人教版九年级数学一元二次方程的解法测试题

《一元二次方程》测试卷一、精心选一选 ( 每题3 分，共 30 分)1.以下方程中是一元二次方程的是( ).A. xy ＋ 2＝1B.x 21 9 0 C. x 2＝ 0 D. ax2 bx c 02 x2.配方法解方程 x 2 4x 2 0 ，以下配方正确的选项是（ ）A ． ( x 2) 22B ． (x 2) 22C ． ( x 2)22D ． (x 2)263.（ 20XX 山东潍坊 ）已知反比率函数ab , 当 x ＞ 0 时, y 随 x 的增大而增大 , 则对于 x 的方yx程 ax 22x b 0 的根的状况是（）A. 有两个正根B. 有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根x 26x 7x 的值是 ()4. 若x 1的值等于零，则A7 或-1B -7 或 1C 7D -15. 已知一元二次方程 ax 2bx c 0 ，若 ab c0 ，则该方程必定有一个根为（）A. 0B. 1C. -1D. 26.方程 (m2) x |m| 4x3m10 是对于 x 的一元二次方程，则 ()A. m= ± 2B. m=2C. m= -2D. m ≠± 27.白云航空企业有若干个飞机场， 每两个飞机场之间都开拓一条航线， 一共开拓了10条航线，则这个航空企业共有飞机场（ ）A ．4 个B ．5 个C ．6 个D ．7 个8.已知 a ， b ， c 是△ ABC 三条边的长，那么方程cx 2+(a+b)x+c=0 的根的状况是 ()．4A ．没有实数根B ．有两个不相等的正实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．有两个异号实数根9.下边是某同学在一次数学测试中解答的填空题，此中答对的是（）22A ．若 x =4 ，则 x=2B 若 3x =6x ，则 x=2C ． x 2x k0 的一个根是 1，则 k=2D ．若分式x x2 的值为零，则 x=2x10. 等腰三角形的底和腰是方程x 2 6x 8 0的两个根，则这个三角形的周长是（）A ．8B ．10C ．8或10D ． 不可以确立二、耐心填一填（每题3分，共 24分）1. 方程 ( x 1)23x 5 化为一元二次方程的一般形式是________, 它的一次项系数是22______.2. 假如 2x 2+1与 4x 2 -2x-5 互为相反数 , 则 x 的值为 ________.3. 已知代数式 x23x 5 的值是 7，则代数式 3x 29x 2 的值是4. （ 20XX 江苏宿迁） 已知一元二次方程 x 2px 3 0 的一个根为3 ，则 p _____5.阅读资料：设一元二次方程ax 2 bx c 0 的两根为 x 1 ， x 2 ，则两根与方程系数之间有以下关系： x 1x 2b，x 1 x 2c．依据该资料填空： 已知 x 1 ，x 2 是方程 x 2 6x 3 0aa的两实数根，则x 2 x 1 的值为 ______ ．x 1 x 222 2226 0 ，则226. 若y 5x y。

【专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题1.解方程：2x2﹣8x+3=0(用公式法)． 2.解方程：(2x-1)(x＋3)=43.解方程：4y2＋4y-1=-10-8y.4.解方程：x(x-3)=105.解方程：(x-1)(x-3)=86.解方程：x2-2=-2 x7.解方程：4x(3x-2)=6x-4. 8.解方程：3x(7-x)=18-x(3x-15)；9.解方程：5x2-8x+2=0. 10.解方程：x2+12x+27=0．11.解方程：2x2-4x+1=0(用配方法) 12.解方程：4(x-1)2=9(x-5)2 13.解方程：x2﹣6=﹣2(x+1) 14.解方程：x2+4x﹣5=0．15.解方程：2x2+5x﹣1=0．16.解方程：3(x-2)2=x(x-2)：17.解方程：2x2-3x-2=0 18.解方程：2x2-7x+1=019.解方程：x2﹣6x﹣4=0(用配方法) 20.解方程：x2-4x-3=021.解方程：x²-5x+2=0 22.解方程：x2﹣4x+8=0；23.解方程：3x2-6x+4=0 24.解方程：(x-2)(x-3)=1225.解方程：(x﹣3)(x+7)=﹣9 26.解方程：3x2+5(2x+1)=0(公式法) 27.解方程：x2﹣12x﹣4=0；28.解方程：(x﹣5)(x﹣6)=x﹣5．29.解方程：x2﹣8x﹣10=0；30.解方程：x(x﹣3)=15﹣5x；31.解方程：5x(x﹣3)=(x+1)(x﹣3) 32.解方程：x2+8x+15=033.解方程：25x2+10x+1=0 34.解方程：x2﹣7=﹣6x．(配方法)35.解方程：x2+4x﹣5=0(配方法) 36.解方程：4(x+3)2﹣(x﹣2)2=0(因式分解法)37.解方程：2x2+8x﹣1=0(公式法) 38.解方程：2x2-4x-1=0.39.解方程：(2x﹣5)2﹣(x+4)2=0．40.解方程:(x+1)(x﹣2)=2x(x﹣2) 41.解方程:4x2﹣6x﹣3=0(运用公式法) 42.解方程:2x2﹣x﹣3=0．43.解方程:(x+3)(x-1)=12 44.解方程:x2+3=3(x+1)45.解方程:x2-2x-24=0. 46.解方程:4x2-7x＋2=0.47.解方程:x2-2x=2x＋1；48.解方程:2(t-1)2＋t=1；49.解方程:(3x-1)2-4(2x＋3)2=0. 50.解方程:x2-6x-4=0；51.解方程:x(x﹣3)=4x+6．52.解方程:y2＋3y＋1=0；53.解方程:3y2＋4y-4=0 54.解方程:(x-3)2-2x(x-3)=055.解方程:x2﹣2x=4 56.解方程:3(x﹣1)2=x(x﹣1) 57.解方程:3x2﹣6x+1=0(用配方法) 58.解方程:3(x-5)2=2(5-x) 59.解方程:3x2+5(2x+1)=0 60.解方程:x2+6x=9．61.解方程：x2﹣2x=x﹣2．62.解方程：(2x﹣1)2=(3﹣x)2 63.解方程:2x2-10x=3. 64.解方程:(x﹣1)(x﹣3)=8．65.解方程:3x2＋2x-5=0；66.解方程:(1-2x)2=x2-6x＋9.67.解方程:5(3x-2)2=4x(2-3x)．68.解方程:(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3=0.69.解方程:2x2＋3=7x; 70.解方程:(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3=0.71.解方程:x2﹣2x﹣3=0．72.解方程:x﹣3=4(x﹣3)273.解方程:(x＋1)(x-1)=2x；74.解方程:3x2-7x＋4=0.75.解方程：(x+2)2﹣10(x+2)=0．76.解方程:x2＋3x＋2=0；77.解方程:(x-1)2-2(x2-1)=0 78.解方程:x2-4x＋2=0;79.解方程:x2﹣5x+1=0；80.解方程：x2﹣2x=4．81.解方程:x2+3x-2=0. 82.解方程:x2-5x+1=0（用配方法）83.解方程:x2+5x﹣6=0（因式分解法） 84.解方程：x2+3x﹣4=0（公式法）85.解方程:x2﹣4x+1=0（配方法） 86.解方程:(x﹣5)2=16 （直接开平方法）87.解方程:(x﹣1)(x+2)=6． 88.解方程:2x2+3x+1=089.解方程：（3x+1）2=9x+3． 90.解方程：5x2﹣3x=x+191.解方程：(x﹣4)2=(5﹣2x)2． 92. 解方程:(2x+1)2+15=8(2x+1)93.解方程：x2+x﹣1=0． 94.解方程：2x2﹣3x﹣1=0．95.解方程:x2-2x-3=0 96.解方程:3x2－7x＋4=0.97.解方程:(x+3)(x-1)=12 98.解方程:x2-x-6=099.解方程:2x2﹣4x=1（用配方法） 100.解方程:(x+8)(x+1)=-12参考答案1.答案为：x=，x2=．12.答案为：x=1,x2=-3.5.13.答案为：y=y2=-1.5.14.答案为：x=5,x2=-2.15.答案为：x=5,x2=-1.16.答案为：∴，7.答案为：x=1/2,x2=-2/3.18.答案为：x=39.答案为：10.答案为：x=-3,x2=-9.111.答案为：12.答案为：x=13,x2=-3.4.113.答案为：x=﹣1+，x2=﹣1﹣．114.答案为：x=1，x2=﹣5．115.答案为：x=．16.答案为：x=2,x2=3.117.答案为：x=-0.5,x2=-2.118.答案为：；19.答案为：x=-3+,x2=-3-120.答案为：x=2721.答案为：略；22.答案为：x=x2=2；123.方程无实根；24.答案为：x=-1,x2=6. ；125.答案为：x=﹣6，x2=2；126.答案为：∴x1=，x2=．27.答案为：x=6+2，x2=6﹣2；128.答案为：x=5，x2=7．129.答案为：x=4+，x2=4﹣；130.答案为：x=3，x2=﹣5131.答案为：x=3，x2=0.25．132.答案为：x=-3,x2=-5.133.答案为：x=x2=-0.2.134.答案为：x=1，x2=﹣7．135.答案为：x=﹣5，x2=1；136.答案为：x=﹣4/3，x2=﹣8；137.答案为：x=，x2=．138.答案为：x=＋1，x2=1-139.答案为：x=1/3，x2=9．140.答案为：x=2，x2=1．141.答案为：，；42.答案为：x=1.5，x2=﹣1．143.答案为：44.答案略；45.答案为：x=0，x2=3；146.答案为：x=＋，x2=-.147.答案为：x=2＋，x2=2-.148.答案为：t=1，t2=.149.答案为：x=-，x2=-7.150.答案为：x=3＋，x2=3-.151.答案为：x=，x2=．152.答案为：y=，y2=.153.答案为：54.答案为：x=3,x2=-3;155.答案为：∴x=1﹣，x2=1+；156.答案为：x=1，x2=1.5．157.答案为：x=1+，x2=1﹣；158.答案为：x=5，x2=13/3.159.答案为：60.答案为：x=﹣3+3，x2=﹣3﹣3．161.答案为：x=2，x2=1．162.答案为：63.答案为：x 1=，x 2=. 64.答案为：x 1=5，x 2=﹣1． 65.答案为：x 1=1，x 2=-. 66.答案为：x 1=，x 2=-2. 67.答案为：x 1=，x 2=.68.答案为：x 1=-1，x 2=-2.69.答案为：x 1=，x 2=3.70.答案为：x 1=-1，x 2=-2.71.答案为：x 1=3，x 2=﹣1．72.答案为：x 1=3，x 2=3.25；73.答案为：x 1=＋，x 2=-74.答案为：x 1=，x 2=1 75.答案为：x 1=﹣2，x 2=8．76.答案为：x 1=-1，x 2=2.77.答案为：x 1=1，x 2=3.78.答案为：x 1=22 ，x 2=2-2. 79.答案为： 80.答案为：x 1=1+，x 2=1﹣．81.∵a=1,b=3,c=-2,∴Δ=32-4×1×(-2)=17,∴x=,∴x 1=,x 2=.82.答案为：，.83.x1=﹣6，x2=1．84.答案为：x=﹣4，x2=1；185.；86.x=1，x2=9；187.x=，x2=．188.x1=﹣0.5，x2=﹣1；89.x1=﹣，x2=．90.x=﹣0.2，x2=1；191.x=3，x2=1．192.x=1，x2=2．193.x=，x2=．194.x=，x2=．195.96.解：(3)x＝，x2＝1197.98.99.x=1+，x2=1﹣．1100.1=﹣4，x2=﹣5．。

一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一——直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即，所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解： 设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ． 那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31 把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解配套练习题BCAQP 12121232323232一、选择题1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程3x 2+9=0的根为（ ）．A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根 3．用配方法解方程x 2-x+1=0正确的解法是（ ）． A ．（x-）2=，x=± B ．（x-）2=-，原方程无解C ．（x-）2=，x 1=x 2=D ．（x-）2=1，x 1=，x 2=-二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a 、b +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______． 三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；2313891331389235923235313（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x 的方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 解：略例2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 根据题意，得：（8-x ）（6-x ）=××8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 例3．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y 则3x+4=y+，x+1=y- 12C A QP1212121212161612121616依题意，得：y 2（y+）（y-）=6 去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72（y 2-）2= y 2-=±y 2=9或y 2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-所以，原方程的根为x 1=-，x 2=-例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-）2= B ．（x-）2=0C ．（x-）2=D ．（x-）2=2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）． A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 5．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x 的值为________．12121616122894121722353235343138923138913109122221x x x ---3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 22．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 3．如果x2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b^2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac ）}/2a 来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=，x 2=222x yx y -+2b a-(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=- 配方，得：x 2+x+（）2=-+（）2即（x+）2= ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0∴（x+）2=()2直接开平方，得：x+=± 即x=∴x 1=，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

吴圩镇初级中学九年级数学一元二次方程解法专项练习一、单选题（每小题2分共12分）1. 下列属于一元二次方程的是（）A . x2-3x+y=0B . x2+2xC . 2x2=5xD . x(x2-4x)=32. 一元二次方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定3. 一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A. x1＝2，x2＝–3B. x1＝–2，x2＝3C. x1＝–2，x2＝–3D. x1＝2，x2＝34. 关于x的一元二次方程x2=m（m为常数）有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥05.有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14 B．15 C．16 D．256.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每小题2分共12分）7.一元二次方程的解是________．8.已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是________．9.一元二次方程根的判别式的值为________．10.将方程x（x-2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数为________.11.已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是________．12. 一元二次方程的根________三、用直接开方法解一元二次方程（每小题4分共16分）11. （x–1）2=4 12. （x–2）2=7 13. （x+2）2=25 14.四、用配方法解一元二次方程（每小题4分共16分）15. x2–2x–3=0 16. x2–4x+3=0 17. 2+1=3x 18. x2 +3x﹣4=0五、用公式法解一元二次方程（每小题4分共16分）19. x2 –6x+2=0 20. 3x2–6x–1=0 21. x2 +2x+4=0 22. 3x2–4x+1=0六、用因式分解法解方程（每小题4分共32分）23. x(2x-1)=2(2x-1) 24. 3（x–2）2=x（x–2） 25. 2x（x–3）=x–3 26. (x–1)2+2x(x–1)=027. 28. 25x2–36＝0 29. 3x（x–1）＝2–2x 30. 4（x–3）＝2x（x–3）七、用十字相乘法解方程（每小题4分共16分）31. x2 +2x–15=0 32. x2–4x+3=0 33. x2 +8x–20 34. x2 –7x–18=0。

专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题(含答案)1.解方程：$2x^2-8x+3=0$，使用公式法。

2.解方程：$(2x-1)(x+3)=43$。

3.解方程：$4y^2+4y-1=-10-8y$。

4.解方程：$(x-1)(x-3)=8$。

5.解方程：$5x^2-8x+2=0$。

6.解方程：$x(x-3)=10$。

7.解方程：$x^2-2=-2x$。

8.解方程：$3x(7-x)=18-x(3x-15)$。

9.解方程：$4x(3x-2)=6x-4$。

10.解方程：$x^2+12x+27=0$。

11.解方程：$2x^2-4x+1=0$，使用配方法。

12.解方程：$4(x-1)^2=9(x-5)$。

13.解方程：$x^2-6=-2(x+1)$。

14.解方程：$x^2+4x-5=0$。

15.解方程：$2x^2+5x-1=0$。

16.解方程：$3(x-2)^2=x(x-2)$。

17.解方程：$2x^2-3x-2=0$。

18.解方程：$2x^2-7x+1=0$。

19.解方程：$x^2-6x-4=0$，使用配方法。

20.解方程：$x^2-4x-3=0$。

21.解方程：$x^2-5x+2=0$。

22.解方程：$x^2-4x+8=0$。

23.解方程：$3x^2-6x+4=0$。

24.解方程：$(x-2)(x-3)=12$。

25.解方程：$(x-3)(x+7)=-9$。

26.解方程：$3x^2+5(2x+1)=0$，使用公式法。

27.解方程：$x^2-12x-4=0$。

28.解方程：$(x-5)(x-6)=x-5$。

29.解方程：$x^2-8x-10=0$。

30.解方程：$x(x-3)=15-5x$。

31.解方程：$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。

32.解方程：$x^2+8x+15=0$。

33.解方程：$25x^2+10x+1=0$。

34.解方程：$x^2+6x-7=0$，使用配方法。

35.解方程：$x^2+4x-5=0$，使用配方法。

专题21.5 一元二次方程解法-直接开平方法（专项练习）一、单选题1．方程24x =的解是（ ） A ．x=2B ．x=﹣2C ．x1=1，x2=4D ．x1=2，x2=﹣22．方程2(1)4x +=的解是（ ） A ．12x =，22x =- B ．1233x x ==-，C ．1213x x ==-， D ．1212x x ==-，3．若()222a =-，则a 是（ ） A ．-2B ．2C ．-2或2D ．44．方程（x +1）2＝0的根是（ ） A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1，x 2＝1D ．无实根5．一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（ ）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-6．如果代数式3x 2-6的值为21，则x 的值为（ ） A ．3B ．±3C ．-3D ．7．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ） A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=08．若2x+1与2x -1互为倒数，则实数x 为( )A．x=12±B ．x ＝±1C ．D ．9．若a ,b ,c 满足0,0,a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩则关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解是( )A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根10．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ） A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝2311．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ） A ．3125x x +=- B ．31(25)x x +=-- C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 1B ．1C 1或1D ．无法确定13．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-14．如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E ，BF⊥DE ，交 AM 于点 F ．若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（ ）AB ．C ．4D 二、填空题15．方程x 2－3＝0的根是__________．16．方程x 2的两根为x 1=__________，x 2=__________．17．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +1）﹡3＝0的解为_____．18．方程的()()222134x x -=+解是_______________．19．若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________． 20．方程22(1)2020x -=的根是__________．21．若实数a 、b 满足()22229a b +-=，则22a b +的值为___________．22．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2m +与25m -，则ba=________.23．如果关于x 的方程（m ﹣1）x 3﹣mx 2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____． 24．已知关于x 的方程a （x +m ）2+b =0（a ，b ，m 均为常数，且a ≠0）的两个解是x 1=3，x 2=7，则方程21402a x m b ⎛⎫++=⎪⎝⎭的解是________． 25．已知2222(2)(2)5a b a b +++-=,那么22a b +=_____. 4224009999x x x --=26.方程的解是27．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为______．2(1)(3)27x x −−→-−−→⨯-−−→-输入输出三、解答题 28．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=； （3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．参考答案1．D解：x 2=4，x =±2. 故选D.【点拨】本题利用方程左右两边直接开平方求解. 2．C解：⊥(x ＋1)2=4，⊥x +1=±2， 解得x 1=1，x 2=﹣3. 故选C. 3．C 【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 解：()2224a =-=2a ∴=±故选C【点拨】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．4．B 【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解. 解：(x +1)2＝0, 解: x +1=0,所以x1＝x2＝﹣1, 故选B.【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.5．D解：将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．6．B解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．【点拨】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．7．A【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.解：⊥(x-1)0有意义，⊥x-1≠0，即x≠1，⊥x2=（x﹣1）0⊥x2=1，即x=±1⊥x=-1.故选A.【点拨】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.8．C解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=12；开方得：x故选C．9．C解：【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.因为a+b+c=0——⊥；a-b+c=0——⊥且a≠0,联立两式⊥+⊥得a+c=0, 即a=-c,b=0,代入ax²+bx+c=0得：ax²-a=0解得x=1或x=-1故选C【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c 的特殊关系. 10．D 【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12， 解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827， 所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点拨】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．11．C 【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．12．C 【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．解：由题意得：()2319x --=-，()213x -=，1-=x ，1x =±即1x =或1x =， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键． 13．D 【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=，前式减后式，可得0b =，前式加后式，可得4c a =-，将a 、c 代入原方程计算求出方程的根．解：⊥根据题意可得：420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②，⊥－⊥＝40b =，得0b =， ⊥＋⊥＝820a c +=， ⊥解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得，⊥240ax bx a +-=， 240ax a -= 24ax a =⊥2x =± 故选：D ．【点拨】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．14．B 【分析】因为AF ＝AE +EF ，则可以通过证明ABF ⊥DAE ，从而得到AE ＝BF ，便得到了AF ＝BF +EF ，再利用勾股定理求出DE 的长即可．解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝AB ，⊥BAD ＝90° ⊥DE ⊥AG ，⊥⊥DEM ＝⊥AED ＝90° ⊥⊥ADE +⊥DAE ＝90°又⊥⊥BAF +⊥DAE ＝⊥BAD ＝90°， ⊥⊥ADE ＝⊥BAF ． ⊥BF ⊥DE ，⊥⊥AFB ＝⊥DEG ＝⊥AED ． 在ABF 与DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABF ⊥DAE （AAS ）． ⊥BF ＝AE ，⊥BF ⊥DE ，⊥AED ＝90° ⊥⊥AFB ＝90°， ⊥E 是AF 的中点， ⊥AE ＝EF ， 又⊥BF ＝AE ， ⊥BF ＝EF ＝AE ， 设BF 为x ，则AF 为2x ， ⊥AB 2＝AF 2+BF 2， ⊥52＝（2x ）2+x 2，解得x＝， ⊥AF ＝2x＝ ⊥DE ＝AF ， ⊥DE＝ 故选：B ．【点拨】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．15．x1x 2.解：试题分析：移项得x 2=3，开方得x 1=，x 2= -．考点：解一元二次方程． 16． -【分析】先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根. 解：移项得28x =，解得：12x x ==-故答案为-【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键. 17．x=2、-4 【分析】先根据新定义得到()22130x +-=，再移项得()219x +=，然后利用直接开平方法求解. 解：(x+1)﹡3＝0，∴()22130x +-=， ∴()219x +=，13x +=±，所以2x =、4-. 故答案为：2x =、4-.【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成2x p =的形式，那么可得x p =±，如果方程能化成()2nx m p +=（0p ≥）的形式，那么nx m p +=±.18．1235,5x x =-=-【分析】运用直接开平方法求解即可． 解：()()222134x x -=+开方得：2134x x -=+，()2134x x -=-+1235,5x x ∴=-=-【点拨】此题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答此题的关键．19．1或12-【分析】根据题意设a+b=x ，根据()()2211a b a b ++-=，得出x （2x -1）=1，解方程即可． 解：设a+b=x ，则x （2x -1）=1，则有（x -1）（2x+1）=0，解得x=1或12-，即a b +=1或12-.故答案为： 1或12-.【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．20．122021,2019x x ==- 【分析】利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可． 解：()2212020x -=12020x -=±，解得：122021,2019x x ==-； 故答案为122021,2019x x ==-．【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21．5 【分析】利用平方根的含义求解2223,a b +-=±再利用非负数的性质可得答案．解：()22229ab +-=，2223,a b ∴+-=±225a b ∴+=或221a b +=-，又220,a b +≥22 5.a b ∴+=故答案为：5.【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．22．9解：分析：本题利用直接开平方法求出解互为相反数，从而解出m 的值，得出所求的值即可.解析：2,b x x a == 所以这两个解互为相反数，即2m ++25m -=0，解得m=1,⊥这两个根为±3，所以b a=9. 故答案为9.23．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m 的取值范围，再代入方程解方程即可．解：由题意得：10{0m m -=-≠， ⊥m=1，原方程变为：﹣x 2+2=0，x=故答案为【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．24．32或72【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出m 和b a的值，然后代入所求方程整理求解即可． 解：⊥方程()20a x m b ++=的解为：x 1=3，x 2=7，⊥()()223070a m b a m b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩， 解得：54m b a=-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ⊥21402a x m b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，0a ≠， ⊥21402b x m a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ⊥254402x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ⊥32x =或72， 故答案为：32或72． 【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．25．3.【分析】把22a b +看成一个整体设为x ，再解一元二次方程舍去负值即可.解：设22a b x +=,则原方程化为:()()225x x +-=,29x =,3x =±,220a b +>,223a b ∴+=,故答案为:3.【点拨】本题考查的是解方程，关键是将22a b +看成一个整体，即整体思想的应用，易错点是要注意22a b +的非负性，注意根的取舍.26．﹣9或11解：由题意可得：x 4﹣2x 2﹣400x=9999（x 2+1）2=（2x+100）2⊥当x 2+1=2x+100时，经化简可得（x ﹣1）2=100解得x=﹣9或x=11．⊥当x 2+1=﹣2x ﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，因此x 的值应该是﹣9或11．故答案是：﹣9或11.【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．27．4或2-【分析】根据运算程序可得关于x 的方程，解方程即得答案．解：根据题意得：2(1)(3)27x -⨯-=-，化简得2(1)9x -=，13x ∴-=±，解得4x =或2x =-．故答案为：4或2-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是解题的关键．28．（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．解：（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=， 2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点拨】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．。

专题21.4 一元二次方程解法-直接开平方法（知识讲解）【学习目标】1. 掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】直接开平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2） 直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2= p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。

（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

【典型例题】【知识点一】用直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ）A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=- 【答案】D【分析】根据直接开平方法可以解答本题．解：∵（x +1）2=16，∵x +1=±4，∵x +1=4或x +1=-4，故选：D ．【点拨】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 举一反三：【变式1】若（a 2+b 2﹣3）2＝25，则a 2+b 2＝（ ）A ．8或﹣2B ．﹣2C ．8D ．2或﹣8【答案】C【分析】先直接开平方求得a 2+b 2﹣3＝±5，然后再整体求出a 2+b 2即可．解：∵（a 2+b 2﹣3）2＝25，∵a 2+b 2﹣3＝±5，∵a 2+b 2＝3±5，∵ a 2+b 2＝8或a 2+b 2＝﹣2∵a 2+b 2≥0∵a 2+b 2＝8．故选：C ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键．【变式2】方程()23250x --=的根是（ ）A ．5和5-B ．2和8-C ．8和2-D ．3和3-【答案】C【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案．解：()23250x --=(x -3)2=25，∵x -3=±5，∵x=8或x=-2，故选：C ．【点拨】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．2.已知方程（x 2+y 2﹣1）2＝16，则x 2+y 2的值为______．【答案】5【分析】根据直接开平方解得2214x y +-=±，再根据220≥+x y 计算即可； 解：∵（x 2+y 2﹣1）2＝16，∵2214x y +-=±，∵225x y +=或223x y +=-，∵220≥+x y ，∵225x y +=；故答案是5．【点拨】本题主要考查了直接开平方法解方程，准确计算是解题的关键．举一反三：【变式1】方程42=x －320的实数解为__________．【答案】1=2x ；2=2x -【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出2x ，舍去负值后进一步开平方即可． 解：移项后可得：4232,x =416x ∴=24x ∴=或24x =-（舍）122,2x x ∴==-故答案为： 122,2x x ∴==-．【点拨】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将方程逐步转化为n x a =(n 为偶数，a 为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，注意解题过程中不符合条件的值舍去即可．【变式2】已知()222181x y ++=，则22x y +=_________． 【答案】8【分析】将等号两边同时开平方，解出22xy +的值，再根据22x y +的非负性进行取舍即可．解：()222181x y ++=，221x y ++= 22x y +=8或－10，22x y +≥0，∴22x y +=8．故答案为：8．【点拨】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如2()(0)ax b p p +=≥的形式，那么可得ax b +=3.解下列方程：（1）(x －1)2＝9； （2）32160x -=．【答案】（1）x 1＝4，x 2＝-2； （2）x = 2【分析】（1）根据直接开平方法求解一元二次方程，即可得到答案；（2）根据立方根的性质求解，即可得到答案．解：（1）∵(x －1)2＝9∵x －1＝±3∵x 1＝4，x 2＝-2．（2）移项，得3216x =∵38x = ∵x = 2．【点拨】本题考查了一元二次方程、立方根的知识；解题的关键是熟练掌握直接开平方法求解一元二次方程、立方根的性质，从而完成求解．举一反三：【变式1】解方程：2(1)40x 【答案】x =1或x = -3【分析】移项，利用直接开平方法，求解即可．解：∵2(1)40x ，∵2(1)4x +=，∵x +1=2或x +1=-2，解得x =1或x = -3．【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．【变式2】解方程：()22240x --=．【答案】12x =22x =【分析】方程整理后，用开平方法进行解方程．解：()22240x --=整理得：()222x -=两边开平方得：2x -=即2x -=2x -=所以12x =22x =【点拨】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的特点选择合适的方法是提高解题效率的关键．【知识点二】用直接开平方法解一元二次方程的应用4.给出一种运算：对于函数n y x =，规定1n y nx -'=．例如：若函数41y x =，则有314y x '=．若函数32y x =，求方程212y '=的解． 【答案】12x =，22x =-【分析】根据题中新定义的运算，先求出2y '，代入已知条件，然后求解一元二次方程即可．解：∵32y x =，∵223y x '=，∵2=12y '∵2 312x =∵24x =∵12x =，22x =-，∵2y '的解为：12x =，22x =-．【点拨】题目主要考查求一元二次方程的解，理解新运算的计算方法，并结合一元二次方程是解题关键．举一反三：【变式1】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如()222924,3210x x x x =-=+-=，．．．都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如()20x a a =≥的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程29x =的思路是：由x =123,3x x ==-．解决问题：()1解方程2(2)4x -=解：2x -=22,x ∴-=，或2x -=124,x x ∴==()2解方程：()231250x --=【答案】（1）2,0-；（2）1242,3==-x x 【分析】（1 （2）根据例题的解答方法求解即可.解：（1）2x -=22,x ∴-=，或2x -=-2，124,x x ∴==0，故答案为：-2,0；（2）()231250x --=，315x ∴-=±，315x ∴-=或315,x -=-1242,3x x ∴==-. 【点拨】此题考查解一元二次方程的方法，运用平方根的特征将一元二次方程直接开方化为一元一次方程，正确理解题目中解方程的方法是解题的关键.【变式2】如图，用两个边长为cm 的小正方形拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长？(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为60cm 2若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由．【答案】(1)10cm (2)能，理由见分析【分析】（1）根据已知正方形的边长即可求出大正方形的边长；（2）先求出长方形的边长，再判断即可．解：（1）大正方形的边长10=；（2）设长方形纸片的长为3xcm ，宽为2xcm ，则3260x x ⋅=，解得：x =，331010x =，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3:2，且面积为260cm ．【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理，解一元二次方程，能根据题意列出算式是解此题的关键．祝福语祝你考试成功!。

一元二次方程的解法 公式法 因式分解法一、选择题1. 方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )．A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x -1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若最新x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )． A ．x ＝2或x ＝1 B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )．A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．12．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x 2﹣16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．三、解答题13. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=； （2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ．2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0， ∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x+=+=． 8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到最新x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-． 9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12．10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-； (3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．∴ 14a =． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．12.【答案】24或8．【解析】解：∵x 2﹣16x +60=0，∴（x ﹣6）（x ﹣10）=0，解得：x 1=6，x 2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高，∴BD=4，AD==2，∴S △ABC =BC•AD=×8×2=8； 当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，S △ABC =BC•A C=×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8．故答案为：24或8．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞ ∴2224412a a x a a ±+==±+ ∴22121, 1.x a a x a a =++=-+（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞， ∴ 222224()2B B AC a b a b x ab-±-+±-==， ∴ 222221222a b a b a a x ab ab b++-===， 222222()222a b a b b b x ab ab a+--===， ∴ 1a x b =，2b x a=． 14.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x-3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8.∴ 42x ±=± ∴12=2=2.x x +（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1.15.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32 ；32； 3 ；-1. ③ 73- ； 1 ； 43- ； 73- . ；；b a - ；c a. (3)1232x x +=-，1212x x =-． ①1212123112312x x x x x x -++===-． ②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．1、最困难的事就是认识自己。

21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。