斜直线，这条直线直观地反映了函数y与自变量x的正比关系，如图6-1所示。

6.1.2 匀速直线运动图像根据数学知识可知，匀速直线运动的路程s跟时间t之间的关系为s=vt，式中的路程s相当于正比例函数y=kx中的y，时间t相当于x，保持不变的速度v相当于比例系数k，因此，匀速直线运动的路程-时间图像是一条过原点的倾斜直线。

物体运动的规律不但可以用公式来表示，还可以用图像来表示。

表示路程和时间关系的图像，叫路程-时间图像（s-t图像）。

表示速度和时间关系的图像，叫速度-时间图像（v-t图像）。

图像通常是根据实验测定的数据作出的。

例如，我们要研究一辆汽车在一段公路上运动的情况，可以在公路旁每隔100m站一名拿着停表的观测者，记下汽车到达每个观测者的时间，如图6-2所示。

测量的结果记入表6-1.在平面直角坐标系中，以纵轴表示路程s的值，横轴表示时间t，标出表示（4.9，100）、（10.0，200）、（15.1，300）、（19.9，400）的点，每个点代表一对数据。

可以看出各点几乎都在一条通过原点的直线上，如图6-3中的直线l，有的点略微偏离这条直线，这是由于测量误差引起的。

画出这条直线，就得到了汽车的路程-时间图像。

从图6-3可以看出，匀速直线运动的路程-时间图像是过原点的一条倾斜的直线，这样一条过原点的直线表示正比例函数，即时间t增大几倍，路程s也增大几倍，或者说s/t=恒量。

而s/t=v，v是恒量，表示汽车是做匀速运动，根据图像中s、t的数值，可以求出汽车的速度为v=20.0m/s。

图6-3中的直线2是一辆匀速运动的自行车的路程-时间图像，它的速度为5.0m/s。

第四讲 运动学一、相对运动问题如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。

有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为： 火地汽火汽地v v v += （注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v ++=从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。

合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。

②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。

③所有分速度都用向量合成法相加。

④速度的前后脚标对调，改变符号。

相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化1、一列火车在雨中自东向西行驶，车内乘客观察到雨滴以一定速度垂直下落，那么车外站在站台上的人看到雨滴是（ ）A 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的大。

B 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的小。

C 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的大。

D 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的小。

2、甲乙两车在同一平直路上行驶，方向相同，乙在前，早在后，在射程以内，车上两人同时发出相同的演示子弹，子弹对枪口的速度都是u 。

在两车速度分别为1v =2v ,1v >2v ,1v <2v 三种情况下，正确的判断应该是（ ）（A ）甲车上的人选被射中 （B ）乙车上的人选被射中（C ）两人同时被射中 （D ）无法确定3、有A 、B 两艘船在大海中航行,A 船航向正东,船速15km/h,B 船航向正北,船速20km/h. A 船正午通过某一灯塔, B 船下午二点也通过同一灯塔.问:什么时候A 、B 两船相距最近?最近距离是多少?4、如图所示，某人站在离公路距离为60m 的A 处，他发现公路上有一汽车从B 处以10m/s 的速度沿公路匀速前进。

高中物理竞赛——运动学基本知识一． 基本概念 1． 质点 2． 参照物3． 参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相+v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t)2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3．速度：v=lim Δt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为：v =d r/dt, 表示r 对t 求导数４．加速度a =a n +a τ。

a n :法向加速度，速度方向的改变率，且a n =v 2/ρ,ρ叫做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a τ: 切向加速度，速度大小的改变率。

a =d v /dt5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。

可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。

（a 对t 的导数叫“急动度”。

）6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好三．等加速运动v(t)=v 0+at r(t)=r 0+v 0t+1/2 at 2一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v 0沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。

此抛物线为在大炮上方h=v 2/2g 处，以v 0平抛物体的轨迹。

）练习题：一盏灯挂在离地板高l 2,天花板下面l 1处。

灯泡爆裂，所有碎片以同样大小的速度v 朝各个方向飞去。

求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。

）四．刚体的平动和定轴转动1． 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动2． 角位移φ=φ（t ）, 角速度ω=d φ/dt , 角加速度ε=d ω/dt 3． 有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4． 同一刚体上两点的相对速度和相对加速度两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，VA =VB +V AB ,在AB 连线上投影：[V A ]AB =[V B ]AB ,a A =a B +a AB,a AB =,a n AB +,a τAB , ,a τAB 垂直于AB,,a n AB =V AB 2/AB例：A ，B ，C 三质点速度分别V A ，V B ，V C 求G 的速度。

话题9：相对运动的问题一、坐标系转换法相对运动的问题是运动学中一种比较难处理的类型，一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。

例1、由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过20.5/a m s =．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A 点到达B 点，直线AB 垂直于汽车的初始速度v ，如图所示．如果点A 、B 之间的距离375AB m =，而初速度10/v m s =，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很难解出此题的，然而如果用坐标系转换法解此题，其难度却可以大大降低。

坐标系转换：汽车在A 点不动，而让B 点以恒速v 向汽车运动的相反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B 点相遇，必须沿直线以恒加速度a 向B 点驶去．假设它们在D 点相遇，如图所示．设AB b =，我们可以列出：22221()()2b vt at += (1)由(1)式可得：t =(2) 将数据代人(2)式得50t s =。

在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的运动轨迹是一条抛物线．例2、从离地面同一高度h 、相距L 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度1v 竖直上抛，另一个石块以速度2v 向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．vAB分析和解：以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度21v 做匀速直线运动，速度矢量关系如图，由图知21v =两石块最短距离sin d L L θ⎛⎫=⋅=， 这个最短距离适用于另一石块落地之前，即在()()()22212cos //L Lv v v θ=+≤二、矢量的加减运算（矢量图）法处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效．位移合成定理：=A A B S S S +对B 对地对地速度合成定理： =A A B v v v +对B 对地对地 即 =v v v +绝对相对牵连 加速度合成定理：=A A B a a a +对B 对地对地 即 =a a a +绝对相对牵连例3、假定某日刮正北风，风速为u ，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v ，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？ 分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V ，根据题给条件，有u V v =+．三个速度矢量中，u 大小、方向均确定，v 大小一定，V 与v 两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图()a ，取一点O ，先作矢量u ，以其矢端为圆心，表示u 大小的线段长为半径作一圆，自O 点向圆引切线OA ，则矢量三角形OO A '∆,即为符合题意要求的u 、V 、v 关系．由图显见，当运动员朝南偏西arccos vuθ=方向以速率v 奔跑时会感觉风从自己右侧吹来，并且在v u <时才可能有这种感觉．若v u >，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图()b ，在OO A ''∆中运用北正弦定理有sin sin v u βα=，可知当2πβ=时，arcsin uvα=为最大，即在运动员向西偏南arcsin uv方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大．例4、一只木筏离开河岸，初速度为v ，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T ，木筏划到路线上A 处，河水速度恒定为u ，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T 、3T 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅时刻此木筏在航线上的确切位置．分析与解设木筏相对于水的速度为V ，则离岸时，V v u =-，其矢量关系如图()a 所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V 方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v 大小、方向均有变化．故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线．现如图中()b 所示，连接OA 的有向线段是时间T 内木筏的绝对位移S 木，而=+S S S 木水对木水，其中S 水沿x 正方向，S 木对水平行于V 方向．现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x 轴上得到B 点，有向线段OB 即为S 水．由于水速u 恒定，则各T 时间内S 水恒定，故可在x 轴上得2OB S '=水，3OB S ''=水，过B '、B ''点⋅⋅⋅⋅⋅⋅作平行于V 的直线交木筏轨迹于A '、A ''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各点，即得2T 、3T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅时刻此木筏的确切位置．质点做变速运动时，若初速度为0v ，末速度为t v ，则速度增量0t v v v ∆=-，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图()c ，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处．例5某一恒力作用在以恒定速度v 运动的物体上，经过时间t ，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t 时间后，物体的速度3t v 之大小．北)yv)y水()b 0v v()a uV ()c RA BR A B=-分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间内，速度增量相同即232t t t t t v v v v v v v ∆=-=-=-．现作满足题给条件的矢量图如图所示，图中有向线段AB BC CD v ===∆，t OB v =，2t vv =，2t OC v =，24t vv =，OD 为待求量3t v ．设恒力方向与v 方向成πα-角，由图给几何关系，在OAB ∆、OAC ∆、OAD ∆中运用余弦定理，得222()()2cos 2vv v v v α=+∆-⋅∆⋅ 2()4vv =223t v v =例6、从 分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h 高度的时间小为gt 落地时速度v ∆积即可．由于01sin()2t S v v θα∆=⋅+，而0v 、t v 大小确定，则当090θα+=，即θ=时，S ∆有最大值：01122t gx v v =⋅，亦即物体飞行的水平位移将达到最大，其值为maxx =． 例7网球以速度0v 落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度P v 运动？如果速度0v 和球拍面的法线的夹角是α，速度P v 和此法线的夹角ϕ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度P v 在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．现取球拍面之法线为x 轴，使y 轴沿拍面，O 为网球入射点，如图所示，从O 点沿与x 轴成α角方向作有向线段0OA v =，作射线OP OA ⊥，从A 点作x 轴平行线交OP 于B ，取AB 中点C ，则有向线段OB 即是球离拍时的速度t v ，有向线段OC 则是球拍速度P v ，而有向线段CA 、CB 则是射入时球对拍速度0P v v -和弹回时球对球拍速度t P v v -，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的．根据所作的矢量图，在直角三角形OAB ∆中，斜边上的中线2AB OC =，cos OAAB α=．故02cos P v v θ=，而球拍速度与球拍法线方向夹角为2()22πϕαπα=-=-．三、方法演练1、甲、乙两船在静水中航行速度分别为v 甲和v 乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比=t t 甲乙：_____________．解.甲、乙船速度矢量关系如图，两船航程相同，由图得22=t v t v 甲乙乙甲．2、骑自行车的人以20/km h 的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40/km h 的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．解、速度矢量=+v v v 风风对人人的关系如图，由图易得28/v k h ≈风．3、如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D ，船速为0v ，一艘速率为0()v v v <的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的D ⋅处．（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？ 解、(1)艇相对船的速度方向不会超过θ，如图所示，cot θ=，A 点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过θ，则A 点在港口后面cot S D D θ=⋅=．(小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A 之前出发,意思是艇出发时与A点船的的距离水1v 人2v 人v 风1v 风对人2v 风对人港口最短，v 的大小一定方向可变，而0v 的大小、方向都不变，确定艇相对船的速度方向如图。

2、相对运动我们首先以运动中的速度合成来说明质点相对运动之间的关系。

设有两个相对运动的参考系S 系和S ′系。

既然运动和静止是相对的，设S 系为不动的，而S ′系为运动的。

质点P 相对S 系的运动称为绝对运动。

而相对S ′系的运动称为相对运动。

相应地，P 点相对S 系的速度称为绝对速度，而相对S ′系的速度称为相对速度。

再引人牵连速度概念，它是运动参考系S ′系相对不动参考系S 系的速度。

质点P 在不同参考系的位矢关系如图所示。

由图中的位矢关系，我们容易得到，在任何时刻,绝对速度绝对v 为相对速度相对v 与牵连速度牵连v 之矢量和：牵连相对绝对v v v +=这就是速度合成原则，即S ′系相对于S 系运动时，质点相对于S 系的速度是质点相对于S ′系的速度与S ′系相对于S 系的速度的叠加。

由速度之间的关联，我们也很快可以得到加速度之间的关联： 牵连相对绝对a a a += 两点说明:（1）只有在S ′系平动（不转动）情况下，S ′参考系所有点相对S 系的速度（牵连速度）才是唯—的；（2）这三个速度之间的关系为运动学关系，与S 系和S ′系是否是惯性系还是非惯性系无关。

位矢加速度的关系亦如此。

1、一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。

木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。

设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。

下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是：（BD ）A.雨点下落的速度B.单位体积中的雨点数C.车行进的速度D.木板的面积 解：以板为系（雨滴落在板上）地板雨地雨板v v v +=画出矢量图形。

n 为数密度：单位体积内的个数 总量=SLn2、某汽车前方的挡风玻璃与水平方向成角度37°，当汽车以30m/s 在水平地面上开行时，汽车司机看到雨滴垂直打在挡风玻璃上，实际虽然下雨但是没有风，计算雨滴下落的速度。

解：相对运动速度关系地车雨地雨车v v v +=画出矢量图形。

物理竞赛作业（相对运动）班级 姓名1．骑自行车的人以20 km ／h 的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40 km ／h 的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．2．假定某天刮正北风，风速为u ，一运动员在风中跑步，他对地面的速度是v ，试问，当他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？３．从离地面同一高度h 、相距l 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v 1竖直上抛，另一个石块以速度v 2向第一个石块原来位置水平抛出求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．４．一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D ，船速为v 0 ，一艘速率为υ（υ＜v 0 ＝的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A 之前出发，这点在港口后面的v v v D 220 处．⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？５．一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°,问汽车两次速度之比v 1∶v 2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）６．如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v 1＝50 km ／h 和v 2＝70 km ／h 行驶，行驶方向如图所示．求风速．７．敞开的旋转木马离转动轴距离为r ，以角速度ω转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v 0竖直下落．试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？８．一只木筏离开河岸，初速度为v 0，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T ，木筏划到路线上A 处，河水速度恒定为u ，且木筏在水中划行方向不变，请给出出发后，木筏复合运动的速度矢量图，并用作图法找到２T 、３T时刻此木筏在航线上的确切位置．９．磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r 末为初半径ｒ初的３倍．绕带的时间为t 1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？10．在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t 1＝20min 减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间t 2 ？v u v 0 x。

相对运动专题第一部份：赛题解读与训练例1：商场中有一自动扶梯，某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时，数得走了16级，当他用一样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了48级，那么静止时自动扶梯露出的级数为多少？点拨：分析人和电梯在整个进程中的运动情形，电梯在整个运动进程中的速度不变，可知人向上和向下的运动时刻之比为16∶48. 由人沿电梯上行和下行所走的路程相等，都等于一个楼层的高度，成立方程即可求解.解：电梯运动速度不变，可知4816=向下向上t t 得：向下向下t t 3= 而人向上和向下的路程等于梯层的高度，可知：向下梯人向上梯人t v v t v v )()(-=+得：向下梯向下人向上梯向上人t v t v t v t v ··-=+上式中，向上向下向下人向上人t 级，t t 级，v t v 34816=== 将这些数据代入上式可得：级t v 向上梯8=∴楼梯的高度为级t v v v t t v S 向上梯向上人向上梯人24·)(=+=+= 答：静止时自动扶梯露级数为24级。

点评：两个物体沿同一直线运动，讨论两个物体运动速度关系，在分析每一个物体运动情形时，要注意运动的相对性．明确运动的参照物。

竞赛训练一、选择题：1．一船来回于甲、乙两码头之间，顺水行驶时速度为v 1，逆水行驶时速度为v 2，船来回一次的平均速度为（ ）DA .221v v + B . 21v v + C . 21v v - D . 21212v v v v + 2．小船以速度v 从河边A 点沿河岸划至B 点又返回A 点。

不计船掉头时刻，假设水不流动时来回时刻为t ，那么水速为v 0时，来回时刻为（ ）CA . t v v v 0+B . t v v v 02-C . t v v v 2022-D . t v v v 222+ 3. 小船来回于沿河的甲、乙两地。

假设河水不流动，来回一次需要时刻t 1，假设河水流动，那么来回一次需要时刻t 2则（ ）CA ．t 1＝t 2B ．t 1＞t 2C ．t 1＜t 2D ．由船速和水速决定4．甲、乙两辆车沿平直的公路通过一样的路程。