1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数
{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞
=于E 。
证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，
使得1
()n m E E n
-<
， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得
1[||]()n n mE f g n m E E n
-≥≤-<
，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，
由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞
=，..a e 于E
2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是
直线上的开集，设11
[](,)n n n E f c αβ∞
=>=
，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，
n
α可
能为
-∞
n
β可有为
+∞
）因此
22221
1
[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞
∞
==>=
<<=
><因为g 在2E 上可
测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。
证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，
0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是
开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞
=≥，
即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121
(0,),(0,),1,2,
,n n A A n n n
-==求出集列{}n A 的上限集和下限集
证明：lim (0,)n n A →∞
=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞
∈，
又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞
→∞
⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞
=若有lim n n x A →∞
∈，则存在N ，使
任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，
211
,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞
=
（2）可数点集的外测度为零。 证明：证明：设{|1,2,
}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2
i i
I ε
=
所
以
1
i i I E ∞
=⊃，且1
||i i I ε∞
==∑，由ε的任意性得*0m E =
5、设}{
n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞
→∞
==
=
1
1
[lim lim ]n n
x x k E f f k ∞
→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞
及lim n x f →∞
都可测，所以lim lim n n x x f f →∞
→∞
-在E 上可测。
从而，对任一自然数k ，1
[lim lim ]n n x x E f f k
→∞
→∞
-<
可测。故 01
1
[lim lim ]n n
x x k E E f f k ∞
→∞→∞==
-<∏ 可测。既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。
6、设q
R E ⊂，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m （n A -n B ）→0，
（n→∝）则E 可测.
证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞
=1
，所以 E B E B i n n -⊂∞
=-1
又因为 E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-
所以对于任意i ，)(**1
E B m E B m i n n -≤-∞
=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=
令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1
=-∞
=）（E B m n n 所以E B n n -∞
=1
是可测的又由于n B 可
