《函数模型及其应用》同步训练题

高中数学函数模型及其应用练习题(含答案)高中数学函数模型及其应用练习题(含答案)数学必修1(苏教版)2．6 函数模型及其应用某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？基础巩固1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场()A．不赚不亏 B．赚了80元C．亏了80元 D．赚了160元解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80.答案：C2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________．解析：设矩形长为x m，则宽为12(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值．答案：9 m23．在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%，答案：a(1－b%)n7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示．(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元；(2)当x100时，y与x之间的函数关系式为__________；(3)月用电量为260度时，应交电费__________元．解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．答案：(1)60 (2)y＝12x＋10 (3)1408．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12 m3的部分 3元/m3超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3超过18 m3的部分 9元/m3若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为__________m3.解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则y＝3x，012，36＋x－126，1218，36＋36＋x－189，x＞18，即y＝3x，012，6x－36，1218，9x－90，x18.48＝6x－36，x＝14.答案：149．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围．解析：(1)y＝120m[1＋(2x)%](8%－x%)＝－0.024m(x2＋42x－400)(08)．(2)－0.024m(x2＋42x－400)120m8%78%，即x2＋42x－880，(x＋44)(x－2)0，解得－442.又∵08，02.10．有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5,2.5)，C 点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋2.5，①把(10,0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5，解得a＝－110，y＝－110(x－5)2＋2.5.当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x－5)2＋2.5，即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8.OC－x＝10－8＝2.故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部．。

2015届高考数学 2.9函数模型及其应用课时提升作业文新人教A版一、选择题1.(2013·佛山模拟）抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( )(A)15次 (B)14次 (C)9次 (D)8次2.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差( )(A)10元 (B)20元 (C)30元 (D)403元3.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n＞10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=0,n10,100,10n15,200,15n20,300,20n25,400,n25.≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎪⎩＜＜＜＞现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多( )(A)600元 (B)900元(C)1 600元 (D)1 700元4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x,y应为( )(A)x=15,y=12 (B)x=12,y=15(C)x=14,y=10 (D)x=10,y=145.（2013·广州模拟）某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10e kt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )(A)640 (B)1 280(C)2 560 (D)5 1206.（能力挑战题）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则一定正确的是( )(A)① (B)①②(C)①③ (D)①②③二、填空题7.(2013·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.8.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_______小时,才能开车(精确到1小时).9.（能力挑战题）在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离,可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗；平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内行驶的距离.从以上信息可以推断在10:00-11:00这一小时内________(填上所有正确判断的序号).①行驶了80千米;②行驶不足80千米;③平均油耗超过9.6升/100千米;④平均油耗恰为9.6升/100千米;⑤平均车速超过80千米/小时.三、解答题10.(2013·梅州模拟)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q（亿元），它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式11P2t,Q t,48==今该公司将5亿元投资于这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元).求:(1)y关于x的函数表达式.(2)总利润的最大值.11.（2013·中山模拟）国际上钻石的质量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值y（美元）与其质量x（克拉）的平方成正比，且一颗质量为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元.(1)写出y关于x的函数关系式.(2)若把一颗钻石切割成质量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率.（注：价值损失的百分率=-原有价值目前价值原有价值×100%；在切割过程中的质量损耗忽略不计）12.（能力挑战题）在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P（元）的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额. （2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫?答案解析1.【解析】选D.抽n次后容器剩下的空气为(40%)n.由题意知（40%）n＜0.1%,即0.4n＜0.001, ∴nlg0.4＜-3,∴33n7.54, 12lg 2120.301 0=≈--⨯＞∴n的最小值为8.2.【解析】选A.由题意可设s A(t)=kt+20,s B(t)=mt,又s A(100)=s B(100),∴100k+20=100m,∴k-m=-0.2,∴s A(150)-s B(150)=150k+20-150m=150×(-0.2)+20=-10,即两种方式电话费相差10元.3.【解析】选D.k(18)=200,∴f(18)=200×(18-10)=1 600(元).又∵k(21)=300,∴f(21)=300×(21-10)=3 300(元),∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元).故选D.4.【思路点拨】利用三角形相似列出x与y的关系式，用y表示x.从而矩形面积可表示为关于y的函数.【解析】选A.由三角形相似得24y x24820-=-，得x=54(24-y),由0＜x≤20得,8≤y＜24,∴S=xy=-54(y-12)2+180,∴当y=12时，S有最大值，此时x=15.5.【解析】选B.t=0时，y=10,故t=1时，y=20，即10·e k =20,得k=ln 2，故y=10·e tln 2，得y=10·2t ，当t=7时，y=10×27=1 280.6.【思路点拨】首先知道进水口与出水口每小时的进水量和出水量，再分析蓄水量的变化情况，根据蓄水量的变化进行判断.【解析】选A.由丙图知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确. 由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故一个进水一个出水，故②错误.由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故③错误.【误区警示】本题易误选C.出错的原因是忽视了蓄水量不变也可能是两个进水一个出水.7.【解析】由题意,在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001,则M=lg A-lg A 0=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lg x+3,5=lg y+3,解得x=106,y=102. 所以62x 10y 10==10 000. 答案：6 10 0008.【解析】设x 小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL,则有0.3·(34)x ≤0.09，即(34)x ≤0.3, 估算或取对数计算得至少5小时后，可以开车.答案：59.【解析】实际用油为7.38升.设L 为10:00前已用油量，ΔL 为这一个小时内的用油量，s 为10:00前已行驶距离，Δs 为这一个小时内已行驶的距离L 9.5,s L L 9.6.s s ⎧=⎪⎪⎨+∆⎪=⎪+∆⎩得L+ΔL=9.6s+9.6Δs,即9.5s+ΔL=9.6s+9.6Δs,ΔL=0.1s+9.6Δs,L 0.1s s s∆=∆∆+9.6＞9.6. 所以③正确，④错误.这一小时内行驶距离＜7.389.6×100=76.875，所以①错误,②正确.⑤由②知错误.答案：②③10.【解析】(1)根据题意,得18+ (5-x),x ∈［0,5］. （2） 令∈［］,则x=2t .2y=()2211517t t t 2,1648168-++=--+ 因为2∈［］，时，即x=2时，y 最大值=0.875.答:总利润的最大值是0.875亿元.11.【解析】（1）依题意设y=kx 2,当x=3时，y=54 000,∴k=6 000,故y=6 000x 2.(2)设这颗钻石的质量为a 克拉，由（1）可知， 按质量比为1∶3切割后的价值为6 000(14a)2+6 000(34a)2. 价值损失为6 000a 2-［6 000(14a)2+6 000(34a)2］. 价值损失的百分率为2222136000a 6 000(a) 6 000(a)446000a-+［］ =0.375=37.5%.∴价值损失的百分率为37.5%.12.【解析】设该店月利润余额为L,则由题设得L=Q(P-14)×100-3 600-2 000 ① 由销售图易得2P 50,14P 20,Q 3P 40,20P 26,2-+≤≤⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＜ 代入①式得L=()()()2P 50P 14100 5 600,14P 20,3(P 40)P 14100 5 600,20P 26,2-+-⨯-≤≤⎧⎪⎨-+-⨯-≤⎪⎩＜（1）当14≤P ≤20时,L max =450元,此时P=19.5元;当20＜P ≤26时，L max =1 2503元,此时P=613元. 故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元.(2)设可在n 年后脱贫,依题意有12n ×450-50 000-58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫.【变式备选】为了保护环境，发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为3221x 80x 5 040x,x 120,144),3y 1x 200x 80 000,x 144,500,2⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩［［］ 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当x ∈［200,300］时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润;如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?【解析】(1)该项目不会获利.当x ∈［200,300］时，设该项目获利为S,则S=200x-(12x 2-200x+80 000) =-12x 2+400x-80 000=-12(x-400)2, 所以当x ∈［200,300］时，S ＜0，因此该项目不会获利.当x=300时，S 取得最大值-5 000,所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为:21x 80x 5 040,x 120,144),y 3180 000x x 200,x 144,500.2x⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［［］①当x ∈［120,144)时,y 1x 3=x 2-80x+5 040=13(x-120)2+240, 所以当x=120时，y x取得最小值240. ②当x ∈［144,500］时，y 180 000x x 2x=+ -200≥200200,=当且仅当180 000x ,2x= 即x=400时,y x 取得最小值200. 因为200＜240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.。

【高一】高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案【导语】以下是逍遥右脑为大家推荐的有关高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案，如果觉得很不错，欢迎分享～感谢你的阅读与支持！1.为了满足市场需求，a公司在调整后对产品结构进行了重大调整，初始利润增长迅速，然后增长越来越慢。

如果你想建立一个适当的函数模型来反映公司调整后的利润y和产出X之间的关系，你可以选择（）a.一次函数b.二次函数c、指数函数D.对数函数解析：选d.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;二次函数在对称轴两侧增加和减少；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;因此，只有对数函数最符合问题的含义，先是快速增长，然后变得越来越慢2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y138…在下面的函数关系中，可以表达这种关系的是（）a.y=2x-1b.y=x2-1c、 y=2x-1d。

y=1.5x2-2.5x+2解析：选d.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选d.3.图中显示了一名自行车手和一名摩托车手在相距80公里的两个城镇之间行驶的功能图像。

从图中可以看出，骑自行车的人花了6个小时，一路上休息了1个小时，骑摩托车的人花了2个小时。

根据该功能图，导出了关于两个旅行者的以下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;② 骑自行车的人以可变速度移动，而骑摩托车的人以恒定速度移动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.正确信息的序列号为（）a.①②③b.①③C②③D①②解析：选a.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.4.当长度增加X，宽度减少x2时，长度为4，宽度为3的矩形的面积最大。

此时，x=______;，面积s=____解析：依题意得：s=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12=-12（x-1）2+1212，当x=1时，Smax=1212答案：11212。

2.6 函数模型及其应用一、选择题:1. 在某种金属材料的耐高温实验中，温度随时间变化的情况由微机记录后显示的图像如下图,现给出下面的说法： ①前5 分钟温度增加的速度越来越快；②前5 分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变.其中正确的说法是（ ）A.①与④B.②与④C.②与③D.①与③2. 世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个( )A. 新加坡（270万）B.香港（560万）C. 瑞士（700万）D. 上海（1200万）3. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）4. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.515.A. 2log v t =B. 21log v t =C.212t v -= D. 2(1)v t =- 6.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．15二、填空题:7. 某商场以每台2500元进了一批彩电，如果以每台2700元为定价，可卖出400台.以100元为一个价格等级，若每台提高一个价格等级.则会少卖50台.那么，每台彩电定价为 时，该商场可获得最大利润,其值是 .8. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(0.5[]1)f m m =⨯+给出, 其中0m >, []m 是大于m 的最小整数(如[3]3=, [3.7]4=, [3.1]4=) , 则从甲到乙地通话5.5分钟的话费为 .9. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a 是这样一个量，与其他近似值比较，a 与各个数据的差的平方和最小，依此规定，以a 1，a 2，…，a n 推出的a ＝____________．10. 有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．二、解答题:11. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，t min 后物体的温度θ℃可由公式θ＝0θ＋（1θ一0θ）e －kt 确定，k 是常数．现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min 后物体的温度是52℃．求常数k 的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是42℃？（精确到小数点后一位有效数字）12. 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？13. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（１）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（２）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P f x =()的表达式； （３）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）14. 21世纪游乐园要建造一个直径为20m 的圆形喷水池，如图所示.计划在喷水池的周边靠近水面位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱再离池中心4m 处达到最高，高度为6m.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷来的水柱在此汇合.这个装饰物的高度应当如何设计？15. （2001上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次．．．．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f （x ）.（1）试规定f （0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f （x ）=211x+，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也 可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由．拓展创新——练能力16. (2004年高考南宁模拟试题)拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(0.5[]1)f m m =⨯+给出, 其中0m >, []m 是大于m 的最小整数(如[3]3=, [3.7]4=, [3.1]4=) , 则从甲到乙地通话5.5分钟的话费为 ( )A. 3.71B. 3.97C. 4.24D. 4.7717. 某工程的工序流程图如图所示（工时单位：天），则工程总时数为_____天.18. 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将一个病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞数量在小白鼠体内超106个时小白鼠将死亡,但注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的98%.(已知lg2=0.3010)(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命(精确到天)参考答案:1. B2. D3. B 解析：如图所示，取水深h =2H 时， 注水量V ＝V ′＞20V ，即水深至一半时，实际注水量大于水 瓶总水量之半.A 中V ′＜20V ，C 、D 中V ′＝20V ，故排除A 、C 、D 4. B 5. C 6. C 解析:由(80%)5%x <可得, 80%lg 21log 5%13.413lg 2x +>=≈-, 即需14年,故应选C ; 7. 3000, 125000 8. 4.24元9. a ＝na a a n ＋＋＋ 21解析：设a 与各数据的差的平方和为y ，则y ＝（a －a 1）2＋（a －a 2）2＋…＋（a －a n ）2＝na 2－2a （a 1＋a 2＋…＋a n ）＋（a 12＋a n 2＋…＋a n 2），因此a ＝na a a n ＋＋＋ 21时，y 取得最小值． 10. 2500m 2 解析:设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2 .11. 解析：由题意知52＝15＋（62－15）e －k ，e －k ＝4737＝0.7872． 两边取对数，得－k l ge ＝l g 0.7872，∴k ＝elg 1039.0＝2.303×0.1039＝0.2393． 又θ－0θ＝（1θ一0θ）e－kt ，则l g （θ一0θ）＝l g （1θ—0θ）－kt l ge ， 则t ＝ek lg )lg()lg(001θθθθ－－－＝1039.0)lg()lg(001θθθθ－－－． 将1θ＝62，0θ＝15代入上式得t ＝1039.0)15lg(6721.1－－θ， 若θ＝42℃，则t ≈2.3min ．12. 解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x 份（250≤x ≤400）．则每月获利润y ＝［（6x ＋750）＋（0.8x －200）］－6x ＝0.8x ＋550（250≤x ≤400）． y 在x ∈［250，400］上是一次函数．∴x ＝400元时，y 取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．13. 解析:（１）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则可列出代数式： x 010********550=+-=.． 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．（２）依据题意，并结合题（１），我们需要分三种情况来列出函数P f x =()的表达式． 当0100<≤x 时，P =60；当100550<<x 时，P x x =--=-600021006250.()； 当x ≥550时，P =51． 所以P f x x x x x N x ==<≤-<<∈≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()600100625010055051550 （３）先列出利润关于销售商的一次订购量的函数关系式．设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=-=55011)(5501005022100020402x xN x x x x x x x P L 当x =500时，L =6000；当x =1000时，L =11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．14. 解析:建立直角坐标系如图设水柱上任意一个点距中心的水平距离x （m ），该点的高度为y （m ）则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤-++=)100(6)4()010(6)4(2221x x a x x a y （其中a 1，a 2为常数） 由61,0,10;610,1021-===-==-=a y x a y x 得由得∴所求解析式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++-<≤-++-=)100(6)4(61)010(6)4(6122x x x x y 当x =0时，310=y ，所以装饰物的高度为m 310 15. 解析：（1）f （0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．（2）函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质是：f （0）=1，f （1）=21， 在［0，＋∞）上f （x ）单调递减，且0＜f （x ）≤1．（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f 1＝211a +，清洗两次后，残留的农药量为 f 2＝2222)4(16)2(11a a +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+， 则f 1－f 2＝22222222)4)(1()8()4(1611a a a a a a ++-=+-+． 于是，当a ＞22时，f 1＞f 2；当a =22时，f 1＝f 2；当0＜a ＜22时，f 1＜f 2． 因此，当a ＞22时，清洗两次后残留的农药量较少； 当a =22时，两种清洗方法具有相同的效果；当0＜a ＜22时，一次清洗残留的农药量较少． 16.解析:∵[5.5]=6 , ∴() 1.06(0.5[5.5]1) 1.06(0.561) 4.24f m =⨯+=⨯+= ．故甲到乙地通话5.5分钟的话费为4.24元, 选C .17. 8解析：我们用逐一验证法.（1）1→2→5→7→8；10天;（2）1→3→4→6→7→8；10天;（3）1→3→4→5→6→7→8；9天; ( 4）1→3→4→5→7→8；8天 ;（5）1→2→5→6→7→8；11天 .18. 解析：（1）设第一次最迟应在第n 天时注射药物，依题意，得2 n-1 ≤106.两边取以2为底的对数，得n-1≤log 2106=6lg2 . ∴n ≤6lg2+1≈20.9 , 则第一次最迟应在第20天时注射药物. （2）第一次注射药物后，小白鼠体内病毒细胞数为219·（1-98%）=219·2% = 220100又设再过t 天必须注射药物，此时有220100·2t-1≤106,解得t ≤7.57 则第二次最迟应在第27天时注射药物.。

高中数学同步题库含详解11函数模型及其应用一、选择题（共40小题；共200分）1. 从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系用图象表示为 A. B.C. D.2. 某新品牌电视投放市场后第1个月销售了100台，第2个月销售了200台，第3个月销售了400台，第4个月销售了790台，则下列函数模型中能较好反映销售y与投放市场的月数x之间的关系的是 A. y=100xB. y=50x2−50x+100C. y=50×2xD. y=100log2x+1003. 某商品降价10%后，欲恢复原价，需再提价m%，则m等于 A. 10B. 9C. 11D. 11194. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为 A. 13立方米B. 14立方米C. 18立方米D. 26立方米5. 北京园博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~ 14时，14时 ~ 15时⋅⋅⋅⋅⋅⋅20时~ 21时八个时段中，入园人数最多的时段是 A. 13时~ 14时B. 16时~ 17时C. 18时~ 19时D. 20时~ 21时6. 原市话费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计费，与调整前相比，这次提价的百分比 A. 不会提高70%B. 会高于70%而不会高于90%C. 不会低于10%D. 高于30%而低于100%7. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 A. B.C. D.8. 某地区的森林面积每年比上一年平均增加10.4%，那么经过x年该地区森林面积可增长到原来的y倍，则函数y=f x的图象大致为下图中的 A. B.C. D.9. 某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=3000+20x−0.1x2（0<x<240,x∈N∗），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是 A. 100台B. 120台C. 150台D. 180台10. 某商品曾降价10%，欲恢复原价，则就得提价 %A. 10%B. 9%C. 11%D. 111911. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为 A. 每个110元B. 每个105元C. 每个100元D. 每个95元12. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不给予优惠；（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买同样的商品，则应付款是 A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元以下，则光线通13. 光线通过一块某种玻璃，其强度要损失10%，要使光线的强度减弱到原来的13过这种玻璃的块数至少为（参考数据：lg3≈0.477） A. 8B. 9C. 10D. 1114. 某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 A. 多赚约6元B. 少赚约6元C. 多赚约2元D. 盈利相同15. 已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法中正确的是 ①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3小包比卖1大包盈利多④卖1大包比卖3小包盈利多A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④16. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系y=e kx+b（e=2,718⋯为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22∘C的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C的保鲜时间是 A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时17. 某地实行阶梯电价，以日历年（每年1月1日至12月31日）为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有 参考数据：0.4883元/度×2880度=1406.30元，0.5383元/度×4800−2880度+1406.30元=2439.84元 .A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③18. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率"．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟19. 某厂2004年12份产值计划为当年1月份产值的n倍，则该厂2004年度产值的月平均增长率为 A. n11B. n11−1 C. n12−1 D. n1120. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加面积分别为 0.2 万公顷、 0.4万公顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加面积数 y 万公顷关于年数 x 的函数关系式较为近似的是 A. y =0.2x B. y =110 x 2+2x C. y =2x10 D. y =0.2+log 16x21. 某商场对顾客实行购物优惠活动，一次购物付款总额：（1）如果不超过 200 元，则不给予优惠；（2）如果超过 200 元，但不超过 500 元，则按标价给予 9 折（即 90%）优惠；（3）如果超过 500 元，其 500 元内的按第（2）条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优惠．某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假设他一次性购买上述两种同样的商品，则应付款是 A. 413.7 元B. 513.7 元C. 546.6 元D. 548.7 元22. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L 1=5.06x −0.15x 2 和L 2=2x ，其中 x 为销售量（单位：辆 ）．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得最大利润为 ． A. 45.606 万元B. 45.6 万元C. 45.56 万元D. 45.51 万元23. 某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 （下列数据仅供参考： 2=1.41， 3=1.73， 33=1.44， 66=1.38 ） A. 38% B. 41%C. 44%D. 73%24. 已知在 x 克 a % 的盐水中，加入 y 克 b % 的盐水，浓度变为 c %，将 y 表示成 x 的函数关系式为A. y =c−a c−bx B. y =c−a b−cx C. y =c−b c−ax D. y =b−c c−ax25. 在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法： ① 前 5 分钟温度增加的速度越来越快； ② 前 5 分钟温度增加的速度越来越慢； ③5 分钟以后温度保持匀速增加； ④5 分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是 A. ①④B. ②④C. ②③D. ①③26. 把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 cm2 B. 4cm2 C. 32cm2 D. 23cm2A. 33227. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是 A. 310元B. 300元C. 290元D. 280元28. 细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：x h0123细菌数30060012002400据此表可推测实验开始前2h的细菌数为 A. 75B. 100C. 150D. 20029. 某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是 x2+2xA. y=0.2xB. y=110D. y=0.2+log16xC. y=2x1030. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是A. 0B. 1C. 2D. 331. 一个高为H，满缸水量为V1的鱼缸的轴截面如图所示，鱼缸底部碰开一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为 时水的体积为V，则函数V=f 的大致图象可能是 A. B.C. D.32. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为 A. x=15,y=12B. x=12,y=15C. x=14,y=10D. x=10,y=1433. 某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价 A. 10%B. 12%C. 15%D. 50%34. 某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 A. ap1+p8−1 B. a1+p8C. ap 1+p7−1+p D. ap1+p8−1+p35. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量升加油时的累计里程千米2015 年 5 月 1 日12350002015 年 5 月 15 日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升36. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x的最大整数）可以表示为 A. y=x10B. y=x+310C. y=x+410D. y=x+51037. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油38. 某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是 A. 第一年到第三年B. 第二年到第四年C. 第三年到第五年D. 第四年到第六年39. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油40. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是 A. B.C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ；（6） ．42. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 单位:min 为 f x =x x <AAx ≥A，A ,c 为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30min ，组装第 A 件产品用时 15min ，那么 c 和 A 的值分别是 .43. 某油罐中存油 1600 L ，现从中匀速抽出油，20min 抽尽，则油罐中剩余量 y L 与抽出时间x min 之间的函数关系式为 .44. 2015年 12月 7 日，北京首次启动空气重污染红色预警．其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行（即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶），其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车辆总数的 30%．现某单位的公务车，职工的私家车数量如下表：公务车私家车单号 辆 10135双号 辆 20120根据应急措施，12月 8 日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有 辆． 45. 在一块平地上用一根长为 12 m 的绳子圈出一块矩形的区域，则能圈出的区域的最大面积是 m 2．46. 如图，有一边长为 a 的正方形的铁皮，将其四个角各裁去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，设盒子的体积为 V ，则 V 关于 x 的函数的解析式为 .47. 某商家将彩电先按原价提高 40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了 270 元，那么每台彩电原价是 元．48. 如图所示，要在一个边长为 150 m 的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到 70%，则道路的宽为 m （精确到 0.01 m ）．49. 一个弹簧不挂物体时长12 c m，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 k g物体后弹簧总长是13.5c m，则弹簧总长y c m与所挂物体质量x k g之间的函数关系式为．50. 国家规定个人稿费的纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的，超过800元的部分按14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为元．x2元，而卖出x吨的价格为每51. 某种商品，生产x吨需投入固定成本1000元，可变成本5x+110吨p元，其中p=a+x（a，b为常数），如果生产的x吨产品全部卖掉可获利y元，则利润yb与产销量x的函数关系式为．52. 某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上" 大酬宾，八折优惠" ，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是元．53. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份递增x%，八月份的销售额比七月份递增x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少达7000万元，则x的最小值为．54. 甲地与乙地相距250 km，某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事，在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有 km．55. 图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t min之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2min，需付电话费元；通话5min，需付电话费元；如果t≥3min，电话费y（元）与通话时间t min之间的函数关系式是．56. 某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份的产量为b，则a与b的大小关系是．57. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销58. 一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑到上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，有以下四个说法：①在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km；③大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；④在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．其中，所有正确说法的序号是．59. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：∘C）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0∘C 的蒸发速度是0.1升/小时，在30∘C的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20∘C的蒸发速度为升/小时．60. 用一根长12 m的铝合金条做一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为．61. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系y=e kx+b（e=2,718⋯为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22∘C的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C的保鲜时间是小时．62. 已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60 千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 千米/小时的速度返回A地，则把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数表达式是．63. 制造印花机的成本y元与印花机的生产能力x米/分钟之间有函数关系y=a⋅x 23．已知印花机的生产能力达到每分钟印花布1000米时，需投入成本50000元，问要使生产能力达到每分钟印花布1331米时，需投入成本是元．64. 将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，则正方形的周长应为．65. 某市计划十年后国民生产总值翻两番，则十年中每年产值的平均增长率至少应为．lg2≈0.3010,lg11.49≈1.060266. 某汽车在同一时间内速度v km/h与耗油量Q L之间有近似的函数关系：Q=0.0025v2−0.175v+4.27，则车速为km/h时，汽车的耗油量最少．67. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算．某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为；若y=30元，则此人购物总金额为元．可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%68. 某地2000年底人口为500万，人均住房面积为8 m2．若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2011年底该地区人均住房面积不少于12 m2．若平均每年新增住房面积为x m2，则可列出的不等式关系为 ．69. 假如某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a D=a−A，则广告费A=时，广告效应D为最大．70. 某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件元．71. 一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为万元．72. 一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过分钟，该病毒占据64 MB内存 1 MB= 210 KB．73. 某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y km与刹车时的速度x km/h的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为km/h．74. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1∘C，空气的温度是θ0∘C，t min后物体的温度θ∘C可由公式θ=θ0+θ1−θ0e−0.24t求得．把温度是100∘C的物体，放在10∘C的空气中冷却t min后，物体的温度是40∘C，那么t的值约等于．（保留三位有效数字，参考数据：ln3取1.099，ln2取0.693）75. 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y=e k t其中（k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k=，经过5小时，1个病毒能繁殖为个．76. 某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供人洗澡．77. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：①每次收入不超过4000元的：应纳税额=每次收入额−800×20%×1−30%；②每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×1−20%×20%×1−30%．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为元．78. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其他影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第号区域的总产量最大，该区域种植密度为株/m2．79. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,⋯,a n共n个数据．我们规定所测量的物理量的"最佳近似值" a是这样的一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1，a2，⋯，a n推出的a=．80. 商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款元．三、解答题（共20小题；共260分）81. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x0<x<1，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价−投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?82. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f x．（1）试规定f0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f x应该满足的条件和具有的性质；（3）设f x=1，现有a a>0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后1+x2清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由．83. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f x的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元?（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价−成本）84. 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长．85. 某水库水位已超过警戒水位（设超过的水量为P），由于上游仍在降暴雨，每小时将流入水库相同的水量Q，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄洪闸（每孔泄洪闸泄洪量都相同）．要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需40小时；打开4孔泄洪闸，需16小时．现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下，问：至少需打开几孔泄洪闸?86. 在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（七天）涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．（1）试建立价格P与周次t的函数关系．（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=−0.125t−82+12,t∈0,16,t∈N．试问：该服装第几周每件销售利润L最大?87. 某地区上年度电价为0.8 元 /kw⋅h，年用电量为a kw⋅h．本年度计划将电价降到0.55 元 /kw⋅h至0.75 元 /kw⋅h之间，而用户期望电价为0.4 元 /kw⋅h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本价为0.3 元 / kw⋅h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% ?注：（收益=实际用电量×（实际电价−成本价））．88. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f x的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?。

2019—2019学年高一必修一数学函数模型及其应用同步练习题函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。

精品小编准备了高一必修一数学函数模型及其应用同步练习题，具体请看以下内容。

1.某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图象;再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.2.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为k(k?0).3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少不要求计算)4.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系v?2019ln(1?1，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(要求列式，3M当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最m大速度可达12km/s?(要求列式，不要求计算)5.为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的便民卡和如意卡在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式;(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.6.依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税;超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x,x?全月总收入-1000元，税率见下表：(1)若应纳税额为f(x)，试用分段函数表示13级纳税额f(x)的计算公式.(2)某人2019年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元?高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高一必修一数学函数模型及其应用同步练习题，希望大家喜欢。

函数模型及其应用A组专项基础训练(时间：20分钟)1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A.一次函数模型B2．(2017·山西忻州一中等第一次联考)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )A．0 B．2 C．3 D．43．(2017·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )4．(2017·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A．15 B．16 C．17 D．185．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )A．2 B．6 C．8 D．106．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.7．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝⎛⎭⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．9函数模型及其应用 B 组 专项能力提升(时间：10分钟)9．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B ．20C ．21D ．2210．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝1411．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．12．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？9函数模型及其应用A组专项基础训练(时间：20分钟)1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A.一次函数模型B【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．【答案】A2．(2017·山西忻州一中等第一次联考)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )A．0 B．2 C．3 D．4【解析】y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，∴函数f(x)是偶函数，对于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，则f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝2＋0＝2，故选B.【答案】B3．(2017·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )【解析】前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.【答案】A4．(2017·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A．15 B．16 C．17 D．18【解析】由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N *，（100－x ）（1＋1.2x %）t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16. 【答案】 B5．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10【解析】 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x100，令104·(100－10x )·70·x100≥112×104，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2.【答案】 A6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.【解析】 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.【答案】 207．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.【答案】 168．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝⎛⎭⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．【解析】 由题意得L ＝512－⎝⎛⎭⎫x 2＋8x ＝432－12⎝⎛⎭⎫x －4x 2(x ＞0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大． 【答案】 49函数模型及其应用 B 组 专项能力提升(时间：10分钟)9．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B ．20C ．21D ．22 【解析】 操作次数为n 时的浓度为⎝⎛⎭⎫910n ＋1，由⎝⎛⎭⎫910n ＋1＜10%，得n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.【答案】 C10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 【解析】 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 【答案】 A11．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．【解析】 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.【答案】 2ln 2 1 02412．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)． 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.即每年砍伐面积的百分比为1－⎝⎛⎭⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ， 即⎝⎛⎭⎫12m10＝⎝⎛⎭⎫1212，所以m 10＝12， 解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 所以⎝⎛⎭⎫12n10≥⎝⎛⎭⎫1232， 即n 10≤32， 解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．。

高中数学3.2函数模型及其应用专项测试同步训练2020.031,设函数，，是函数的单调递增区间,将的图象按平移得到一个新的函数的图象，则的单调递增区间必定是( )A. B. C. D.2,设，若，求证：（Ⅰ）且；（Ⅱ）方程在（0，1）内有两个实根。

3, 已知函数的图象如图，则以下四个函数，，与的图象分别和下面四个图的正确对应关系是（）A.①②④③B.①②③④C. ④③②①D.④③①②4, 如果函数的图像与函数的图像关于原点对称，则y=的表达式为（）A．B． C．D．5,已知函数在上的最大值为，则的值是A、 B、 C、 D、6,已知定义在R上的奇函数满足，则的值为____。

7, 0＜a≤是函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8, 函数的最小值为( )A. 45B. 90C. 171D.1909,设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(a≠0),已知f(1)=b.（1）求证：存在x1,x2∈R，且x1≠x2,使f(x1)=f(x2)=0;（2）对(1)中的x1, x2 ,若(a－b)(a－c)>0，求|x1－x2|的取值范围.10,若则当x>1时，a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.11,已知f(x)是对数函数，f()+f()=1,求f()的值。

12,设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，．（1）求证：，且当时，有；（2）判断在R上的单调性；（3）（理科生做）设集合，集合，若，求的取值范围．13,下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D.14,函数的定义域为，且对其内任意实数均有，则在上是（）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数15,三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．答案1, D2, 证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。

高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题（含答案）1.某种动物繁殖的数量y (只)与时间x (年)的关系为log2(1)y a x =+.设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只B.400只C.500只D.600只2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(1)x x >的函数关系是21()f x x =，2()2f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.21()f x x =B.2()2f x x =C.32()log f x x =D.4()2x f x =3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =.若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记21I n I =，则n 约等于( ) A.16B.20C.32D.904.溶液的酸碱度是通过pH 来刻画的，已知某溶液的pH 等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，且该溶液中氢离子的浓度为610mol /L -，则该溶液的pH 为( ) A.4B.5C.6D.75.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价/元 6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃，经过一段时间t min 后的温度是T ℃，则()012t ha a T T T T ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，其中a T （单位：℃）表示环境温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20 min ，那么降温到32℃时，需要的时间为( ) A.24 minB.25 minC.30 minD.40 min7.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量（升）加油时的累计里程（千米）2020年10月1日 12 32000 2020年10月6日4832600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升8.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若开始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）( ) A.8B.9C.10D.119.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,,6)i y i =进行整理，所得数据如下表所示：x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 y1.652.202.602.762.903.10A.0.5(1)y x =+B.3log 1.5y x =+C.21x y =-D.y x =10.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(t 53)()1eI K t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )（ln19 2.9≈） A.60B.63C.66D.6911.某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x 1.99 3 4 5.1 8 y0.991.582.012.353.00①0.580.16y x =-； ②2 3.02x y =-； ③2 5.58y x x =-+；④2log y x =.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________. 12.某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)13.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年.(参考数据：lg1.080.033≈，lg5.30.724≈，lg70.845≈)14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，t min 后物体的温度()θ℃可由公式()0.24010e t θθθθ-=+-求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min 后，物体的温度是40℃，那么t 的值约等于_______________.(保留三位有效数字，参考数据：ln3 1.099≈，ln20.693≈)15.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的关系为0()e kt p t p -=（式中的e 为自然对数的底数，0p 为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了15.（1）求函数关系式()p t ；（2）要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少需过滤几个小时？（参考数据：lg20.3≈）参考答案1.答案：A解析：由已知第1年有100只，得100a =.将100a =，7x =代入log2(1)y a x =+，得300y =.2.答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 3.答案：C解析：0.6lg r I =，5310r I ∴=.当 6.5r =时，656110I =，当7.4r =时，373210I =，3765323621101010101032I n I ∴==÷==.4.答案：C解析：由题意可得，该溶液的pH 为6lg106--=.故选C. 5.答案：D解析：通过题中表格可知销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为(6)x +元(0)x ≥，日利润为y 元，则2(65)(48040)20040440480(0)y x x x x x =+---=-++≥， 400-<，∴当4405.5240x ==⨯时y 有最大值， ∴每桶水的价格为11.5元时，日利润最大，故选D.6.答案：C解析：由题意，得2014024(8824)2h⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即201142h⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得10h =，所以10124(8824)2tT ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即10124642t T ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，将32T =代入上式，得1013224642t ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即101182t⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得30t =，所以需要30 min ，可降温到32℃，故选C.7.答案：B解析：由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米， 则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为4886=升.故选B. 8.答案：D解析：设至少应过滤n 次，则23110041000n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，因此，31420n⎛⎫ ⎪⎝⎭≤， 则1lglg 201lg 22010.4163lg3lg 42lg 2lg3lg 4n -+≥==≈--，又*n ∈N ，所以11n ≥，即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D. 9.答案：B解析：由题表知，当自变量每增加1个单位时，函数值依次增加055，0.40，0.16，0.14，0.20，因此A ，C 不符合题意；当x 取1，4时，2y x =的值分别为2，4，与题表中的数据相差较大，故选B. 10.答案：C 解析：()()**0.23530.951et K I t K --==+，整理可得()*0.2353e19t -=，两边取自然对数得*0.23()ln192593.t =≈-，解得*66t ≈，故选C. 11.答案：④解析：根据表格画出图象，由图分析增长速度的变化，可知试验数据符合对数函数模型，故选④.12.答案：5%解析：设商品的原价为x 元，成本为y 元，则0.7(10.47)x y =+， 2.1x y ∴=.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.50.5 2.1 1.05x y y =⨯=，利润率为1.0510.055%yy-==. 13.答案：2022解析：设n 年开始超过7000万元，则20185300(18%)7000n -⨯+>，化为(2018)lg1.08lg7lg5.3n ->-，即lg7lg5.30.8450.7242018 3.7lg1.080.033n --->≈≈.则2022n =，因此开始超过7000万元的年份是2022年. 14.答案： 4.58解析：由题意可得0.244010(10010)e t -=+-⋅，化简可得0.241e 3t -=，10.24ln ln33t ∴-==-，0.24ln3 1.099t ∴=≈， 4.58t ∴≈.15.解析：（1）根据题意，得004e 5k p p -=， 4e5k-∴=，04()5tp t p ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭. （2）由0041()51000tp t p p ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，得34105t-⎛⎫⎪≤⎝⎭，两边取对数并整理得(13lg2)3t -≥，30t ∴≥.因此，至少需过滤30个小时.。