壁函数对大气边界层数值模拟结果的影响

壁函数对大气边界层数值模拟结果的影响由于湍流边界层在靠近壁面区域存在动态的涡旋结构，所以在高雷诺数情况下大涡模拟(LES)要有非常高的分辨率，但是解决这些涡旋结构使得大涡模拟的计算量和直接数值模拟一样大。

为了避免这种情况，我们可以用壁函数来模拟近壁的网格，它在固体边界上给大涡模拟提供了近似边界条件，使大涡模拟在高雷诺数条件下可以增大网格分辨率。

本文的目的就是为了模拟不同壁函数对湍流边界层数值模拟结果的影响，模拟流动的控制方程为纳维斯托克斯方程。

模拟采用全隐式的解耦方法,在LU分解和近似分解的基础上，速度项和压力项被解耦，同时保留了时间二阶精度。

在未加壁函数时，文章中使用了两种不同的亚格子模型分析了不同亚格子模型对湍流边界层数值模拟结果的影响，最后分析了不同壁函数、不同网格对结果的影响，并且将得到的结果与Lee和Moser的结果进行对比，使湍流边界层的模拟更加准确，并将结果推广到了大气边界层。

1.1 壁面模型介绍模拟流体流动在工程设计和分析中具有重要的应用价值。

因为层流的流动特征在时间和空间上的尺度非常小，而湍流的流动特征相对层流而言较大，所以模拟层流到湍流的转换过程是很困难的，这对动态流动的精确模拟产生了很大的阻碍。

在直接数值模拟的过程中，不需要添加其他模型就可以解决所有尺度的流动，但如果要模拟整个流动过程，所需的网格点非常多。

为了减少直接数值模拟的计算量，发展出了一种新的数值模拟方法——大涡模拟错误!未找到引用源。

，通过对湍流进行低通滤波，计算量显著减小，但是经过过滤，大涡模拟消除了许多小尺度结构。

从物理和工程学的角度来看，高频信息对实际问题的重要性不大，但是，它所携带的物理信息对流动的发展有重要影响，所以要对高频信息建立模型来模拟其对大涡模拟的影响，这种模型叫做亚格子模型。

目前已经发展出了许多有效的模型和方法错误!未找到引用源。

应用亚格子模型后，大涡模拟可以准确地应用于多种流动状态。

但是在近壁区域，因为流动是粘性的，所以亚格子模型在近壁区域不太准确，除此之外，这个区域的流动结构趋于各向异性，而亚格子模型主要用来对各向同性涡进行建模，各向同性涡只代表一小部分的总能量流，他们不能精确代表壁面附近的湍流应力，所以要解决近壁剪切应力产生的涡旋结构，所需要的网格点非常多，这就使得大涡模拟的近壁分辨率与直接数值模拟一样高。

为了模拟高雷诺数的湍流边界层，壁面模型逐渐被发展起来，壁面模型给大涡模拟提供了边界条件，所以大涡模拟不需要直接解决近壁区域。

当不直接计算靠近壁面的区域时，计算量显著减少。

一个典型的壁面模型错误!未找到引用源。

是在固体壁面用近似边界条件代替标准的无滑移速度边界条件，所以在不计算壁面区域的情况下，大涡模拟可以精确计算外部流动。

壁面附近除了垂直壁面方向大的速度梯度外，也包含许多有条纹结构，这些结构对湍动能和剪切应力的产生及输运是非常重要的，因为近似边界条件对这些结构有影响，所以近似边界条件对大涡模拟非常重要。

近似边界条件错误!未找到引用源。

有许多优势，其中一个就是壁面应力，为了更精确的模拟流动结构，必须保证近似边界条件的准确性。

另外，通过已知的平均速度廓线可以使壁面应力与流动状态直接相关，利用这种关系，已经发展出了许多模型。

1.2 代数壁面模型壁面模型主要分为三种：第一种为代数模型，代数模型在大涡模拟和壁面应力之间使用了一个简单的关系式；第二种为双层模型错误!未找到引用源。

，在双层模型中，壁面应力通过近壁动力学来确定；第三种为基于控制的壁面模型错误!未找到引用源。

，在这种壁面模型中引入了控制器，通过壁面应力的输入来控制大涡模拟。

这些模型共享的一个额外特点是：当垂直壁面的速度为零时，仅仅规定了与壁面速度分量平行的壁面应力。

用这种方法纯粹地从物理推导中很难确定法向速度，因为它的分量和垂直壁面方向的导数在壁面上为零。

一个额外的困难就是，如果法向速度非零，必须使穿过壁面的净质量输运为零，这就意味着，不可能根据局部大涡模拟数据来确定法向速度，需要从壁面上获得其他信息，所以在下面的讨论中假设法向速度为零。

本文中使用的壁面模型是代数应力模型，即壁面应力模型，下面将壁面应力模型做一个简要介绍。

壁面应力模型错误!未找到引用源。

是解决近壁区域的第一类方法，这种方法用壁面应力代替了传统的无滑移边界条件，所以不需要直接解决靠近壁面的湍流运动。

Deardorff （1970）首先应用了这个模型，他把这个模型应用于有限雷诺数平面槽道流的大涡模拟中：2222211u u y y zκ∂∂=-+∂∂ （1）2222w w y x ∂∂=∂∂ （2）其中u 和w 分别为流向和展向的速度分量，1y 为远离壁面第一个网格点的坐标，κ为冯卡门常数，这些边界条件是加在速度的二阶导数上的，与此同时，利用这些边界条件可以在壁面画出一条对数廓线，当这个边界条件和壁面条件结合时，u 和w 上的条件提供了模拟所需要的全部边界条件，使用这个模型，Deardorff 可以计算平面槽道中的流动，但平均统计数据和实验数据并不是很一致，这不仅仅归因于壁面模型，还与外部的网格分辨率有关。

Schumann 使用有限体积法和交错网格，计算了有限雷诺数的湍流流动，实现了大涡模拟平面槽道流的标准壁面应力模型错误!未找到引用源。

，在计算过程中假设壁面应力与第一个内部网格点上的速度方向相同，从而确定了壁面应力，特别地，使用了以下模型：1211()()()w w t u u y y u y ττνν++<>∂=+=∂<> （3） 13()w t w w y yτννν∂=+=∂ （4） 其中，<>代表水平平均，ν为分子粘度，t ν为涡流粘度，w τ<>代表平均流向壁面应力。

通过假设边界层处于平衡状态，反复迭代，使1y 处（槽道内层的第一个网格点）的水平平均流向速度满足壁面的对数律。

相比Deardorff 的粗分辨率计算，这个模型在槽道流中获得了比较好的结果。

现在对这个模型已经提出了一些改进，例如Piomelli （1989）提出的，在计算中考虑靠近壁面涡旋结构的倾斜；Grotzbach 使用了这种模型在壁面上施加了热量通量，计算过程中涉及到热传递。

像在之前提到的，壁面模型对于模拟环境流动有重要作用，在环境流动中，壁面应力根据局部和瞬时的对数廓线来定义（Mason 和Callen ），除对数律以外，其他平均速度廓线也被用来计算壁面应力，例如，在Werner 和Wengle （1991）的工作中使用了近壁线性廓线，并且用这些廓线预测得到的结果与Schumann 和Piomelli 得到的结果相同。

结合Mason 和Callen 的壁面模型，Mason 和Thomson 提出了一个随机后散射模型错误!未找到引用源。

，这个模型给近壁区的纳维斯托克斯方程施加了一个随机力，分析了从小尺度到大尺度过程中能量后向散射的影响，通过调整这个力的振幅，显著改善了Mason 和Callen 得到的平均速度廓线，Mason 、Thomson 和Piomelli在报告中指出：这个力“打碎”了大尺度结构，并且对速度场的影响不大，即没有明显改善外流中的平均速度，而且，从瞬时流中可看出，产生的流动结构和边界层上的结构并不相符。

除此之外，目前还没有方法选择随机力的振幅，因此这个壁面模型不能广泛应用于其他情况，但是证明了，为了更好的预测平均速度廓线，必须对标准壁面模型进行修正。

1.3 本文研究内容本文主要应用了Schumann和Werner提出的壁面模型来模拟壁面对外部流动的影响，在Schumann模型中，Grotzbach把Schumann的方法推广到了压力梯度不已知的情况。

在本文中，首先在低雷诺数情况下对不加壁函数的程序用直接数值模拟进行验证，引入亚格子模型后,同时对大涡模拟做了验证,并将两种数值模拟得到的结果与Lee和Moser的结果进行对比，然后讨论了不同亚格子模型对湍流边界层模拟结果的影响，最后将两种壁函数加到现在的程序中，检验不同壁函数、不同网格对湍流边界层结果的影响。

分别画出平均速度廓线、速度脉动和雷诺应力随湍流边界层高度的变化，与Lee和Moser得到的结果进行对比，并将结果推广到大气边界层，得出结论。

第二章对纳维斯托克斯方程的隐式速度解耦过程2.1 介绍随着直接数值模拟和大涡模拟这两种数值模拟方法越来越进步，出现了很多求解不可压缩纳维斯托克斯方程的有效数值算法，其成功的核心是对耦合的不可压缩动量方程和连续性方程解耦。

对文献的精读发现，之前的许多方法使用了半隐式的方案，即把隐式方案应用于粘性条件，显式方案应用于非线性对流条件，时间步通过CFL数控制。

Choi 和Moin在分步法的基础上采用了一个完全隐式的方法，首先对纳维斯托克斯方程在时间上离散，然后进行空间离散，用这种方法得到的中间速度分量是耦合的，后来使用牛顿迭代方法得到了中间速度分量。

为了防止迭代过程，Rosenfeld提出了一个非耦合的隐式解算器错误!未找到引用源。

，他设计了三个时间步的线性化方案，这个方案需要n-1步和n步的速度场来得到n+1步的速度，在不忽略时间二阶精度和稳定性的基础上，控制方程被解耦。

在最近的研究中，Kyoungyoun Kim，Seung-Jin Baek 和Hyung Jin Sung错误!未找到引用源。

对解决不可压缩湍流的纳维斯托克斯方程发展出了一种有效的数值计算方法，这个算法提出了一个新的隐式速度解耦过程，采用完全隐式的时间推进，在块LU分解和近似分解的基础上，速度项和压力项被解耦，同时保留了时间二阶精度，另外，由于隐式的对流条件，中间速度是耦合的，所以重点放在了对中间速度的解耦上，这就需要对第n个时间步的速度近似分解，这些解耦过程同样保留了时间二阶精度。

本文数值模拟的过程中也用到了这种解耦过程，第二部分将会对目前的数值解耦方法及方程的近似分解过程做一个简要的介绍，在第三部分，将会把这个解耦过程应用于槽道流，并用直接数值模拟进行验证，画出结果进行比较分析。

2.2 数值方法不可压缩的无量纲纳维斯托克斯方程为：1,(1,2,3)Re i i i j j i j ju u p u u i t x x x x ∂∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂ (1) 0i iu x ∂=∂ (2) 其中，i x 是笛卡尔坐标，i u 是每一个方向相应的速度分量，Re 是雷诺数，所有的分量都用特征长度进行了无量纲化。

在第n+1/2个时间步上，对上述两个方程进行空间和时间离散，方程可以写成如下的形式：111/2111(()())()22Re n n n n n n n u u H u H u Gp Lu Lu mbc t ++++-++=-+++∆(3)10n Du cbc +=+ (4)其中，L 代表离散的拉普拉斯算子，H 代表离散对流算子，G 代表离散梯度算子，D 代表离散散度算子。