陕西省西安2020届高三第一次模拟考试 数学(理)(含答案)

陕西省2020版数学高考理数一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题. (共10题；共20分)1. （2分）已知函数的定义域为M，g(x)=2+ln(1+x)的定义域为N，则（）A . {x|x>1}B . {x|-1<x<1}C . {x|x<1}D .2. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) （1+i）（2+i）=（）A . 1﹣iB . 1+3iC . 3+iD . 3+3i3. （2分）下列结论成立的是（）A .B .C .D . 不能确定A4. （2分） (2020高一下·宜宾期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . -45. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位6. （2分） (2018高三上·吉林期中) 已知向量，，若，则实数的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·怀化模拟) 某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的外接球的表面积为（）A . 32+8B . 36πC . 18πD . π8. （2分） (2016高三上·兰州期中) 由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A .B .C .D . 39. （2分）已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A . y2=8xB .C .D . y2=16x10. （2分） (2017高二下·长春期中) 若函数f（x）=x3﹣3x﹣a有3个不同零点，则实数a的取值范围是（）A . （﹣2，2）B . [﹣2，2]C . （﹣∞，﹣1）D . （1，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·西宁模拟) 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X ＜3）=________．12. （1分） (2016高二下·黔南期末) 在（+2x ）7的展开式中，x5的系数为________．13. （1分） (2016高一下·太康开学考) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x=________．14. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．15. （1分） (2015高三上·房山期末) 如图，定义在[﹣1，1]上的函数f（x）的图象为折线AOB．若方程f （x）﹣mx﹣m=0有两个不等的实根，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分）已知向量 =（1，﹣ sin ）， =（sinx，2sin ）．函数f（x）= • + ，（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在区间[0， ]的最小值．17. （10分） (2019高三上·江西月考) 如图1，梯形中，，过分别作，，垂足分别为、 . ，，已知，将梯形沿，同侧折起，得空间几何体，如图2.（1）若，证明：平面；（2）在（1）的条件下，若，求二面角的余弦值.18. （10分） (2019高一下·扶余期末) 已知数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.19. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者。

2020届陕西省重点中学高三第一次调研考试理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知集合(){}22,|490,6A x y x x y y =+-+=-()()(){}22,|129y B x y x +-=+=，则B A 中的元素的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2、已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题：①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ.其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C.①④ D ．②④3、经过点(3,0)M 作圆222430x y x y +---=的切线l ，则l 的方程为（ ）A ．30x y +-=B ．30x y +-=或3x =C ．30x y --=D ．30x y --=或3x =4、勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )ABCD5、已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若2()()9g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=（ ）A ．572 B ． 14425 C ．125D ．25127、若4cos 5α=-, α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12- B ．12C ．2D ．-28、已知函数()cos(2)3f x x π=-在,2a π⎢⎥⎢⎥⎣⎦上有最小值-1，则a 的最大值（ ）A ．2π-B ．3π-C ．4p -D ．6π-9、已知点（x ，y ）满足不等式组，则z=x-2y 的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．210、已知椭圆的左，右焦点分别F 1，F 2过F 1的直线交椭圆于,两点，若22BF AF +的最大值为5，则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．11、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别为棱AB,BB 1上的点，若AA 1=4，AB=8，BE=2BF=2，则异面直线EF 与CD 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、函数()f x 满足1()(),[,)2x e f x f x x x =+∈+∞，(1)f e =- ，若存在[2,1]a ∈-，使得31(2)32f a a e m-≤---成立，则的取值（ ） A 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知函数22,0,(),0,xx x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]fx a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．14、已知抛物线22:4C x y =的焦点为F,E 为y 轴正半轴上的一点．且3OE OF =（O 为坐标原点），若抛物线C 上存在一点00(,)M x y ，其中00x ≠，使过点M 的切线l ME ⊥，则切线l 在y 轴上的截距为_______．15、设n N *∈，a n 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，32,4c t t R =-∈，12...555n n n a na a b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为_____16、四棱锥P A B-中，PA ⊥平面ABCF ，90BAD ∠=，11,2PA AB BC AD BC AD ==== ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点，且二面角Q PD A --的平面角大小为4π，若动点Q 的轨迹将ABCD 分成面积为S 1 ,S 2(S 1<S 2)的两部分，则S 1:S 2=________.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17(12分)、在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cosA ＝4，asinC ＝5.（1）求边长c ；（2）著△ABC 的面积S ＝20.求△ABC 的周长． 18（12分）、已知数列{}n a 满足，其前项和为，当时，，，成等差数列.（1）求证{}n a 为等差数列； （2）若，，求.19（10分）、每年的金秋十月，越野e 族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数（万人）与沙漠中所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．（2）已知租用的环保车平均每辆的费用（元）与数量（辆）的关系为.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？（注：利润主办方支付费用租用车辆的费用）．参考公式：20（12分）、已知函数ln ()()x af x a R x +=∈，2()2xg x e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x ≤在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围．21（12分）、已知P （0，2）是椭圆的一个顶点，C 的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 的两条直线l1，l2分别与C 相交于不同于点P 的A ，B 两点，若l1与l2的斜率之和为-4，则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22（12分）.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程； （2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.23（12分）.选修4-5：不等式选讲已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.理科数学 参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】C【解析】集合A 和集合B 表示两个圆上的点，根据圆心距与半径之间的比较，可确定两圆位置关系，根据位置关系可知公共点个数，从而得到结果.【详解】(){}()()(){}2222,|6490,|324A x y x x y y x y x y =-+-+==-+-=()()(){}22,|129y B x y x +-=+=可知圆心距：4d ==得：121215r r d r r =-<<+= ∴两圆的位置关系为相交A B ∴中有2个元素本题正确选项：C 2.【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．【详解】 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ；故②为真命题；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选：B ． 3.【答案】C【解析】设直线l 存在斜率k ，点斜式设出方程，利用圆心到直线l 的距离等于半径求出斜率k ，再讨论直线l 不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能,写出直线方程，综上所述，求出切线方程.【详解】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心坐标坐标为(1,2)，半径为12x x ，当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)3y k x k x y k =-⇒--=，圆心到它的距离为12x x ，所以有1k =⇒=，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠，所以3x =不是圆的切线；因此切线方程为30x y --=,故本题选C 。

2020届高三年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}2B x x =>，则A B =（ ）．A. ()4,4-B.1,2C.()2,4D. (2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由集合A 的描述得到{}14A x x =-<<，利用交集运算即可得集合AB【详解】由()(){}140A x x x =+-<知：{}14A x x =-<<，而{}2B x x => ∴{|24}AB x x故选：C【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述得到集合，利用集合的交集运算求交集，属于简单题2. 已知数列{}n a 满足120n n a a ++=且22a =，则{}n a 的前10项的和等于（ ）．A. 10123-B. 10123--C. 1021-D. 1012-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到数列{}n a 表示首项为1-，公比为2-的等比数列，结合求和公式，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 满足120n n a a ++=，即12n na a +=-， 又由22a =，即1220a +=，解得11a =-，所以数列{}n a 表示首项为1-，公比为2-的等比数列，所以1010101[1(2)]121(2)3S -⨯---==---，即{}n a 的前10项的和为10123--. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及等比数列的前n 项和的应用，其中解答中熟记等比数列的求和公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.3. 已知i 为虚数单位，a R ∈，若复数(1)z a a i =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z ＝（ ） A. 12i -+ B. 12i -- C. 2i - D. 23i -+【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，据此可知12i z =-+或2i z =-，结合共轭复数的特征确定z 的值即可.【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， 所以12z i =-+或2z i =-，因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以12z i =-+． 故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 已知,m n直线，,αβ为平面，给出下列命题：①{//m n m nαα⊥⇒⊥ ②{//m m n n ββ⊥⇒⊥ ③{//m m ααββ⊥⇒⊥ ④{////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ 其中的正确命题序号是 A. ③④ B. ②③C. ①②D.①②③④【解析】试题分析：①中,n α可能平行或直线在平面内；②由线面垂直的判定定理可知结论正确；③由面面平行的性质可知结论正确；④两直线,m n 平行或异面 考点：空间线面平行垂直的判定与性质5. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()cos xf x ex =⋅B. ()ln cos f x x x =⋅C. ()cos x f x e x =+D. ()ln cos f x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A,B 两个选项，π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，()1cos11f e =+>，不符合图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6. 设12,e e 是平面内两个不共线的向量，1212(1),2=-+=-AB a e e AC be e （a ＞0，b ＞0），若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】根据,,A B C 三点共线，求得a 与b 关系，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，设AB AC λ=， 即()1212(1)2a e e be e λ-+=-, 因为12,e e 是平面内两个不共线向量， 所以112a bλλ-=⎧⎨=-⎩，解得11,122a b λ=--=-， 即112a b +=， 则1212121122b a a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,2224≥+=+=， 当且仅当22b a a b=，即2b a =，即11,24a b ==时取等号，故最小值为4， 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.7. 已知p ：1a =±，q ：函数()(ln f x x =为奇函数，则p 是q 成立的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件【详解】当1a =±时，()ln(ln(f x x x =+=，即有222()ln(1)ln()ln(1)1f x x x x x x x-=+-==-++++，故有()()f x f x -=-即()f x 为奇函数：p q ⇒ 当()()22ln f x x a x=++为奇函数时，有()()f x f x -=-，即2222ln()ln()a x x a x x +-=-++(0)a ≠，2222222a x xa x x a a x x+-+-==++有1a =±：q p ⇒ ∴综上，知：p q ⇔ 故选：C【点睛】本题考查了充要条件，由定义法判断两个结论间是否为充要条件，属于简单题 8. 已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于,A B 两点，与抛物线的准线交于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于 ( ) A.2B. 2C.5 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由四边形ABCD 是矩形可得点,A D 的纵坐标相等．根据题意求出点,A D 的纵坐标后得到关于r 方程，解方程可得所求．【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-．画出图形如图所示．在222(0)x y r r +=>中，当12x =-时，则有2214y r =-．①由22y x =得22y x =，代入222x y r +=消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点,A D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等，由①②两式消去2y 得2222114(()0)444r r r -+--=，整理得42815016r r --=， 解得254r =或234r =-（舍去），∴2r =． 故选C ．【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到AD 与x 轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．9. 已知sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+4π）＝（ ）A.10B. ﹣10D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可得sin cos αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，结合(0,)απ∈，可得cos sin 0αα-<，根据两角和的余弦公式可得cos()sin )4πααα+=-=.【详解】因为sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，所以sin cos αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，因为(0,)απ∈，且sin cos 0αα⋅<，所以sin 0α>且cos 0α<， 所以cos sin 0αα-<，所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-sin )2αα=-===2510=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.10. 对于函数f （x ）＝cos 2x sin x cos x ，x ∈R ，下列命题错误的是（ ） A. 函数f （x ）的最大值是32B. 不存在054,63ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭x 使得f （x 0）＝0 C. 函数f （x ）在[6π，2π]上单调递减 D. 函数f （x ）的图象关于点（512π，0）对称 【答案】D 【解析】 【分析】应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质判断各选项．【详解】由已知1cos 21()2sin 2262x f x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， ()f x 的最大值是32，A 正确． 054,63ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，11172,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin 262x π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，()0f x =无解，B 正确；[,]62x ππ∈时，72626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，()f x 递减，C 正确；5111sin 012222f ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()f x 图象关于点51122π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，D 错．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题可利用三角函数恒等变换把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解．11. 已知2F ，1F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>的上、下两个焦点，过1F 的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =B. 2y x =±C. y =D.y x = 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，由2ABF ∆是等边三角形得12120F AF ∠=︒，利用余弦定理算出227c a =，结合双曲线渐近线方程即可的结论．【详解】根据双曲线的定义，可得12||||2BF BF a -=，2ABF ∆是等边三角形，即2||||BF AB =，由12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==， 又21||||2AF AF a -=， 21||||24AF AF a a ∴=+=，△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，12120F AF ∠=︒，222121212||||||2||||cos120F F AF AF AF AF ∴=+-︒，即222214416224()282c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=， 解得227c a =，则22266b c a a a =-==， 由此可得双曲线C 的渐近线方程为6bx y y a=±=±， 即66y x =±． 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a ，b 的关系是解决本题的关键．12. 已知函数2119,0(){1,0x x x f x xe x -+≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A. (0,)4πB. (0,]4πC. (0,)3πD. (0,]3π【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：当x≤0时，由219y x =+2291y x -=，（x≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=-3x ，此时渐近线的斜率1k =-3， 当x ＞0时，()11x f x xe-=+，当过原点的直线和f （x ）相切时，设切点为()1,1a a ae-+，函数的导数()()1111x x x f x e xe x e ---=+=+'，则切线斜率()()121a k f a a e -=+'=，则对应的切线方程为()()()1111a a y aea e x a ---+=+-，即()()()1111a a y a ex a ae --=+-++，当x=0，y=0时，()()()11110a a a ex a ae --+-++=，即21111a a a a e ae ae ---+=+，即211a a e -=，得a=1，此时切线斜率22k =， 则切线和y=-3x 的夹角为θ， 则32tan 1123θ--==-⨯，则4πθ=，故∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是(0,)4π第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（把答案填在答题卷中相应的横线上）13. 若实数x y ，满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，，，则z x y =+的最小值为______．【答案】-13 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝2x +y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝1时，z ＝2x +y 取得最小值．【详解】作出不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由y 2350x y =-⎧⎨-+=⎩ 解得B （﹣11，﹣2）设z ＝F （x ，y ）＝x +y ，将直线l ：z ＝x +y 进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F （﹣11，﹣2）＝﹣13． 故答案为﹣13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14. 从13、12、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m 、n ，则“log m n ＞0”的概率为_____． 【答案】715.【解析】 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log 0m n >等价于1m 且1n >，或01m <<且01n <<，从13、12、2、3、5、9中任取两个不同的数，共可得到2630A =个对数值， 其中对数值为正数的有222421214A A +=+=个，所以“log m n ＞0”的概率为1473015=. 故答案为：715. 【点睛】本题考查了对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式，属于基础题.15. 已知点A 、B 、C 在球心为O 的球面上，若AB ＝AC ＝5，BC ＝6，球心O 到截面ABC 的距离为1，则该球的表面积为_____． 【答案】68916π【解析】 【分析】由正弦定理求出△ABC 外接圆半径后由勾股定理求得球半径，从而得球表面积． 【详解】△ABC 中∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴3cos 5B =，∴4sin 5B =，设△ABC 外接圆半径为r ， 则52524sin 45AC r B ===，258r =， 设球半径为R，则8R ==，表面积为2689689446416S R πππ==⨯=． 故答案：68916π． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是利用截面圆性质，截面圆圆心到球心连线与截面圆垂直．16. 在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD = 且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5【解析】 【分析】由题意及正弦定理得到2222ab a b c +-=，于是可得1cos 4C =，sin C =然后在CDA ∆和CDB ∆中分别由余弦定理及CDA CDB π∠∠+=可得2222()4c a b =+-．在此基础上可得2242aba b ++=，再由基本不等式得到85ab ≤，于是可得三角形面积的最大值． 详解】如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和CDB ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．① 由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 整理得2222aba b c +-=，② 由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以15sin C =把①代入②整理得2242aba b ++=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab abab ≥+=，故得85ab ≤． 所以1181515sin 22545ABC ab C S ∆=≤⨯⨯=． 即ABC ∆15． 15． 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：17. 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：//AF平面PCE；（Ⅱ）若二面角P CD B--为45︒，2AD=，3CD=，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2317【解析】【分析】（1）G为CD的中点，由线面平行的判定即有//PC面AFG，//EC面AFG，又PC EC C⋂=，由面面平行判定即有面//PCE面AFG，由面面平行的性质即得证；（2）构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴构建空间直角坐标系，求面PCE的法向量与斜线方向向量的夹角余弦值，结合它与线面角的关系即可求得PD与平面PCE所成角的正弦值【详解】（1）若G为CD的中点，连接FG、AG，如下图示∵E 、F 分别是AB 、PD 的中点∴//FG PC ，且//AE GC ，AE GC =即AGCE 为平行四边形，有//AG EC 又由FGAG G =，PC ⊄面AFG ，EC ⊄面AFG∴//PC 面AFG ，//EC 面AFG ，又PC EC C ⋂=，即面//PCE 面AFG 由AF ⊂面AFG ，即有//AF 面PCE 得证（2）由四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P CD B --为45︒，即有AP 、AB 、AD 两两垂直，且45PDA ∠=︒∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴构建空间直角坐标系由2AD =，3CD =，知：(3,2,0)C ，(0,2,0)D ，3(,0,0)2E ，(0,0,2)P∴(0,2,2)PD =-，(3,2,2)PC =-，3(,0,2)2PE =- 令(,,)m x y z =为面PCE 的一个法向量，则32203202x y z x z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，若1x =有33(1,,)44m =- ∴317cos ,17PD m PD m PD m⋅==由平面法向量与斜线的方向量的夹角与线面角的关系，知：PD 与平面PCE 所成角的正弦值 【点睛】本题考查了由面面平行判定证面面平行，利用面面平行性质定理证明线面平行，通过构建空间直角坐标系，求平面法向量与斜线方向向量夹角的余弦值，根据其与线面角的关系求线面角的正弦值18. 已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且11a =，2211n n S S +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()1nnnba -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a *(1,)n n N ≥∈；（2）(1)n T =-【解析】 【分析】（1）由递推式2211n n S S +=+可知2{}n S 为等差数列，可得2n S n =，再根据1n nn a S S -=-结合已知条件即可求{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()1nn b =-，将n 分为偶数、奇数讨论得到{}n b 的前n 项和n T【详解】（1）由2211n n S S +=+，知：2211n n S S +-=，由11a =有211S =，即数列2{}n S 是首项、公差均为1的等差数列∴21(1)n S n n =+-=又由{}n a 是各项都为正数的数列，即=n S *(1,)n n N≥∈，而1n nn a S S -=-*(2,)n n ≥∈N∴=n a *(2,)n n ≥∈N ，又11a ==，满足上式，故1=--n a n n *(1,)n n N ≥∈ （2）由()()11(1)nnnnb n n a -==-+-，知：123...(10)(21)(32)...(1)(1)n n n T b b b b n n =++++=-+++-+++-+-∴当n 为偶数时，n T n =；当n 为奇数时，n T n =-， 所以(1)n n T n =-.【点睛】本题考查了数列，利用前n 项和的递推式求数列通项公式，根据新数列与已知数列的关系求新数列前n 项和，注意将n 分为奇偶数讨论19. 为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ. 6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解； （Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解. 【详解】（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0.05s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ， 故()50000.81864093E np ξ==⨯=.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2219x y +=；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）列a,b,c 的方程组即可求解；（2）设直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，由点差法得kk'1==-，得0x =【详解】（1）由题意:点（c,13±）在椭圆上，故222222c a3c 11a 9bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴2a 9=，2b 1=，∴椭圆C 的标准方程为：22x y 19+=；（2）（点差法）：设()11A x ,y ，()22B x ,y ，AB 的中点为()00P x ,y ，椭圆C的右焦点为()F ，直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，则：22112222x 9y 9x 9y 9⎧+=⎨+=⎩，∴()()()()12121212x x x x 9y y y y 0-++-+=，∴()0121212120x y y x x k x x 9y y 9y -+==-=--+，k'=，∴kk'1==-，即：()0x 3,34=∉-，故不存在. 【点睛】本题考查椭圆方程，点差法应用，遇到“弦中点”问题，注意点差法的应用，是中档题21. 设函数()()()2ln 102xf x ax a x =+->+． （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x 、2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围． 【答案】（1）01a <<时，()f x在(0,上单调递减，)+∞上单调递增；1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上的单调递增；（2）1(,1)2a ∈【解析】 【分析】（1）利用导函数24()1(2)a f x ax x '=-++，讨论在()0f x '<、()0f x '>时a 的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由()f x 存在两个极值点，即可得01a <<，同时可用a 表示出1x 、2x ，进而代入函数式得到()()2124(1)ln(21)21a f x f x a a -+=-+-，利用导函数研究其单调性，结合单调区间边界值即可确定a 的范围 【详解】（1）由题意，得24()1(2)a f x ax x '=-++ 当()0f x '<时，214(1)x a<-：01a <<时，()f x在0x <<1a ≥时，()f x 无递减区间当()0f x '>时，214(1)x a>-：01a <<时，()f x在x >1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上的单调递增∴综上，有：01a <<时，()f x在(0,上单调递减，)+∞上单调递增；1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上的单调递增（2）由（1），令()0f x '=有214(1)x a=-，()f x 存在两个极值点1x 、2x 即01a <<由题意知：120x x +=，21214(1)x x x a=-=-()()2121212121212124()ln[1()]2()4x x x x f x f x a x x a x x x x x x +++=+++-+++∴()()2124(1)ln(21)21a f x f x a a -+=-+-1()2a ≠令24(1)()ln(21)21a g a a a -=-+-， 即1(0,)2a ∈和1(,1)2a ∈时，28(1)()0(21)a g a a -'=<-，所以有()g a 在区间内分别单调递减∴1(0,)2a ∈时，有()(0)4g a g <=-，即()()124f x f x +<-1(,1)2a ∈时，有()(1)0g a g >=，即()()120f x f x +> ∴综上，知：1(,1)2a ∈时()f x 存在两个极值点1x 、2x ，且()()120f x f x +> 【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的性质，讨论含参函数的单调区间，并根据已知极值点个数、函数不等关系求参数的范围（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．【选修4—4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+. 【解析】 试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝. (2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+ 又因2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅ ()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+， .【选修4—5：不等式选讲】23. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1|f x x =-． （Ⅰ）求不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集；（Ⅱ）若0a >，0b >且(3)a b f +=，求证：1122a b +++≤．【答案】（1）(,1][3,)-∞-⋃+∞（2）见证明【解析】【分析】 解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可;（2）要证1122a b +++≤成立，只需证22(11)(22)a b +++≤成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g （x ）＝f （2x ）﹣f （x +1）利用数形结合转化求解即可;（2）利用综合法转化求解证明1122a b +++≤成立．【详解】解法一：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,01(2)(1)2113,0211,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 由(2)(1)2f x f x -+≥得：0,12x x ≤⎧⎨-≥⎩或10,2132x x ⎧<<⎪⎨⎪-≥⎩或1,21 2.x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩ 解得或x ∈∅或3x ≥，所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-⋃+∞.（2）(3)2a b f +==，又0a >，0b >，1122a b ++成立，只需证22(11)(22)a b ++≤成立，即证2(1)(1)8a b a b +++++≤，(1)(1)2a b ++成立，因为0a >，，所以根据基本不等式 (1)(1)(1)(1)22a b a b +++++≤=成立， 故命题得证．解法二：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,0,1(2)(1)2113,0,211,.2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出函数()(2)(1)g x f x f x =-+的图像（如下图）因为直线2y =和函数()g x 图像的交点坐标为(1,2)A -, (3,2)B . 所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-⋃+∞（2）(3)2a b f +==，又0,0a b >>，3212a a ++3212b b ++≤， 332121422a b a b +++++= 1122a b ++成立．【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。

陕西省西安市达标名校2020年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数ln(1),0 ()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-2．设双曲线22221y xa b-=（0a>，0b>）的一条渐近线与抛物线213y x=+有且只有一个公共点，且椭圆22221x ya b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A．22143x y-=B．22143y x-=C．22123x y-=D．22132y x-=3．已知集合{}{}2340,13A x x xB x x=-->=-≤≤，则R()A B=( )A．()1,3-B．[]1,3-C．[]1,4-D．()1,4-4．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．455．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A．15B．625C．825D．256．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．69．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4510．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．2511．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。