2018届高三理科数学一轮复习学案 命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

突破点(一) 命题及其关系

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

命题的真假判断

[例1] 下列命题中为真命题的是( )

A．若1x＝1y，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则x＝y

D．若x

[解析] 取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D.

[答案] A

[方法技巧]

判断命题真假的思路方法

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．

(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法： ①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；

②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．

四种命题的关系

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

[例2] (1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )

A．若a>b，则a－1≤b－1

B．若a>b，则a－1

C．若a≤b，则a－1≤b－1

D．若a

(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0

[解析] (1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．

(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

[答案] (1)C (2)C

[方法技巧]

1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．

(2)若命题有大前提，需保留大前提．

2．判断四种命题真假的方法

(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．

(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )

A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程

B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的真子集

解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．

2．[考点二]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )

A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0

B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0”．

3．[考点二]命题“若△ABC有一个内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( )

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为π3”，它是真命题．故选D.

4．[考点二]有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．

解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.

答案：①②③

突破点(二) 充分条件与必要条件

基础 联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．充分条件与必要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/

p

p是q的必要不充分条件 p⇒/

q且q⇒p

p是q的充要条件 p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p

2.充分条件与必要条件和集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件 A⊆B

p是q的必要条件 B⊆A

p是q的充分不必要条件 AB

p是q的必要不充分条件 BA

p是q的充要条件 A＝B

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

充分条件与必要条件的判断

[例1] (1)(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[解析] (1)∵ x＞1，y＞1，∴x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．

(2)当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．

[答案] (1)A (2)C

[方法技巧] 充分、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

充分条件与必要条件的应用

[例2] (1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )

A．a≥1 B．a>1

C．a≥4 D．a>4

(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[解析] (1)命题可化为∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立．

∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．

∴命题为真命题的充要条件为a≥4.

∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.

(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则 1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，

解得0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

[答案] (1)D (2)[0,3]

[方法技巧]

根据充分、必要条件求参数的思路方法

根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x>1”是“log2(x－1)<0”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B 由log2(x－1)<0得01”是“log2(x－1)<0”的必要不充分条件，选B.

2．[考点二]已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]

解析：选A 由3x＋1<1，得3x＋1－1＝－x＋2x＋1<0，解得x<－1或x>2.因为“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2.

3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p：cos α≠12，命题q：α≠π3”，则命题p是命题q的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A 若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p⇒q；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．

4．[考点二]已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )

A．[1，＋∞) B．(－∞，1]

C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)

解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.

5．[考点一]已知函数f(x)＝13x－1＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)

解析：若f(x)＝13x－1＋a是奇函数，

则f(－x)＝－f(x)，

即f(－x)＋f(x)＝0，