概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。
意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。
大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。
进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。
不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。
注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
第五章大数定律与中心极限定理§5.１大数定律在实践中，人们发现事件发生的“频率”具有稳定性。
在讨论数学期望时，又看到在大量独立重复试验时，“平均值”也具有稳定性。
大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”和“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。
一、切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望,方差，则对任意正数，有下列切比雪夫不等式证明：（仅对连续性随机变量加以证明，离散型留给同学课下练习）设，则或例1利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率。
解：由切比雪夫不等式令，有。
例2设随机变量X的方差为2，试根据切比雪夫不等式估计。
解：由切比雪夫不等式令，有。
二、大数定律（一）重要概念及性质1.独立同分布的随机变量列如果对任何是相互独立的，那么称随机变量列是相互独立的。
此时，若所有的都有共同的分布，则称是独立同分布的随机变量列。
2．依概率收敛设为随机变量列，若存在随机变量，对于任意，有或则称随机变量列{}依概率收敛于随机变量，并用下面符号表示：或注：依概率收敛与高等数学中的收敛是不同的。
在高等数学中，{}为确定性变量，若，这是指对任意给定的，可找到，对所大于的，都有，而不会有例外。
在概率论中，{}为非确定性变量（随机变量），{}依概率收敛于，意味着对任意给定的，当充分大时，事件“”发生的概率很大，接近于1，但并不排除事件“”的发生，只不过是它发生的可能性很小而已。
因此，依概率收敛的条件比高等数学中的收敛的条件要弱，具有某种不确定性。
3.大数定律设{}为一随机变量列，并且存在，令，若则称随机变量列{}服从大数定律。
（二）重要定理1.（切比雪夫大数定律）设随机变量列相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界；，则对于对任意的正数，有。
证明：设，则代入切比雪夫不等式即得。
特殊情形：若具有相同的数学期望，则上式成为2.贝努里大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于对任意的正数，有。
