人教版九年级上数学第22章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级上数学第22章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系
- 二次函数的标准形式
- 二次函数图像与一元二次方程的解的关系
2. 二次函数的图像
- 开口方向与开口大小
- 对称轴与顶点
- 图像与x轴的交点
3. 一元二次方程的解法与应用
- 直接开平方法
- 配方法
- 公式法（韦达定理）
- 图像法
4. 实际问题中的应用
- 抛物线与坐标轴的交点问题
- 抛物线与直线的交点问题
- 最值问题
- 优化问题
5. 综合练习
- 理论知识巩固练习
- 实际问题解决练习
- 拓展提高练习
二、核心素养目标
1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，培养数学抽象和逻辑推理能力。
2. 通过分析二次函数图像，提升直观想象和数据分析的能力。
3. 掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。
4. 将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。
5. 在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。
- 举例：y=ax²+bx+c=0与y=ax²+bx+c的关系，如何通过二次函数图像求解一元二次方程的根。
- 二次函数图像的性质：掌握开口方向、开口大小、对称轴、顶点、与坐标轴的交点等概念。
- 举例：如何通过二次函数的一般式判断图像的开口方向和顶点位置。
- 一元二次方程的解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法（韦达定理）解一元二次方程。
- 举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。 - 实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。
22.2.3 公式法
知识点1 对求根公式的理解
1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________________的形式，确定________，________，________的值，当________时，可得方程的根为______________．
2．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是( )
A．a＝3，b＝2，c＝3B．a＝－3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝－3D．a＝3，b＝－2，c＝3
3．用公式法解方程(x＋2)2＝6x＋8时，b2－4ac的值为( )
A．52B．32C．20D．－12
知识点2 用公式法解一元二次方程
4．解下列方程，最适合用公式法求解的是( )
A．(x＋2)2－16＝0B．(x＋1)2＝4
C.x2＝1D．x2－3x－5＝0
5．一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是( ) A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝－3
6．方程x2＋x－1＝0的正根是__________．
7．在一元二次方程2x2＋x＝6中，b2－4ac＝________，x1＝________，x2＝________．
8．用公式法解下列方程：
(1)x2－6x＋1＝0;(2)4x2－12＝2x；
(3)x2－2x＋2＝0;(4)2x2＋8x－7＝0.
9．已知a是一元二次方程x2－3x－5＝0的较小的根，则a的取值范围是( )
A．－2
C．－4
10．如图22－2－2所示，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为( )
图22－2－2
A．4＋2B．12＋6
C．2＋2D．2＋或12＋6
11．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的根为( )
22.2用公式法解一元二次方程
广州开发区中学 傅丽娜
一、教学目标：
知识与技能：1、理解并掌握一元二次方程来求根公式的推导过程。2、会运用公式法解一元二次方程。
过程与方法：1、经历探索求根公式的过程，发展学生数学推理的严密性与严谨性。2、培养学生准确快速的计算能力并养成良好的习惯。
情感、态度与价值观：1、通过公式的引入，培养学生寻求简便的方法的探索精神及创新意识，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
2、学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。
二、重点难点：
1、难点：求根公式推导过程中的深刻理解。
2、重点：求根公式的探求和公式法应用。
三：教学准备：多媒体课件
四：教学方法：以引导探索为主的办法：发现法。
五、教学过程：
（一）、复习回顾，引入课题
1、用配方解下列方程：2x²-12x+10=0
2、总结用配方法解一元二次方程的步骤？（学生总结，教师点评） （1）、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
（2）、把常数项移到方程右边；
（3）、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，使左边成为完全平方；
（4）、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
设计意图：学生板演，通过实验观察分析，合作交流，互相借鉴与指正。通过练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？（产生欲望：能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题）
（二）、问题呈现，探索实验
22.2.2 公式法
◆随堂检测
1、一元二次方程2210xx的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2、若关于x的一元二次方程220xxm没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．1m B．1m C．1m D．1m
3、若关于x的一元二次方程230xxm有实数根，则实数m的取值范围是_____________.
4、用公式法解下列方程.
（1）22410xx；（2）2523xx；（3）24310xx.
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式2142bbacxa，2x242bbaca即可.
◆典例分析
解方程：224322xx．
有一位同学解答如下：
这里，2a，43b，22c,
∴224(43)422232bac,
∴x24433262222bbaca,
∴162x，262x．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.
解：这位同学的解答有错误,错误在22c,而不是22c,并且导致以后的计算都发生相应的错误．
正确的解答是:
首先将方程化为一般形式2243220xx，
∴2a，43b，22c,
∴224(43)42(22)64bac,
∴x244364622222bbaca,
∴1622x，2622x．
◆课下作业
●拓展提高
1、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．240x B．24410xx C．230xx D．2210xx
