非负矩阵分解算法

多项式核非负矩阵分解
多项式核非负矩阵分解（Polynomial Kernel Nonnegative Matrix Factorization，PK-NMF）是一种基于非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）的方法，用于将非负数据矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。

在PK-NMF中，通过引入多项式核函数来构建非负矩阵的相似性度量。

这个多项式核函数可以将原始的特征空间映射到一个高维的特征空间，使得在高维特征空间中的两个向量的相似性可以通过它们在原始特征空间中的内积来表示。

PK-NMF的目标是最小化原始数据矩阵与分解后的矩阵的重构误差，并且加入了一个正则化项来控制特征向量的稀疏性。

通过迭代优化算法，可以同时学习出两个非负矩阵，其中一个矩阵表示数据的低维表示，另一个矩阵表示数据在高维特征空间中的投影。

PK-NMF在很多应用中都有广泛的应用，特别是在文本挖掘、图像处理和推荐系统中。

它可以作为一种降维方法，对高维数据进行特征提取和表示学习，还可以用于数据的聚类和分类等任务。

基于图正则化非负矩阵分解的二分网络社区发现算法佚名【摘要】There are many bipartite networks composed of two types of nodes in the real world, studying the community structure of them is helpful to understand the complex network from a new point of view. Non- negative matrix factorization can overcome the limitation of the two-mode structure of bipartite networks, but it is also subject to several problems such as slow convergence and large computation. In this paper, a novel algorithm using graph regularized-based non-negative matrix factorization is presented for community detection in bipartite networks. It respectively introduces the internal connecting information of two-kinds of nodes into the Non- negative Matrix Tri-Factorization (NMTF) model as the graph regularizations. Moreover, this paper divides NMTF into two sub problems of minimizing the approximation error, and presents an alternative iterative algorithm to update the factor matrices, thus the iterations of matrix factorization can be simplified and accelerated. Through the experiments on both computer-generated and real-world networks, the results and analysis show that the proposed method has superior performances than the typical community algorithms in terms of the accuracy and stability, and can effectively discover the meaningful community structures in bipartite networks.%现实世界存在大量二分网络，研究其社区结构有助于从新角度认识和理解异质复杂网络。

数据降维-NMF⾮负矩阵分解1.什么是⾮负矩阵分解？NMF的基本思想可以简单描述为：对于任意给定的⼀个⾮负矩阵V，NMF算法能够寻找到⼀个⾮负矩阵W和⼀个⾮负矩阵H，使得满⾜，从⽽将⼀个⾮负的矩阵分解为左右两个⾮负矩阵的乘积。

如下图所⽰，其中要求分解后的矩阵H和W都必须是⾮负矩阵。

分解前后可理解为：原始矩阵的列向量是对左矩阵中所有列向量的加权和，⽽权重系数就是右矩阵对应列向量的元素，故称为基矩阵，为系数矩阵。

⼀般情况下的选择要⽐⼩，即满⾜，这时⽤系数矩阵代替原始矩阵，就可以实现对原始矩阵进⾏降维，得到数据特征的降维矩阵，从⽽减少存储空间，减少计算机资源。

2.⾮负矩阵分解⼀个⽰例解释通过图1中的⾯部特征提取例⼦可领略NMF处理数据的⽅式。

最左边的⼤矩阵由⼀系列的⼩图组成，这些⼩图是分析数据库中包含的2429个脸部图像的结果，每幅图像由19×19个像素组成。

传统⽅法中这样的⼩图是⼀幅完整的⼈脸图像，但是在NMF⽅法中，每个⼩图是通过⼀组基图像乘以⼀个权重矩阵⽽产⽣的⾯部特征图，经过这样处理的每幅⼩图像恰好表⽰了诸如“⿐⼦”、“嘴巴”、“眼睛”等⼈脸局部概念特征，这便⼤⼤压缩了存放的图像数据量。

左边的⼤矩阵由每幅⼩图像的19列⼀起组成矩阵的⼀列，那样它就是19×19=361⾏，2429列。

这个例⼦中，NMF⽅法⽤基图像来代表眼、眉⽑、⿐⼦、嘴、⽿朵、胡⼦等，它们⼀起组成了数据库中的脸。

这样给⼈最先的直觉就是它很好地压缩了数据。

事实上Lee和Seung在他们的论⽂中更深⼊地指出，与⼈类识别事物的过程相似，NMF也是⼀种优化的机制，近似于我们的脑分析和存储⼈脸数据的过程。

这个例⼦中，原图像表⽰这些局部特征的加权组合，这与⼈类思维中“局部构成整体”的概念是相吻合的。

因此，NMF算法似乎体现了⼀种智能⾏为。

3.⾮负矩阵分解NMF的应⽤（1）图像分析 NMF最成功的⼀类应⽤是在图像的分析和处理领域（2）⽂本聚类，数据挖掘（3）语⾳处理（4）机器⼈控制（5）⽣物医药⼯程和化学⼯程。

非负矩阵分解及其应用探讨作者：高燕燕来源：《硅谷》2011年第23期摘要：介绍非负矩阵分解（non-negative matrix factorization，NMF）的基本算法思想及其实现过程，并对其在一些重要领域内的应用现状进行概括归纳，最后提出NMF方法在图像处理方面存在的问题及其改进的趋势。

关键词：非负矩阵分解；特征提取；矩阵分解中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2011）1210164－01随着现代计算机处理信息数据的规模越来越大，矩阵作为一种最常见的数据表示形式得到了广泛的应用。

但在实际问题当中，由于矩阵的数据量往往很大，直接处理效率低，意义不大，在实际的操作中，都需要对原始矩阵进行分解。

矩阵分解是将原始矩阵进行适当的分解，使得进一步处理变得简单些。

NMF是D.D.Lee和H.S.Seung在1999年《Nature》中首次提出的算法[1]，该算法要求矩阵中所有元素均为非负的条件下对矩阵进行非负分解。

由于非负矩阵分解实现简单、分解形式和分解结果上的可解释性，以及占用存储空间上的优点，使得非负矩阵分解在实际应用中得到了广泛应用。

1 非负矩阵分解算法1）问题的描述传统NMF问题可描述如下：（1-1）即给定m个n维数据向量集合，每个列向量表示一个样本数据，m为集合中数据样本的个数。

W为基矩阵，H为编码矩阵。

选取的r值一般要求满足，从而可使W和H矩阵的秩远远小于矩阵V的秩。

这样就达到了对原始矩阵V的降维处理。

NMF算法通过“乘性”迭代规则来保证每次迭代后矩阵的元素为非负，保证了非负矩阵分解的可行性。

[2]这种算法实现容易因此得到十分广泛的应用。

2）算法的实现过程NMF算法可以理解为一个带约束的非线性规划的问题，可转化成最优化问题，利用迭代的手段可求解出W和H。

为了求出矩阵分解的结果，Lee和Seung引入了两类目标函数：①矩阵A和B之间的欧氏距离：② Kullback-Leibler散度函数：令A=V，B=WH，可得到用于NMF算法的两类目标函数基于以上两个目标函数，就可得到如下的约束优化问题：和通过合适的迭代规则对以上两个约束优化问题进行收敛得到稳定的矩阵W和H。

求解非负矩阵分解的交替非负最小二乘法的一种修正策略负矩阵分解（Non-Negative Matrix Factorization，NMF）是一种基于矩阵来进行特征提取的技术，它可以分解一个巨大矩阵中包含的信息，从而可以推导出实际物理意义上的隐藏特征。

NMF有助于从冗余数据中发现实际价值的潜在结构，是无监督机器学习的重要方法之一。

随着使用NMF的越来越普遍，研究人员也开发出了解决非负矩阵分解问题的新方法，其中最突出的是采用交替非负最小二乘（Alternating Non-Negative Least Squares，ANLS）法。

该方法旨在利用数学技巧修正传统的迭代式非负矩阵分解算法，以便更快地收敛k。

ANLS法采用一种叫做“先代换后加”（Replace-Then-Add）的迭代模式，不断地替换当前最优解，同时也会根据更新的信息来更新目标函数的梯度以及其他参数。

在每次迭代过程中，ANLS法会使用双重约束性和非负限制，使得模型在非负空间中进行搜索，从而获得更高的优化结果。

此外，ANLS法还采用了一种叫作“三个自然误差项”（Three Natural Error Terms）的技术，用于识别每次迭代过程中梯度最小的特征和残差的方向。

三个自然误差项使得ANLS法能够忽略任何多余的信息和特征，从而能够更快地找到迭代收敛点。

另外，ANLS法还提出了一种称为“模型预搭设”的技术，用于在收敛前提前预测因子矩阵的结构。

这种模型预设会约束算法最终的功能，从而实现了更好的收敛性。

总之，ANLS法改进了传统非负矩阵分解算法，也增加了一些前所未有的技术，这些技术可以帮助我们更快地收缩k，并在搜索过程中快速找到收敛点。

它还提出了一种模型预搭设技术，用于提前预测因子矩阵的结构，从而获得更高的优化效果。

因此，ANLS法在解决非负矩阵分解问题方面大有作为，受到了广泛的好评。

非负矩阵分解数学原理
非负矩阵分解是一种用于矩阵降维和特征提取的数学方法。

它将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵乘积的形式，其中一个矩阵表示样本的特征，另一个矩阵表示该特征在样本中的权重。

这种方法在数据挖掘、信号处理、图像处理等领域得到了广泛应用。

非负矩阵分解的数学原理基于线性代数和优化理论，主要包括矩阵分解的优化目标、求解方法和性质分析等方面。

其中，优化目标是最小化原始矩阵与分解矩阵的差距，求解方法主要有基于梯度下降和交替最小二乘等算法，性质分析涉及矩阵稀疏性、性质的保持和矩阵分解的唯一性等问题。

非负矩阵分解是一种有益的数学工具，可以帮助我们更好地理解数据中的特征与权重的关系，同时也为我们提供了一种有效的降维和特征提取方法。

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多通道非负矩阵分解概述及解释说明1. 引言1.1 概述:本文旨在介绍多通道非负矩阵分解（Multiple Channel Nonnegative Matrix Factorization）的基本原理、应用领域以及算法优势。

非负矩阵分解作为一种重要的数据降维和特征提取方法，已经被广泛应用于图像处理、语音识别、推荐系统等领域。

多通道非负矩阵分解则是对传统单通道非负矩阵分解进行拓展，能够更好地处理多模态或多源数据。

1.2 文章结构：本文共分为五个部分：引言、多通道非负矩阵分解、解释说明一、解释说明二以及结论与展望。

引言部分主要介绍本文的背景和目的，同时概述了接下来各个章节的内容安排。

多通道非负矩阵分解部分将详细探讨该方法的基本原理、应用领域和算法优势。

解释说明一和解释说明二部分将介绍两种具体的方法，并对其进行实验结果的分析以及相关案例的讨论。

最后，在结论与展望中对全文进行总结，并提出未来可能的研究方向。

1.3 目的：本文旨在向读者介绍多通道非负矩阵分解方法及其在数据处理中的应用。

通过对多通道非负矩阵分解的详细讲解和实例说明，读者将能够全面了解该方法的基本原理、适用范围以及实际效果。

同时，通过对比多种方法在实验中的表现和相关案例的讨论，读者还可以深入了解不同情况下选择不同方法可能带来的影响和优势。

最终，我们希望本文能够为相关领域的研究者提供有价值的参考，同时激发更多关于多通道非负矩阵分解方法的深入探索。

2. 多通道非负矩阵分解2.1 基本原理多通道非负矩阵分解是一种常用的数据降维和特征提取方法。

其基本原理是将一个高维度的数据矩阵分解为两个低维度的非负矩阵的乘积，其中一个矩阵具有原始数据的结构信息，而另一个矩阵包含了数据的隐含特征。

在多通道非负矩阵分解中，我们假设原始数据包含多个通道或属性。

每个通道可以代表不同的数据来源或者不同方面的特征。

通过对这些通道进行分离和抽取其中重要的特征，并且将这些特征进行融合，可以提高对原始数据的理解和表示能力。

非负矩阵分解非负矩阵分解（NonnegativeMatrixFactorization，NMF）是一种重要的数值分解技术，它可以将一个实对称矩阵分解成两个非负矩阵，其中元素都大于等于零。

它可以用来提取相关数据之间的关系，从而从模糊的数据中提取出有价值的信息，因此经常被应用于聚类、概念提取等机器学习的领域中。

首先，要理解NMF，我们需要介绍其基本概念，它是一种矩阵分解技术，一般可以将一个实对称矩阵分解为两个非负的矩阵，这些元素都大于等于零。

其中，一个矩阵称为基矩阵，用来描述数据之间的关系；另一个称为内积矩阵，用来描述数据之间的相关性。

NMF由布罗基-亨利林（Brock-Hennely）在1999年提出，是一种重要的半正则化方法，能够从给定的非负矩阵中恢复出潜在的内容主题，其计算结果可以看作是一种“直观的抽象”，可以给出一个“更容易理解”的表示。

NMF的思想是将一个非负实矩阵X分解成两个非负矩阵W和H，令X≈WH，这两个矩阵的元素均为非负值，分别叫做基矩阵W和内积矩阵H，其计算过程是令X，W，H分别尽可能接近W，H，X，使得W 和H的乘积最小。

W和H可以用来描述原始矩阵X中的数据之间的关系，而不是直接用原始矩阵来表示X。

NMF有很多应用，如用于聚类分析，文档检索，内容提取，图像处理等机器学习领域，其主要的优点是：(1)能够从模糊的数据中提取出有价值的信息，(2)可以自动化，减少神经网络算法中专家知识的应用，(3)可以用于实时处理大量数据，(4)可以用于视觉系统，提出新的视觉模型，从而对计算机视觉系统有很大帮助。

NMF在聚类分析中也有很好的应用，它可以自动发现原始数据中的隐藏信息，并把它们聚合成不同的类别。

它的聚类特性使得它可以用来处理复杂数据集，具有很多分类任务的优点。

例如，可以使用NMF来分析文本数据，将一些紧密相关的文本聚合到一起；可以用来分析视觉数据，将图像中的主要特征提取出来；还可以用来分析声音数据，将语音识别任务简化成一个重要的计算任务。