概率论期末考试必考知识中心极限定理

P{X k 0} 0.96,20 {X k 1} p 0.04 20 Xk P ) 0.95 又 由独立同分布中心极限定理有 20 Φ( N P{ Xk N } P k 1 N 19 . 0 19.2 k 1 n 52 0 19.2 500 近似 p 0.04 查正态分布表得 Φ(1.65) 0.95,故有 ) N (20 , 19.2 Xk k 1 np 20 N 20 1.65 N 27.23 (1 设共需要 N 条外线才能满足要求，则应有 p) 19.2 np 19 .2 500 P{ Xk N } 0.95 9 下午6时6分55秒 故至少应配备28条外线才能满足要求.
1
Xi E( Xi ) i 1 i 1
D( X i )
下午6时6分55秒
n
n
n
第四章 大数定律与中心极限定理
i 1
2/14
设 { Xn }是独立r.v列,均值和方差都存在 E ( X n ) n , D( Xn ) n2 (n 1, 2, ) n n n n 令 Xk E ( Xk ) Xk k
500
~
k 1
第四章 大数定律与中心极限定理
10/14
注意点
中心极限定理的应用有三大类：
i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
下午6时6分55秒
第四章 大数定律与中心极限定理
10
11/14
i) 给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
下午6时6分55秒

概率论中的极限定理及其应用概率论作为数学的一个重要分支，研究了各种随机事件的发生规律和概率分布。

而在概率论中，极限定理是非常重要的一部分，它揭示了随机变量序列的极限行为，并在统计学和应用领域中得到广泛的应用。

本文将介绍概率论中的极限定理及其应用，旨在帮助读者更好地理解概率论的基本原理与应用。

1. 极限定理的基本概念极限定理是针对随机变量序列而言的，它研究了当序列的样本容量增加到无穷大时，随机变量的极限行为。

在概率论中，常见的极限定理包括大数定律和中心极限定理。

大数定律是指当独立同分布的随机变量序列的样本容量趋于无穷大时，样本平均值趋近于期望值的概率接近于1。

根据大数定律，我们可以推断出随机事件的频率稳定性，并在实际问题中进行统计分析和预测。

中心极限定理是指当独立同分布的随机变量序列的样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布逼近于正态分布。

中心极限定理的应用非常广泛，它为我们在实际问题中利用正态分布进行概率计算提供了依据，可以简化计算过程并提高计算精度。

2. 极限定理的应用场景极限定理的应用涉及统计学、信号处理、金融工程等多个领域。

以下是几个常见的应用场景：2.1 统计推断在统计学中，极限定理为我们进行参数估计和假设检验提供了依据。

通过大数定律，我们可以根据样本均值来估计总体的均值；通过中心极限定理，我们可以利用正态分布来进行假设检验和置信区间估计。

这些方法在实际调查和研究中具有重要意义，帮助我们从有限的样本信息中推断总体的特征。

2.2 金融风险管理在金融领域，极限定理可以用于分析和管理风险。

例如，在投资组合管理中，我们可以利用中心极限定理来进行价值-at-风险(VaR)的计算。

通过将投资组合的收益率进行标准化，然后利用正态分布进行风险价值的估计，可以帮助投资者更好地评估风险并进行相应的决策。

2.3 信号处理在信号处理领域，极限定理可用于解决噪声干扰的问题。

例如，在通信系统中，接收到的信号通常会受到多种干扰因素的影响，这些干扰可以被看作是随机变量。

Xi
~ U (0.5,0.5), E( X i )

0

, D(Xi)

1 12

2
由独立同分布中心极限定理
1200
1200
X i ~ N (1200,1200 2 )
X i ~ N (0,100)
i 1
i 1
1200

1200

P Xi 12 1 P Xi 12
n
i 1
X i n L
即Yn

i 1

n
U (设U ~ N (0,1))
例1. 作加法时，对每个加数四舍五入取 整，各个加数的取整误差可以认为 是相互独立的，都服从( -0.5 , 0.5 )上 均匀分布。现在有1200个数相加， 问：取整误差总和的绝对值超过12的 概率是多少？
X i : 各个加数的取整误差,i 1,2,...,1200
独立同分布中心极限定理
设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限
数学期望和方差：E(Xi) =μ,D(Xi) =σ2，
i=1,2, …，则有
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
n
n
-
1 e-t2 2dt (x)
2
n
即，当n充分大时， Xi ~ N (n, n 2 )
要使1 1875 0.9,即, n 18750 n
(2)用二项分布中心极限定理估计,
nA ~ N(0.75n,0.1875n)
P0.74
nA n

0.76

P(0.74n

nA

i 1
n
n
lim
n
P
i 1
Xi D(
E( Xi )
i 1
n
Xi )
x
lim
n
P
nA np npq
x
i 1
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
四、拉普拉斯中心极限定理
定理表明: 二项分布的极限分布是正态分布
在n重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机 变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极 限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即
1 100 X 100 i1 Xi
三、勒维中心极限定理
依题意，
1 100 E(X)E100i1
1 100 Xi 100i1
E(Xi)0,
1 100 1 100
1
D(X)D100i1 Xi 1002 i1D(Xi)1200,
由中心极限定理,
~近似
1
X N(0, )
1200
于是，P( 3X 3)P( 31012 X 31012)
D( Xi) i1
D( Xi)
i1
i1
i1
n
n
Xi E(Xi)
DYnDi1
i1 n
1
n
n
n
D[Xi E(Xi)]1
D( Xi) i1
D( Xi)
i1
i1
i1
一、中心极限定理的意义
n
所以，欲求随机变量X Xi 的分布，先求 i1
n
n
Xi E(Xi )
标准化因子Yn i1
i1 的分布情况.
解： 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16