高三数学-函数模型及其应用

1 第二章 函数、导数及其应用 1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为 （ A ） A.2 B.6 C.8 D.10

【提示】依题意解得(10010)70112,100xx2≤x≤8,则x的最小值为2. 故选A 2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于 （ A ） A.3~4万元 B.4~5万元 C.5~6万元 D.2~3万元

【提示】设存入的本金为x， 则x·2%·20%=138.64，138640034660.40x 故选A 3.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h) 的函数:T(t)=3t-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t取正值,则下午3时温度为 （ B ） A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃ 【提示】由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃. 故选B 4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x11.11% 【提示】设商品原来的价格为a，现应提价x%,由题意得：(110%)(1%)axa 得x11.11% 5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下： 加密 发送 解密 明文 密文 密文 明文

已知加密为2xya（x为明文,y为密文）,如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是__4___. 【提示】依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由14=2x-2,解得x=4. 课堂导与练 一、【重点、难点】 内容 剖析 求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般程序是： (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系，初步选择数学模型 (2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模:求解数学模型,得到数学结论； (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实 2

二【典型例题】 题型一：一次、二次函数模型 例1．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出; 若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆. 为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y（元）表示出租自行车的日净 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）. (1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 ：（1）当x≤6时，y=50x-115,令50x-115>0，解得x>2.3. ∵x∈N+，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N+， 当x>6时，y=[50-3（x-6）]x-115.

令[50-3（x-6）]x-115>0,有23x-68x+115<0, 上述不等式的整数解为2≤x≤20 (x∈N+）, ∴6

故250115(36,N),368115(620,N)xxxyxxxx定义域为{x|3≤x≤20,x∈N+}. (2)对于y=50x-115 (3≤x≤6,x∈N+). 显然当x=6时，maxy=185(元)，对于y=-32x+68x-115

2348113()(620,N).33xxx

当x=11时，maxy=270（元）. ∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的 净收入最多. 题型二：指数函数模型与幂函数模型 例2．某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）. (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？（参考

际问题的意义.可以用示意图表示为： 同时要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3 数据:1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301 0,lg 1.012≈0.005,lg 1.009≈0.003 9） 解 : （1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，

则y·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30， 即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg（1+x）=lg2， 则lg（1+x）=0.007 525，∴1+x≈1.017，得x=1.7%.

（2）依题意，y≤12.48(1+1%)10， 得lg y≤lg 12.48+10×lg 1.01=1.139 2, ∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿. 答 ： 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.

题型三 ：分段函数模型 例3．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关

系式为y＝(116)t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系为 ； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. 解：(1)设y＝kt，由图象知y＝kx过点(0.1,1)，则 1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)；

由y＝(116)t－a过点(0.1,1)得1＝(116)0.1－a，

a＝0.1，∴y＝(116)t－0.1(t＞0.1). (2)由(116)t－0.1≤0.25＝14得t≥0.6，故至少需经过0.6小时. 4

答案：(1)y＝t-0.110t,0≤t≤0.11(),0.1>t16 (2)0.6 题型四 ： 函数模型的综合应用 例4．（2010 湖北高考题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足

关系：01035kCxxx，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设fx

为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及fx的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用fx达到最小，并求最小 解：

规律方法总结 1．二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.

2．指数和幂指数增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(1)xyNP (其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型(1)nyax (其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算。 5

3．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.

三、课堂练习 1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种 方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差 （ A ）

A.10元 B.20元 C.30元 D.403元 【提示】 设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为S=k2t,当t=100时，211,5kk100k1+20=100k2,当t=150时，150k2-150k1-20= 11502010.5故选A

2.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税. 已知某人出版一本书,共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为 （ C ） A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元 【提示】设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得

0(0800)(800)14%(8004000).11%(4000)xyxxxx





如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所以稿费应在800~4 000元之间,∴(x-800)×14%=420,∴x=3800.故选C 3. 某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28) ( C ) A.2010年 B.2011年 C.2012年 D.2013年