2021中考数学系统复习28讲：第13讲 二次函数的图象和性质

1 第04讲 二次函数的图象和性质

(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：二次函数的定义

类型二：二次函数的图象与性质

类型三：二次函数的解析式

类型四：二次函数的平移问题

类型一：二次函数的定义

函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．

典型例题

例题1．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（ ）

A．y＝21x＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－12x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1

【答案】C

【详解】A. y＝21x＋x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

B. y＝x2－(x＋1)221x，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

C. y＝－12x2＋3x＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；

D. y＝3x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

故选C

点评：例题1考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如2yaxbxc（abc、、是常数，0a）的函数，叫做二次函数．

例题2．（2022·安徽宿州·九年级期末）如果221ymxmx是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ） 2 A．1m B．2m C．2m且1m D．全体实数

【答案】B

【详解】∵221ymxmx是关于x的二次函数，

∴20m，

∴2m，

故选B．

点评：例题2主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．

例题3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）

A．正方体集装箱的体积3my，棱长xm

二次函数的图象及性质

二次函数的图象及性质

1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，

甲：若b＝5，则点P的个数为0；

乙：若b＝4，则点P的个数为1；

丙：若b＝3，则点P的个数为1.

下列判断正确的是( )

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错

C．乙对，丙错 D．甲错，丙对

2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则( )

A.甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx (x＞0)的图象是( )

二次函数图象与性质的综合

4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.

(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．

考点解析

二次函数的概念及表达式

1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝ ；

13. 二次函数的图象与性质

基础训练

1. 抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( )

A. 直线x＝12 B. 直线x＝－12

C. y轴 D. 直线x＝2

2. 点A(1，y1)，B(－2，y2)在函数y＝－(x＋1)2＋2的图象上，则下列结论正确的是( )

A. 2＞y1＞y2 B. 2＞y2＞y1

C. y1＞y2＞2 D. y2＞y1＞2

3. (2020成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )

A. 图象的对称轴在y轴的右侧

B. 图象与y轴的交点坐标为(0，8)

C. 图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)

D. y的最小值为－9

4.若抛物线y＝ax2－4x＋c的开口向下，交y轴于正半轴，则抛物线的顶点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 在二次函数y＝x2＋2x－3中，当－3≤x≤0时，y的最大值和最小值分别( )

A. 0，－4 B. 0，－3 C. －3，－4 D. 0，0

6. 抛物线y＝2(x－1)2经过(m，n)和(m＋3，n)两点，则n的值为( )

A. 92 B. －92 C. 1 D. －12

7. (2020温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )

A. y3

C. y2

8. (2020泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )

9. (2020枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1.给出下列结论：

2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质

一、选择题

1. 已知二次函数y＝x2－x＋14m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )

A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2

2. 如图，抛物线的函数解析式是( )

A．y＝x2－x＋2

B．y＝x2＋x＋2

C．y＝－x2－x＋2

D．y＝－x2＋x＋2

3. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经过变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( )

A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度

C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度

4. (2019•成都)如图，二次函数2yaxbxc的图象经过点1,0A，5,0B，下列说法正确的是

A．0c B．240bac

C．0abc D．图象的对称轴是直线3x

5. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为( )

A. x1＝0，x2＝6 B. x1＝1，x2＝7

C. x1＝1，x2＝－7 D. x1＝－1，x2＝7

6. (2019•咸宁)已知点1,,1,,2,0AmBmCmnn在同一个函数的图象上，这个函数可能是

A．yx＝ B．2yx

C．2yx＝ D．2yx＝﹣

7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x12m，则y1

A．① B．②

C．③ D．④

8. 关于二次函数)0(542aaxaxy的三个结论：①对任意实数m，都有mx21与mx22对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则134a或341a；③若抛物线与x轴交于不同两点A,B，且AB≤6，则45a或1a.其中正确的结论是（ ）