《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查51 直线与圆、圆与圆的位置关系
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- 1 - 开卷速查(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系
A级 基础巩固练
1．已知点M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相离
解析：因M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，故x20＋y20＜a2，圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离d＝|a2|x20＋y20＞|a2||a|＝a，故直线与圆相离．
答案：C
2．若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：由圆的方程得该圆圆心为C(－1,2)，则CP⊥AB，直线CP的斜率为－1，故垂直于AB的直径所在直线的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.
答案：B
3．过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为( )
A．x＋y＝0
B．x－y＝0
C．x＋y＝0或x－y＝0 - 2 - D．x＋3y＝0或x－3y＝0
解析：圆x2－4x＋y2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k，则直线方程为y＝kx，则|2k|k2＋1＝2，
∴k2＝1，∴k＝±1，∴直线方程为y＝±x.
答案：C
4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A．k＝12，b＝－4 B．k＝－12，b＝4
C．k＝12，b＝4 D．k＝－12，b＝－4
解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝12，b＝－4.
答案：A
5．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．52－4 B．17－1
C．6－22 D.17
解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1， - 3 - |PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝2－32＋－3－42－4＝52－4，故选A项．
答案：A
6．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A.33 B．－33
C．±33 D．－3
解析：曲线y＝1－x2的图像如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝－2kk2＋1.
又S△AOB＝12|AB|·d＝12×21－d2·d＝1－d2·d2≤1－d2＋d22＝12， - 4 - 当且仅当1－d2＝d2，即d2＝12时，S△AOB取得最大值．所以2k2k2＋1＝12，∴k2＝13，∴k＝－33.故选B项．
答案：B
7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有__________个．
解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，
∴圆心到直线l的距离d＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P有2个．
答案：2
8．已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于__________．
解析：依题意，直线l：y＝－3(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0，3)．由 x2＋y2＝1，y＝－3x－1，得点M的横坐标xM＝12，所以△MOA的面积为S＝12|OA|×xM＝12×3×12＝34.
答案：34
9．已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝3，则该圆的标准方程是__________． - 5 - 解析：依题可设⊙C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b＞0)，且322＋b2＝1，可解得b＝12，
所以⊙C的标准方程为(x－1)2＋y－122＝1.
答案：(x－1)2＋y－122＝1
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解析：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34， - 6 - 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以x2＋y－32＝2x2＋y2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，
即x2＋(y＋1)2＝4.
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，
所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，
即1≤a2＋2a－32≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.
所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.
B级 能力提升练
11．已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是( ) - 7 - A．1 B．2
C．3 D．4
解析：根据点到直线的距离公式有d＝r2x20＋y20，若点P在圆O上，则x20＋y20＝r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x20＋y20＞r2，d＜r，相交；若点P在圆O内，则x20＋y20＜r2，d＞r，相离，故只有①正确．
答案：A
12．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA→＋OB→|≥33|AB→|，那么k的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．[2，22) D．[3，22)
解析：当|OA→＋OB→|＝33|AB→|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝2；当k＞2时|OA→＋OB→|＞33|AB→|，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k＜22，综上，k的取值范围为[2， - 8 - 22)，故选C.
答案：C
13．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝423，求直线MQ的方程．
解析：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，则圆心M到切线的距离为1，
∴|2m＋1|m2＋1＝1，∴m＝－43或0.
∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝|MQ|2－|MA|2＝|MQ|2－1≥|MO|2－1＝3.
∴四边形QAMB面积的最小值为3.
(3)设AB与MQ交于P，
则MP⊥AB，MB⊥BQ，
∴|MP|＝1－2232＝13.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，
即1＝13|MQ|， - 9 - ∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，
∴x＝±5，∴Q(±5，0)．
∴MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量OA→＋OB→与PQ→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，
解得－34
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)则OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－4k－3 1＋k2.② - 10 - 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③
因P(0,2)、Q(6,0)，PQ→＝(6，－2)，
所以OA→＋OB→与PQ→共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－34.
而由(1)知k∈－34，0，
故没有符合题意的常数k.
