自由电子费米气体详解演示文稿

自由电子费米能级计算公式

费米能级（Fermi Level）是半导体物理中的重要概念，不可不知。

前面几节中介绍的能带图，描述了晶体中的电子所可能具有的能量值。打个不十分恰当的比喻，能带图就好比是在一个蜿蜒连绵的山区中，沿着高高低低、层层重叠的山坡谷底，建造了许许多多的房子。每种晶体有各自独特的建房方案。所有这些房子都是单间房，因为电子绝不与别人同居。每间房子，电子可能住进去了，也可能还没住。电子到底住没住？住进某个房间的几率是多少？一定的条件下，电子是如何分布在这些房间中的？很遗憾，这些从能带图上看不出来。那么，哪一个参数才会告诉我们这些信息呢？这个参数就是费米能级。

所以，费米能级并不高深神秘，只是具有能量量纲的某个数值而已。不过，一个参数就能供给我们这么多的信息，这个数值也还是挺神的。

费米能级可以告诉我们电子的分布情况，所以应该和统计现象有关。

物理学中有3种不同的统计规律：波尔兹曼统计、波色爱因斯坦统计、和费米狄拉克统计。它们分别适用于三种不同性质的微观粒子：经典粒子、玻色子、和费米子。相对于经典粒子而言，玻色子和费米子服从量子力学的规律。从统计观点来看，它们和经典粒子的不同之处是在于它们的不可区分性，或者说，玻色子和费米子是全同粒子。

什么是全同粒子呢？所谓全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。以经典力学的观点，即使两个粒子的上述性质全同，它们也仍然可以从运动的不同轨道而被区分。但在量子力学中，由于测不准原理，粒子没有确定的轨道，因而当两个粒子间距大大小于它们的德布罗意波长时，就无法区分了。至于费米子和玻色子的不同秉性，我们曾经描述过一点点儿：费米子是独行侠，就像电子那样，必须每人单独住一间房，而玻色子呢，则可以群居。

这3种粒子本性的不同，又如何影响它们的统计分配规律呢？让我们从一个简单的例子：两个粒子（A、B）分住三间房子（F1、F2、F3）的情况，来体会这点。

例题

6．1 自由电子的费密能量

(a) 导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式；

(b) 一个简单立方点阵的单价金属，已知点阵常数3aÅ，每个原子只贡献

一个传导电子．试计算费密能量

F

、费密波矢

Fk、费密温度

FT及费密面上电子

的波长；

(c) 计算简单立方点阵第一布里渊区中放电子填充的状态所占的分数．

[解]

(a) 金属中的电子浓度为



F

ngd





其中

g

是自由电子状态密度，





2222

,0

0,0mm

g









于是有

12

222

02

Fmm

nd







2

23

2

3

2Fn

m



(b)首先求出电子浓度n，



223

33

811

3.70410cm

310n

a





于是费米波矢为

13

281

31.03110cm

Fkn



费米能量为

22

4.05eV

2F

Fk

m



费米温度

FT为

47,000KF

F

BT

k

 费米面上电子的波长为

82

6.09410cm6.094

F

Fk



Å

(c)简单立方点阵的第一布里渊区是一个边长为2

a

的立方体，其体积为

3

3

328

BZ

aa









自由电子费密球的半径为



13

2

13

2

33

3

Fkn

a









费密球的体积为

3

3

344

3FSFk

a



第一布里渊区中被电子占据的状态所占的分数为

33

3341

82FS

BZa

a







第一布里渊区中有一半状态被电子占据．

6．2 自由电子气体基态下的动能，压强和体弹性模量

(a)证明三维自由电子气体基态下的动能为

03

5FUN



N是电子数，NnV；

(b)证明基态下电子气体的压强与体积的关系为

02

3PUV

(c)证明基态下自由电子气体的体弹模量为

02

53109

3FBPUVn



(d)估计钾电子气体对B的贡献．

[解] (a) 2522

0

32

4210

FF

kkVkVk

Udk

mm

在极端相对论条件下（ε=cp），自由电子气体在0K时的费米能量和内能的推导过程：

在极端相对论条件下，电子的动量能量关系为ε＝c p 。在体积V内，能量在ε到ε+dε范围内，电子的量子态数为d)(8d)(23chVg考虑到T=0K时的电子分布函数 f ＝1 ε≤μ0 f ＝0 ε≥μ0

费米能量由下式决定00d)(d)()(ggfN30032331)(8)(80chVdchV

由上式得3/1083VNhc

T=0K是系统的内能为0000d)(d)()(ggfU02030334341)(8d)(80NchVchV

1 第六章 金属电子论

主要内容：金属自由电子气的量子理论

 电子气的能量状态

 费米－狄拉克统计

 电子气的热容量

 金属电导率、功函数、热电子发射

金属电导和热导的宏观规律

 欧姆定律（1821年）:

 维德曼－弗兰茨定律 （1853年）

 在不太低的温度下，金属的热导率和电导率的之比正比于温度，其比例常数的值不依赖于具体的金属（该常数称为洛伦茨常数）

6.1自由电子气的量子理论

金属由两部分构成：

 位于晶格的离子实（ion core，由原子核和内层电子构成，在形成晶体时，离子实的变化可以忽略）

 价电子（valence electron），价电子游历于固定的离子实周围，弥散于金属内部的全部空间，构成自由电子气（electron gas）

自由电子气模型的基本假定：

① 独立电子假设：忽略电子与电子之间的库仑排斥相互作用。

② 自由电子假设：忽略电子和离子之间库仑吸引相互作用。

③ 金属中传导电子是服从量子力学规律费米子，其能态由薛定谔方程决定。电子在每个能态上的分布由费米－狄拉克统计决定。

一、电子气的能量状态

索末菲提出，金属中传导电子能量状态（称为单电子的本征态），可以从在一定深度的势阱中运动的粒子的能态估算。为了计算方便，通常设势径的深度是无限的（即金属外电子的势能为无穷大）

Ej 2

3

几个定性的结论

 在T=0K时，k空间费米球中的量子态全部被电子占满，费米球外的量子态是空态。

 当温度T>0K时，由于热激发，费米面附近的电子可能跃迁到费米球以上的空态。

 只有费米面附件的电子才能导电和导热，

 决定金属许多性质只是在费米面附近的那一小部分电子。

(在绝对零度时，波矢空间费米球中的量子态全部被电子占满，费米球外的量子态全部是空态。由于泡利原理和没有激发能量，所有电子都被限制在费米面以下，有时形象地描述为电子被冻结在费米海中。