人教A版高中数学高二选修2-1试题 2.3.2双曲线的简单几何性质

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精心校对 2.3.2 双曲线的简单几何性质

课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．

1．双曲线的几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1

(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1

(a>0，b>0)

图形

性质 焦点

焦距

范围

对称性

顶点

轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____

离心率

渐近线

2.直线与双曲线

一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①

双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，

Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； 高中数学-打印版

精心校对 Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．

一、选择题

1．下列曲线中离心率为62的是( )

A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1

C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝1

2．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是( )

A．y＝±25x B．y＝±52x

C．y＝±425x D．y＝±254x

3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的方程为( )

A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2

C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3

4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )

A．y＝±2x B．y＝±2x

C．y＝±22x D．y＝±12x

5．直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )

A．1条 B．2条 C．3条

D．4条

6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )

A .43 B 53 C. 2 D .73

题 号 1 2 3 4 5

6

答 案

二、填空题

7．两个正数a、b的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝______.

8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动高中数学-打印版

精心校对 的轨迹方程是________________．

9．与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为 __________．

三、解答题

10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)经过点154，3，且一条渐近线为4x＋3y＝0；

(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.

11．设双曲线x2－y22＝1上两点A、B，AB中点M(1,2)，求直线AB的方程．

能力提升

12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂高中数学-打印版

精心校对 直，那么此双曲线的离心率为( )

A.2 B.3

C.3＋12 D.5＋12

13．设双曲线C：x2a2－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

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精心校对 1．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.

2．双曲线的离心率e＝ca的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且ba＝e2－1，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．

3．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，也可记为x2a2－y2b2＝0；与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2a2－y2b2＝λ (λ≠0)．

2.3.2 双曲线的简单几何性质

知识梳理

1.

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)

图形

性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R

对称性 关于x轴、y轴和原点对称

顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)

轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b

离心率 e＝ca(e>1)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

2.(1)一点 (2)两个 一个 没有

作业设计

1．B [∵e＝62，∴e2＝c2a2＝32，∴b2a2＝12，故选B.]

2．A 高中数学-打印版

精心校对 3．C [由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为0，±32，

则双曲线的焦点坐标为0，±32，又由渐近线方程为y＝2x，得ab＝2，即a2＝2b2，又由322＝a2＋b2，得a2＝12，b2＝14，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]

4．C [由题意知，2b＝2,2c＝23，则b＝1，c＝3，a＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x.]

5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]

6．B [||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，

所以|PF2|＝2a3≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，

则ca≤53.]

7.133

解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.

又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝13，从而e＝ca＝133.

8.x29－y216＝1(x>3)

解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x29－y216＝1(x>3)．

9.x294－y24＝1

解析 ∵所求双曲线与双曲线x29－y216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ

(λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上，

∴λ＝－329－23216＝14.

∴所求双曲线的方程为x294－y24＝1. 高中数学-打印版

精心校对 10．解 (1)因直线x＝154与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1，由 1542a2－32b2＝1，b2a2＝432，

解得 a2＝9，b2＝16.故所求的双曲线方程为x29－y216＝1.

(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．

因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，

所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.

又P与两顶点连线夹角为π3，

所以a＝|OP|·tanπ6＝23，所以b2＝c2－a2＝24.

故所求的双曲线方程为x212－y224＝1.

11．解 方法一 (用韦达定理解决)

显然直线AB的斜率存在．

设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，

即y＝kx＋2－k，由 y＝kx＋2－kx2－y22＝1

得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，

当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则1＝x1＋x22＝k2－k2－k2，

∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.

方法二 (用点差法解决) 高中数学-打印版

精心校对 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21－y212＝1x22－y222＝1，

两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)．

∵x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝2x1＋x2y1＋y2，

∴kAB＝2×1×22×2＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，

代入x2－y22＝1满足Δ>0.

∴直线AB的方程为y＝x＋1.

12.

D [设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，

而kBF＝－bc，∴ba·(－bc)＝－1，整理得b2＝ac.

∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，

解得e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，故选D.]

13．解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得 x2a2－y2＝1，x＋y＝1有两个不同的解，

消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①

∴ 1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a2>0，

解得－2

又∵a>0，∴0