【附加15套高考模拟试卷】湖南长沙长郡中学2020届高三下学期第三次调研数学(文)试卷含答案

湖南长沙长郡中学2020届高三下学期第三次调研数学（文）试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A．12 B．32 C．34 D．64

2．定义在区间 , 上的奇函数 fx

为增函数；偶函数 gx 在 0, 上的图象与 fx

的图象重合．设 0ab，给出下列不等式：

① fbfagagb

② fbfagagb

③ fafbgbga

④ fafbgbga

其中成立的是 ( )

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

3．执行如图所示的程序框图，输出20172018S，那么判断框内应填（ ）

A．2017?k… B．2018?k… C．2017?k„ D．2018?k„

4．已知函数()sin()fxx（0，||2）的零点构成一个公差为2的等差数列，3(0)2f，则()fx的一个单调递增区间是

A．5(,)1212 B．(,)63 C．5(,)1212 D．7(,)1212

5．过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为4的直线l，若l与抛物线交于A，B两点，且AB的中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为（ ） A．83

B．1

C．2

D．3

6．若1tan2，则3sin22（ ）

A．25 B．25 C．35

D．35

7．在直角坐标平面内，已知(2,0)A，(2,0)B以及动点C是ABC的三个顶点，且sinsin2cos0ABC，则动点C的轨迹曲线的离心率是（ ）

A．22 B．32 C．2 D．3

8．已知数列na的前n项和为2nSnn，将该数列按下列格式（第n行有12n个数）排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个数字为（ ）.

A．142 B．270 C．526 D．1038

9．已知集合2|00,1xxax，则实数a的值为（ ）．

A．1 B．0 C．1 D．2

10．已知函数202fxsinx＞，，的部分图象如图所示，其213AB，把函f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（ ）

A．2sin12gxx B．22sin123gxx

C．2sin36gxx D．2cos3gxx 11．已知函数()2sin(2)6fxx，若对任意的(1,2)a，关于x的方程()0(0)fxaxm总有两个不同的实数根，则m的取值范围为（

）

A．2,23 B．,32 C．2,23 D．,63

12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:10,0xyCbaab的左焦点为F，点B的坐标为(0，b)，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且5PBBQuuuruuur，则双曲线C的离心率为

A．23 B．32 C．3 D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，则an＝________．

14．如图所示，在平面四边形ABCD中，2AB，3BC，ABAD，ACCD，3ADAC，则AC__________．

15．已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．

16．已知ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1cos4B，4b，sin2sinAC，则ABC△的面积为____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS．若对任意21,2nnnnNS都成立，求na；若122121,2,nnnaabaa，且数列nb是公比为3的等比数列，求2nS．

18．（12分）已知函数2()fxxx.设()ln()'()gxxfxfx，求()gx的最大值及相应的x值；对任意正数x恒有11()()()lnfxfxmxx，求m的取值范围.

19．（12分）设椭圆的左顶点为，右顶点为．已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为．求椭圆的标准方程；设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围．

20．（12分）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元;

方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元.

某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数 0 1 2 3

机器台数 20 10 40 30

以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记X表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.

1求X的分布列；

2以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？

21．（12分）已知抛物线22(0)xpyp过点(2,1).求抛物线的方程和焦点坐标；过点(0,4)A的直线l与抛物线交于两点,MN，点M关于y轴的对称点为T，试判断直线TN是否过定点，并加以证明.

22．（10分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.设事件A为 “选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

2．C

3．C

4．C

5．C

6．D

7．A

8．B

9．A

10．A

11．B

12．B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．2n

14．3

15．14

16．15

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）3,12,2nnann（2）23312nnS

【解析】

【分析】

（1）由212nnnS得21122nnnSn，,两式做差得到通项nan，2n，再检验n=1时，首项即可；（2）2123421212nnnnSaaaaaabbb，根据等比数列的求和公式得到前n项和.

【详解】

（1）由212nnnS

得21122nnnSn，

两式相减得：nan，2n

又1132aS，不满足nan， 3,12,2nnann

（2） 2122123421212nnnnnSaaaaaaaaabbb，1123baaQ，nb是公比为3的等比数列

212313331132nnnnSbbb

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知nS和na的关系，求na表达式，一般是写出1nS做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 18．（1）当1x时，()gx取得最大值(1)0g；（2）01m

【解析】

【分析】

（1）先化简函数g（x）＝lnx﹣f′（x）f（x）＝lnx﹣（2x﹣1）（x2﹣x），从而求定义域；再求导g′（x）2611xxx；从而确定函数的最大值及相应的x值；

（2）f（x）+f（1x）≥（x1x）•lnm可化为x2﹣x211xx（x1x）•lnm；从而化为lnm22111xxxxxx；化简得21()21xxxx1＝（x1x）21xx1；从而利用换元法求函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题．

【详解】

（1）∵2fxxx，∴'21fxx，

∴2ln'ln21gxxfxfxxxxx 32ln23xxxx

则221611'661xxgxxxxx

∵gx的定义域为0,，∴2610xx

①当01x时，'0gx；②当1x时，'0gx；③当1x时，'0gx

因此gx在0,1x上是增函数，在1,x上是减函数，

故当1x时，gx取得最大值10g.

（2）由（1）可知，222111112fxfxxxxxxxxx

不等式11lnfxfxmxx可化为21112lnxxxmxxx①

因为0x，所以12xx（当且仅当1x取等号）

设12xssx，则把①式可化为22lnsssm，即2ln1mss（对2s恒成立）

令21hsss，此函数在2,上是增函数，