最新数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的间隔 是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．已知21F ,F 是椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( )A ．12B ．31C ．41D ．225．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα⊂则 B ．若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－687．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1及CC 1的中点，则直线ED 及D 1F 所成角的大小是（ ）Q PC'B'A'CB AA ．15B ．13 C ．12D9. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 及平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．9010．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 及平面BCD 成60°的角；④AB 及CD 所成的角 是60°.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（11题） 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ， 且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCD （12题）C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积及△BEF 的面积相二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm 214.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为15．已知21F ,F 是椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆的离心率为16.过点A (4,0)的直线l 及圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 及△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1俯视图分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）18．已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求的最大值及最小值；（2）求y x +2的最大值及最小值.19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ∥平面ACD ；（2）求AD 及平面ABE 所成角的正弦值（19题）20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， （1）务实数m 的取值范围；（2）若直线l ：x +2y －4=0及圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。

数学必修二试题全(附答案)work Information Technology Company.2020YEAR第一章 空间几何体一、选择题1．右面的三视图所示的几何体是( )．A ．六棱台B ．六棱锥C ．六棱柱D ．六边形 (第1题)2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( )． A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶813．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )．4．A ，B 为球面上相异两点，则通过A ，B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有( )．A ．一个B ．无穷多个C ．零个D ．一个或无穷多个5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )． )．A B C D6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( )．A ．1块B ．2块正(主)视图侧(左)视图 A B C D(第3题)正视图侧视图俯视图(第5题)正视图俯视图侧视图C．3块D．4块7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )．A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥(第8题)A．①②B．①③C．①④D．②④9．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是()．A B C D10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是()．A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B ．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C ．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D ．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心 二、填空题11．一圆球形气球，体积是8 cm 3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27 cm 3．则气球半径增加的百分率为 ．12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 ．13．右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果A 是多面体的下底面，那么上面的面是 ；②如果面F 在前面，从左边看是面B ，那么上面的面是 ． 14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是 ．)4俯视图正视图侧视图4 43(第13题)三、解答题15．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6 ，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．16．下图是一个几何体的三视图(单位：cm ) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积.俯视图BB A C正视图BA侧视图C(第16题)17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．18．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积V正方体，V球，V圆柱的大小．(第17题)19．如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒a，求原来水面的高度．置，这时水所形成的圆锥的高恰为2(第19题)20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积分别为Q1，Q2．求四棱柱的侧面积．(第20题)参考答案一、选择题1．B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥．2．A解析：由设两个球的半径分别为r，R，则 4 r2∶4πR2＝1∶9. ∴r2∶R2＝1∶9，即r∶R＝1∶3．3．C解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧，∴图C正确．4．D解析：A，B不在同一直径的两端点时，过A，B两点的大圆只有一个；A，B在同一直径的端点时大圆有无数个．5．D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，∴几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体．6．D解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有4块．7．C解析：由平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴ C 不对．8．D解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的是②④．9．A解析：B 是经过正方体对角面的截面；C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D 是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．10．B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B ． 二、填空题 11．50%．解析：设最初球的半径为r ，则8＝34πr 3；打入空气后的半径为R ，则27＝34πR 3．∴ R 3∶r 3＝27∶8．∴ R ∶r ＝3∶2．∴气球半径增加的百分率为50%． 12．160．解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是22515-＝200和2259-＝56．∴菱形的边长为4256256220022=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＝ 8． ∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160． 13．F ，C ．解析：将多面体看成长方体， A ，F 为相对侧面．如果A 是多面体的下底面，那么上面的面是F ；如果面F 在前面，从左边看是面B ，则右面看必是D ，于是根据展开图，上面的面应该是C ．14．80．解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的正方体和底面边长为4，高为3的四棱锥组成，因此它的体积是V ＝43＋31×42×3＝64＋16＝80．三、解答题15．参考答案：设圆柱底面圆半径为r ，则母线长为2r ． ∵圆柱表面积为6π， ∴ 6π＝2πr 2＋4πr 2． ∴ r ＝1．∵ 四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形， ∴ 正方形边长为2． ∴ 四棱柱的体积V ＝(2)2×2＝2×2＝4． 16．(1)略．(2)解：这个几何体是三棱柱．由于底面△ABC 的BC 边上的高为1，BC ＝2，∴ AB ＝2． 故所求全面积S ＝2S △ABC ＋S BB ′C ′C ＋2S ABB ′A ′＝8＋62(cm 2)． 几何体的体积V ＝S △ABC ·BB ′＝21×2×1×3＝3(cm 3)． 17．解：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(60＋42)π．V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1＝3148π． 18．解：设正方体的边长为a ，球的半径为r ，圆柱的底面直径为2R ， 则6a 2＝4πr 2＝6πR 2＝S ．∴ a 2＝6S ，r 2＝π4S，R 2＝π6S ． ∴(V 正方体)2＝(a 3)2＝(a 2)3＝36⎪⎭⎫⎝⎛S ＝2163S ，(V 球)2＝23π34⎪⎭⎫⎝⎛r ＝916π2(r 2)3＝916π23π4⎪⎭⎫ ⎝⎛S ≈1083S ，(V 圆柱)2＝(πR 2×2R )2＝4π2(R 2)3＝4π23π6⎪⎭⎫ ⎝⎛S ≈1623S ．∴V 正方体＜V 圆柱＜V 球．19．解：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r ，R ，高为h ，则Rr ＝aha -． 则依条件得3π·h ·(r 2＋rR ＋R 2)＝3π·2a ·22⎪⎭⎫⎝⎛R ，化简得(h －a )3＝－87a 3．解得h ＝a －873a ．即h ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-271a ． 20．解：设底面边长为a ，侧棱长为l ，底面的两对角线长分别为c ，d ．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧③ ＝ 21 ＋ 21② ＝ ① ＝ 22221a d c Q dl Q cl ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛由 ① 得c ＝l Q 1，由 ② 得d ＝l Q 2，代入 ③ 得212⎪⎭⎫ ⎝⎛l Q ＋222⎪⎭⎫⎝⎛l Q ＝a 2．∴21Q ＋22Q ＝4l 2a 2，33(第20题)∴2la ＝2221＋Q Q ． 故S 侧＝4al ＝22221＋Q Q ．第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )． A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 2＝1，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )．A ．51 B ．52C ．53D ．543．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )． A ．可能没有B ．至少有一个C ．只有一个D ．有无数个4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）．A ．菱形B ．梯形C ．正方形D ．空间四边形5．已知 m ，n 为异面直线，m ⊂平面，n ⊂平面β，∩＝l ，则( )．A．l与m，n都相交B．l与m，n中至少一条相交C．l与m，n都不相交D．l只与m，n 中一条相交6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1-BD-C的大小为()．A．30°B．45°C．60°D．90°7．如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是()．A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是()．A．⊥，m⊥，n∥⇒m⊥n B．∥，m⊥，n∥⇒m⊥nC．m⊥，n⊂，m⊥n⇒⊥D．⊥，∩＝m，n⊥m⇒n⊥9．平面∥平面，AB，CD是夹在和之间的两条线段，E，F 分别为AB，CD的中点，则EF与的关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．不能确定10．平面 ⊥平面，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面 ，β所成的角分别为4π和6π，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B ′，则AB ∶A ′B ′ 等于( )．A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB ，CD 所成角的大小为 ．12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是 ．13．如图，AC 是平面 的斜线，且AO ＝a ，AO 与 成60º角，OC ，AA ′⊥于A ′，∠A ′OC ＝45º，则点A 到直线OC 的距离是 ．(第12题)AB CA 1B 1C 1EFDCAB(第11题)(第10题)(第13题)14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为．15．已知a，b为直线，为平面，a∥，b∥，对于a，b的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交．其中可能成立的有个．三、解答题16．正方体AC1的棱长为a．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)设P为D1D中点，求点P到平面ACC1A1的距离．17．如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO 底面ABCD，E是PC的中点．求证：(1)PA∥平面BDE；PEC D(2)BD⊥平面PAC．18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．19．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；(2)求证：BD1⊥平面ACB1；(3)求三棱锥B-ACB1体积．D1C1B1A1CDBA(第19题)(第18题)20. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AC AE ＝ADAF ＝(0＜＜1)．(1)求证：不论 为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当 为何值时，平面BEF ⊥平面ACD(第20题)参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角.在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ． 又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°． 7．C解析：当A ，B 两点在 同侧时，直线AB 和平面平行；当A ，B 两点在异侧时，直线AB 和平面 相交．8．B解析：对于A ，⊥，m ⊥，n ∥，m ，n 可以不垂直； 对于C ，m ⊥，n ∥，m ⊥n ，，可以不垂直；对于D ，⊥，∩＝m ，n ⊥m ， n ，可以不垂直．9．A解析：设A ，C ∈，B ，D ∈，① 若AB ，CD 共面，∵∥，∴ AC ∥BD .∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ EF ∥AC ，且EF ⊄，AC ⊂，∴ EF ∥．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交 于M ，交 于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄，AM ⊂，∴ EF ∥．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos 6π＝32a ，BB ′＝a cos 4π＝22a ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1． 二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5． 13．414a ． 解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ，点A 到直线OC 距离是AB ． 依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ． ABCOA ′(第13题)(第10题)ABCA 1B 1C 1EFG (第12题)∴ AB ＝16243+a ＝414a ．14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21．∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥，b ∥ 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立．三、解答题16． 证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ，∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ． 又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1．(2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．A BC A 1B 1C 1P· DDO(第16题)容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线． ∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ， ∴ P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ BD ⊥平面P AC ．18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 又PD ∩DC ＝D ， PD ，DC ⊂平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ．∵ PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ． (2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ，则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍，由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ． 又 ∴ 平面PBC ∩平面PCD ＝PC ，POEC D BA(第17题)(第18题)∴ DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2． (方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ．∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°．由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体积 V ＝31S △ABC ·PD ＝31．∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ． 又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝22DC PD +＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22． ∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴ 31S △PBC ·h ＝V ＝31，得h ＝2． 故点A 到平面PBC 的距离等于2．19．(1)证明：∵ AC ⊥BD ，又BB 1⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ， ∴ BB 1⊥AC . BD ∩BB 1＝B ，∴ AC ⊥平面B 1 D 1DB ． (2)证明：由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ， ∵ BD 1⊂平面B 1D 1DB ，∴ AC ⊥BD 1． ∵ A 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1B 1BA ， ∴ A 1D 1⊥AB 1．又 ∵ A 1B ⊥AB 1且A 1B ∩A 1D 1于A 1， ∴ AB 1⊥平面A 1D 1B ．(第18题)∵ BD 1⊂平面A 1D 1B ， ∴ BD 1⊥AB 1， 又 ∴ AC ∩AB 1＝A ， ∴ BD 1⊥平面ACB 1．(3)解：(方法1)C BB A ACB B V V 11＝--＝31×1×(21×1×1)＝61． (方法2)1ACB B V -＝21(31V 正方体)＝61．20．(1)证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD ． ∵ CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC ． 又AC AE ＝ADAF＝(0＜＜1)，∴ 不论 为何值，恒有EF ∥CD ， ∴ EF ⊥平面ABC ．∵ EF ⊂平面BEF ， ∴不论 为何值总有平面BEF ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD ． ∴ BE ⊥AC ．∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴ BD ＝2，AB ＝6，AC ＝7．由△ABC ∽△AEB ，有AB 2＝AE ·AC ，从而AE ＝76．∴ ＝AC AE ＝76． 故当＝76时，平面BEF ⊥平面ACD ．(第20题)第三章直线与方程一、选择题1．下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是()．A．2x－y＋1＝0 B．2x－4y ＋2＝0C．2x＋4y＋1＝0 D．2x－4y ＋1＝02．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于13，则实数m＝()．A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或13．过点M(－2，a)和N(a，4)的直线的斜率为1，则实数a的值为()．A．1 B．2 C．1或4D．1或24．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不经过的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是()．A．y＝－3x B．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4) D．y＝3(x＋4) 6．直线l：mx－m2y－1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是()．A．x―y―1＝0 B．2x―y―3＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋2y－4＝07．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是()．A．(2，1)，(－1，－2)B．(－1，2)，(1，－2)C．(1，－2)，(－1，2)D．(－1，－2)，(2，1)8．已知两条平行直线l1 : 3x＋4y＋5＝0，l2 : 6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝()．A．－12 B．48 C．36D．－12或489．过点P(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是()．A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y －4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y －5＝010．a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点()．A ．⎪⎭⎫⎝⎛21，61 －B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 － ，21C ．⎪⎭⎫⎝⎛61 ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 － ，61二、填空题11．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A (1，0)，B (2，a )，C (a ，1)，则实数a 的值是____________．12．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是____________．13．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________．14．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是____________________．15．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则22 ＋ y x 的最小值等于____________．三、解答题16．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．17．过点P(1，2)的直线l被两平行线l1 : 4x＋3y＋1＝0与l2 : 4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．18．已知方程(m2―2m―3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．19．△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC 边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．参考答案一、选择题 1．D解析：利用A 1B 2－A 2B 1＝0来判断，排除A ，C ，而B 中直线与已知直线重合．2．C解析：因为|AB |＝ 1 － ＋ － 222)()(m m ＝13，所以2m 2－6m ＋5＝13． 解得m ＝－1或m ＝4． 3．A解析：依条件有2＋ － 4a a ＝1，由此解得a ＝1． 4．B解析：因为B ≠0，所以直线方程为y ＝B A x －BC ，依条件B A ＞0，BC ＞0．即直线的斜率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限．5．C解析：因为△ABC 是等边三角形，所以BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为3π，所以BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4)． 6．C解析：由点P 在l 上得2m ―m 2―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求． 7．C解析：因为点(x ，y )关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ，－y )和(－x ，y )，所以P (1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)． 8．D解析：将l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8． 由228＋ 6 － 10c ＝3，解得c ＝－20或c ＝40． 所以b ＋c ＝－12或48．9．A解析：设原点为O ，依条件只需求经过点P 且与直线OP 垂直的直线方程，因为k OP ＝2，所以所求直线的斜率为－21，且过点P ．所以满足条件的直线方程为y －2＝－21(x －1)，即x ＋2y －5＝0． 10．B解析：方法1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0． 整理得(1－2x )b ＋(x ＋3y )＝0． 所以当x ＝21，y ＝－61时上式恒成立．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫⎝⎛ 61 ，－21 ．方法2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫ ⎝⎛61 －＋b ＝0．这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21，y ＝－61时恒成立．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫⎝⎛ 61 ，－21 ．二、填空题 11．251±．解析：由已知得1 － 20 － a ＝1－ 0－ 1a ，所以 a 2―a ―1＝0． 解得a ＝251±．12．－1≤k ≤1且k ≠0．解析：依条件得21·|2k |·|k |≤1，其中k ≠0(否则三角形不存在)． 解得－1≤k ≤1且k ≠0． 13．2－1． 解析：依条件有221＋ 13 ＋ 2 － a ＝1．解得a ＝2－1，a ＝－2－1(舍去)．14．y ＝2x ．解析：已知直线变形为y ＋2＝－a (x ＋1)，所以直线恒过点(―1，―2)． 故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ． 15．1360． 解析：因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，所以22 ＋ y x 表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离． 所以22 ＋ y x 的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离． 容易计算d ＝144＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ y x 的最小值为1360． 三、解答题16．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，所以直线与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，得x ＝－34b ，所以直线与x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，34 －b ． 由已知，得|b |＋b 34 －＋2234 － ＋ ⎪⎭⎫⎝⎛b b ＝12，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0．17．解：当直线l 的方程为x ＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎨⎧0 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得A ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 － ，4 ＋ 37 － 3k k k k ；由⎩⎨⎧0＝ 6 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得B ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ．因为|AB |＝2，所以 4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2．整理得7k 2－48k －7＝0．解得k 1＝7或k 2＝－71． 故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．18．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2―2m ―3＝0，解得m ＝－1，m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1，m ＝21．所以方程表示一条直线的条件是m ∈R ，且m ≠－1． (2)由(1)易知，当m ＝21时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为x ＝34，它表示一条垂直于x 轴的直线． (3)依题意，有3－ 2 － 6－22m m m ＝－3，所以3m 2－4m －15＝0． 所以m ＝3，或m ＝－35，由(1)知所求m ＝－35． (4)因为直线l 的倾斜角是45º，所以斜率为1．故由－1－ ＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1，解得m ＝34或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝34． 19．解：依条件，由⎩⎨⎧x y x y ＝1－ 2 ＝ 解得A (1，1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2，5)关于y ＝x 的对称点C'(5，2)在AB 边所在的直线上．AB 边所在的直线方程为y －1＝1－ 51－ 2(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0．又BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1，所以BC 边所在的直线的斜率为－21．BC 边所在的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5，整理得x ＋2y －12＝0．联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0，解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．第四章 圆与方程一、选择题1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )．A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离(第19题)2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切线有()．A．1条B．2条C．3条D．4条3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y －1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是()．A．x－y±5＝0 B．2x－y ＋5＝0C．2x－y－5＝0 D．2x－y±5＝05．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于()．A．2B．2 C．22D．426．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()．A．x2＋y2＋4y－6＝0 B．x2＋y2＋4x－6＝0C．x2＋y2－2y＝0 D．x2＋y2＋4y＋6＝07．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()．A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )．A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )．A ．453 B ．253 C ．253D ．213二、填空题11．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x ＝a 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________． 14．若A (4，－7，1)，B (6，2，z )，|AB |＝11，则z ＝_______________．15．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为 ．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C 的切线，切点为A，B．(1)求直线PA，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2 ＋ 1 ＋ 2)()(＝13．因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 － ＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心．所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22．6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0． 7．C解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32．设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0．(第6题)由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6．10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫⎝⎛3 ，23，2， 所以|CM |＝2220 － 3＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫ ⎝⎛＝253． 二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)．所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2，－． 因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，所以a 的值是0或2．13．8．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8．14．7或－5．解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5．15．22．解析：如图，S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝21|PA |·|CA |·2＝|PA |，又|PA |＝12－||PC ，故求|PA |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形PACB 最小值为132－＝22． 三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3．由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－ ＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 － ＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21．(第15题)所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21，1， 又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上， 所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1． 19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 － ＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|PA |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22． (3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0． 由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(第19题)(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )， 圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |， 设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．综合测试题考试时间：90分钟 试卷满分：100分一、选择题(第20题)1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21B ．23C ．22D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y－1＝04．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )．A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y－1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．（4（3（1（2A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置关系是()．A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心7．过点P(a，5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线长为32，则a等于()．A．－1 B．－2 C．－3D．08．圆A : x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B : x2＋y2―2x―6y＋1＝0的位置关系是()．A．相交B．相离C．相切D．内含9．已知点A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|＝()．A．6B．26C．2D．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm3，则其表面积S的值为()．A．183dm2B．18 dm2C．123dm2 D．12 dm211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515 B ．22 C ．510D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( )． A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )．A ．2πB ．32＋ 4π C ．32＋ 5πD ．37π 14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )．A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3B ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为362C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角小于30°二、填空题PA B CDE (第14题)(第11题)15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________．16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．三、解答题20．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)BP参考答案一、选择题 1．D2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 16．－4＜b ＜0或b ＜－64． 17．17，10． 18．－1． 19．－3． 三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6， 解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ， 依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角．∵ PO ⊥面ABCD ，∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角．MBCOEP(第21题(1))。

高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．已知21F ,F 是椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( )A ．12B ．31C ．41D ．225．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα⊂则 B ．若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=I 则6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－687．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）15y 9x 22=+Q PC'B'A'CB AA ．15B ．13 C ．12D ．329. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o10．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角 是60°.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（11题） 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ， 且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCD （12题）C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm 214.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为15．已知21F ,F 是椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆的离心率为16.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1俯视图8558855第14题分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）18．已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动. （1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ∥平面ACD ；（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值（19题）20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。

第七章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．以2i +22i +的实部为虚部的新复数是（ ）A ．22i -B ．C ．2i +D2．z 是z 的共扼复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若20z ≥，则z 是实数 B ．若20z ＜，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则20z ≥D ．若z 是纯虚数，则20z ＜4．若()2x i i y i -=+，x ，y ∈R ，则复数x yi +等于（ ） A ．2i -+B ．2+iC ．12i -D ．1+2i5．已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-6．若复数z 满足()34|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．4-B ．45-C ．4D ．457．i 是虚数单位，若1+72ia bi i=+-（a ，b ∈R ），则ab 的值是（ ） A ．15-B ．3C ．3-D ．158．若()12z x yi =-+与23z x i =+（x ，y ∈R ）互为共轭复数，则1z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知集合{}21,2,A z zi =，{}2,4B =，i 为虚数单位，若{}2A B =∩，则纯虚数z 为（ ） A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -10．已知i 是虚数单位，复数1z a i=-（a ∈R ）在复平面内对应的点位于直线20x y -=上，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．3C ．15i D ．1511．复数11+i 在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）A ．12B C ．1D12．已知复数32z i =-+（i 为虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．22B ．36C ．38D ．42二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数11+z i=（i 为虚数单位），则||z =________． 14．若z ∈C ，且22||1z i +-=，则|z 22|i --的最小值为________．15．设复数11z i =+，22z xi =+（x ∈R ），若12·z z ∈R ，则x 的值为________． 16．下列说法中正确的序号是________．①若()()213x i y y i -+=--，其中x ∈R ，C C y =R ，则必有()21,13;x y y -=⎧⎪⎨=--⎪⎩②21i i ++＞；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若1z i=，则31z +对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）设复数()()22lg 2232z m m m m i =--+++，当m 为何值时， （1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？18．（12分）已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121||||z z z -＜，求a 的取值范围．19．（12分）设复数()()2214sin 12cos z a i θθ=-++，()0,θπ∈，2z 在复平面内对应的点在第一象限，且2234z i =-+．（1）求2z 及2||z ．（2）若12z z =，求θ与a 的值．20．（12分）已知复数z满足||z ，2z 的虚部是2． （1）求复数z ；（2）设z ，2z ，2z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求ABC △的面积．21．（12分）已知复数()311z i i =-． （1）求1||z ；（2）若||=1z ，求1||z z -的最大值．22．（12分）设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤． （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若111=1z z ω-+，求证：ω为纯虚数．第七章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】设所求新复数为z a bi =+（a ，b ∈R ），由题意知，复数2i 的虚部为2，即2a =；复数()22212i +=+⨯-=-的实部为2-，即2b =-，则所求的新复数为22z i =-。