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15级《微积分1》复习要点

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15级《微积分1》复习要点 依据《微积分教学大纲》和教考分离制度对微积分1期末考试说明如下： 一、 试卷题型与考试知识要求 试卷客观题与主观题比例大约为30%与70%，客观题主要考查基本概念与基本关系，主观题主要考查基本运算和基本理论。对基本概念、基本关系的要求表述为理解，对基本运算、基本理论的要求表述为会求或会证明。 题型（题量） 选择题（8） 填空题（8） 计算题（10） 证明题（2） 分值 16分 16分 60分 8分

二、 知识点及要求 第一章 函数、极限与连续（26%） 1、理解函数的定义域；

（1）函数211yxx的定义域是[1,0)(0,1] . （2）函数lg(1)2yxx的定义域是[2,1) 。 （3）函数lg2yxx的定义域是(0,) 。

（4）函数2arccos3xy的定义域是[1,5] 。 2、会求各种未定型的极限.例如01coslimsinxxxx、10lim(12)xxx、011lim()1xxxe （1）计算极限01coslimsinxxxx

解：01coslimsinxxxx=2202limxxx=12 （2）计算极限10lim(12)xxx.

解：10lim(12)xxx=2120lim(12)xxx=2120lim(12)xxx =2e （3）计算极限011lim()1xxxe. 解：011lim()1xxxe=01lim[](1)xxxexxe =201limxxexx =001limlim22xxxxeex=21 （4）计算极限01cos2limtanxxxx

解：01cos2limtanxxxx=220(2)2limxxx=2 （5）计算极限 10lim(1)xxx 解：10lim(1)xxx=110lim(1)xxx110=lim(1)xxx=1.e （6）计算极限 )1112(lim21xxx 解：)1112(lim21xxx=221112(1)111limlimlim.1112xxxxxxxx （7）计算极限 120lim(1sin)xxx. 解：120lim(1sin)xxx=12ln(1sin)0limxxxe=120limln(1sin)xxxe =0ln(1sin)lim2xxxe =0sinlim2xxxe=e （8）计算极限22cot0lim(13tan)xxx.

解：22cot0lim(13tan)xxx=212tan0lim(13tan)x

xx

2

31

23tan0lim(13tan)x

xx





231

23tan0lim(13tan)x

xx



 =3.e

（9）计算极限 10lim(13)xxx. 解：10lim(13)xxx=3130lim(13)xxx=3130lim(13)xxx=3e （10）计算极限 2221lim()42xxxx 解：2221lim()42xxxx=2222(2)13limlim.424xxxxxxx （11）计算极限 111lim().ln1xxx

解：111lim().ln1xxx11111lnlimlim1(1)lnlnxxxxxxxxxx 11111limlim.ln1ln22xxxxxxx



（12）计算极限 01cos2limln(12)xxxx

解：2001cos22sinlimlim1ln(12)2xxxxxxxx





（13）计算极限1lim(1)xxxe 解：11lim(1)lim1xxxxexx. （14）计算极限201limxxexx 解：200011limlimlim1(1)1xxxxexxxxxx/ （15）计算极限0ln(12)limsin3xxx 解：00ln(12)22limlim.sin333xxxxxx 3、理解无穷小的运算 (1) 下列极限计算正确的是（ D ）. A、01limsin1xxx B、sinlim1xxx C、0sinlim0xxx D、1limsin1xxx

(2) 201sinlimsinxxxx= 0 . (3) 1limarctanxxx 0 . 4、理解间断点概念与类型； (1) 设222()()4xxfxAx是的. A、可去间断点 B、无穷间断点 C、连续点 D、跳跃间断点

(2) 设31()11xxfxxx，则1x是（ D ） A、可去间断点 B、无穷间断点 C、连续点 D、跳跃间断点

（3）函数21sin0()00xxfxxx ，0x是函数()fx的（ A ）. A、连续点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、无穷间断点 5、会利用零点定理证明方程有解 （1）证明方程32410xx 在(0,1) 内至少有一个实根

证明：设32()41Fxxx (0)10(1)20FF， ()Fx在（0，1）内至少有一个零点 即 方程32410xx在（0，1）内至少存在一个实根 （2）证明方程135xx在（1，2）内至少存在一个实根. 证明：5()31Fxxx令. (1)30(2)250FF， ()Fx在（1，2）内至少有一个零点 即 方程135xx在（1，2）内至少存在一个实根 （3）证明方程2xex在0和2之间至少有一个实根． 证明：设()2xFxex, 2(0)10(2)0FFe，

()Fx在（0，2）内至少有一个零点 方程2xex在0和2之间至少有一个实根． （4）证明方程21xx至少有一个小于1的正根．

^证明：设12)(xxxF， 1120)0(xF《0，1(1)12110F

()Fx在（0，1）内至少有一个零点 即 方程32410xx在（0，1）内至少存在一个实根 第二章 导数与微分(26%) 1、理解导数的定义；

（1）设0()fx存在，则000()()limxfxxfxx（ B ） A、0()fx B、)(0xf C、0()fx D、不存在 （2）若)(0xf存在，则000(2)()limxfxxfxx（ B ） A、02()fx B、02()fx C、0(2)fx D、0(2)fx （3）设()fx在0xx可导，则0()fx（ B ） A. 000()()limhfxhfxhh B. 000()()limxfxxfxx A. 000()(2)lim2xfxfxxx B. 0()(0)limxfxfx 2、会求函数的导数及二阶导数。 （1）若函数()fx可导，设2()yfx，求y.

解：'2'2222(),2()4().yxfxyfxxfx （2）若函数()fx可导，设(2)yfx，求y. 解：'2(2),4(2).yfxyfx （3）若函数()fx可导，设2()yfx，求y. 解：''22()(),2[()]2()().yfxfxyfxfxfx 3、会求隐函数的导数。 （1）已知由xyxye确定了()yfx ，求y 解：方程两边对x求导数，得 (1)xyyxyey  xyxyeyyxe



（2）设函数)(xyy由方程1yyxe所确定，求y 解：方程两边对x求导数，得 ()yyyexey 

1yyyeeyxey （3）设函数)(xyy由方程0yxexye所确定，求y. 解：方程两边对x求导数 0yxeyyxye  xyeyyex



(4) 设函数)(xyy由方程32xyexy 所确定，求y. 解：方程两边对x求导数 2()23xyeyxyyy

22.3xyxyyeyxey

(5) 设函数)(xyy由方程2+sin1xyyxe 所确定，求y. 解：方程两边对x求导数 2cos(1)0xyyyxey  cos2xyxyexyey

4、理解参数方程确定函数的导数，

(1) 已知sincosxtyt，求y.

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苏德矿新编微积分1方法总结

苏德矿新编微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续注 “★”表示方法常用重要.一、求函数极限的方法★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等.★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。

三、无穷小量阶的比较的方法利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开四、函数的连续与间断点的讨论的方法如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。

如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理；4. )()(lim )()(lim ∞=⇒∞=∞→+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量；9.等价量替换等.【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算，2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。

因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则.4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞→∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知★5. 有lim 1011()()nn i i f f x dx n n →∞==⎰∑或1lim1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==⎰∑ 第二章 一元函数微分学★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法：利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：1.求出()f x '，对于分段函数的分界点要用左右导数定义或导数定义求.2.'()f x 讨论的连续性，★三、求初等函数的导数的方法：在求导之前尽可能的化简，把函数的乘除尽量化成加减，利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等，从而简化求导过程. 要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算，理解并掌握复合函数的求导法则.四、求分段函数的导数的方法：求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。

高考微积分知识点归纳

高考微积分知识点归纳

高考微积分知识点归纳微积分作为数学的一门重要分支，是高中数学中的一门重要课程，也是高考数学中的重点内容。

掌握微积分的核心知识点，对于顺利应对高考数学是至关重要的。

本文将归纳总结高考微积分的知识点，为大家进行复习提供一定的参考。

1. 函数与极限函数与极限是微积分学的基本概念之一。

在函数与极限这一章节中，核心的知识点主要有：(1) 函数的概念以及函数的性质，如奇偶性、周期性等；(2) 极限的概念，包括数列极限和函数极限；(3) 极限的运算法则，如极限的四则运算法则、复合函数的极限法则等；(4) 极限存在性的判定方法，如夹逼定理、单调有界准则等。

2. 导数与微分导数与微分是微积分学的核心知识点之一，也是高考中非常重要的内容。

在导数与微分这一章节中，重要的知识点包括：(1) 导数的概念及其几何意义，如切线的斜率、曲线的变化率等；(2) 常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等；(3) 导数的性质与运算法则，如导数的四则运算法则、复合函数的导数法则等；(4) 高阶导数与高阶导数的计算方法；(5) 微分的概念及其应用，如利用微分近似计算、解决最优化问题等。

3. 积分与定积分积分与定积分也是微积分学的核心内容之一，它与导数具有密切的关系。

在积分与定积分这一章节中，重要的知识点包括：(1) 不定积分的概念与性质，如不定积分的线性性、基本积分表等；(2) 定积分的概念及其几何意义，如曲线下面积、曲线长度等；(3) 定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法、定积分性质的应用等；(4) 积分的应用，如求曲线的面积、求物体的体积、物理问题的应用等。

4. 微分方程微分方程是微积分学的一个重要分支，也是高考中的考点之一。

在微分方程这一章节中，重要的知识点有：(1) 常微分方程的分类与概念，如一阶微分方程、二阶线性微分方程等；(2) 常微分方程的求解方法，如分离变量法、齐次线性微分方程的求解法等；(3) 微分方程的应用，如人口模型、物理问题等。

微积分知识点总结精选

微积分知识点总结精选

微积分知识点总结精选微积分是数学的一门重要分支，研究函数的变化规律及其在几何、物理、工程等领域的应用。

微积分包括微分学和积分学，通过对函数进行求导和求积分，研究函数的性质和一些重要的数学定理。

下面将对微积分的一些重要知识点进行总结。

1.极限与连续性微积分的起点是极限的概念，极限描述了一个数列或者函数在一些点上的趋近情况。

常用的极限形式有左极限、右极限、无穷大极限等。

在微积分中，极限的定义为：如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当x满足0<，x-a，<δ时，f(x)与A之间的差的绝对值小于ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限为A。

连续性是极限的一个重要应用，如果在一些点上函数的极限与函数值相等，就称该函数在该点处连续。

2.导数和微分导数是一个函数在特定点上的变化率，可以用来描述函数的斜率、速度和加速度等概念。

导数的定义为：如果极限lim(x->a) [(f(x)-f(a))/(x-a)]存在，那么就称函数f(x)在x=a处可导，导数的值就是这个极限。

微分是导数的一个应用，微分的定义为：如果函数y=f(x)在x=a处可导，那么称d(y) = f'(a)dx 为函数f(x)在x=a处的微分。

3.高阶导数和导数法则函数的导数还可以求导数的导数，这叫做高阶导数。

高阶导数的符号通常用f(x)的斜体字母加单撇号表示，如f''(x)。

导数有许多重要的性质，导数的和差规则、常数与函数乘积的导数规则、函数乘幂的导数规则、复合函数的导数规则等都是常用的导数法则。

4.泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是一个函数在特定点处的近似表达式，利用函数在该点的导数的值来逼近函数。

泰勒展开的公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)，其中Rn(x)是余项，描述了泰勒展开的误差。

微积分大一考试必背知识点

微积分大一考试必背知识点

微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。

对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。

下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。

1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。

对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。

极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。

大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。

2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。

导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。

此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。

在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。

3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。

不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。

对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。

在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。

4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。

对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。

学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。

5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。

对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。

在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。

6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。

对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。

在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。