高考数学复习第七单元第37讲直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教A版

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解析：如图，∵PO⊂平面PAB，
∴l⊥PO. ∴PO就是P到直线l的距离， ∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形， PO＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
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考点
互动探究
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考点一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有 (1)利用判定定理． (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．
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【思路启迪】 第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过 AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明 直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．
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【证明】 (1)由四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.
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破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与 性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是 证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂 直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围 绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的 技巧所在．
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解析：由PA⊥平面ACB，可得PA⊥BC，A正确；由BC⊥ PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即 B、D正确，故选C.
答案：C
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3、如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC， 写出图中所有的 直角三角形。
A
D
B
C
第1题图
第2题图
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第3题图
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直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a


l



b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
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l
b
Aa
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四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
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三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
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6O 6 B A
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课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
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六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．

(3)判定定理与性质定理:
文字语言
判 定 定 理 一个平面过 另一个平面 垂线 的_____,则 这两个平面 垂直
图形语言
符号语言
l ⊥α _____ l ⊂ β _____

⇒α⊥β
文字语言
性
Hale Waihona Puke 图形语言符号语言α ⊥β l⊂β
两个平面垂直,
则一个平面内 交线 的 垂直于_____ 直线与另一个 平面垂直
【解析】选C.A中,由m⊥n,n∥α 可得m∥α 或m与α 相 交或m⊥α ,错误;B中,由m∥β ,β ⊥α 可得m∥α 或m与 α 相交或m⊂α ,错误;C中,由m⊥β ,n⊥β 可得m∥n,又 n⊥α ,所以m⊥α ,正确;D中,由m⊥n,n⊥β ,β ⊥α 可 得m∥α 或m与α 相交或m⊂α ,错误.
3.平面与平面垂直 (1)二面角: 两个半平面 所组成的图形叫做二 从一条直线出发的___________ 面角;在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两 垂直于棱 的两条射线,这两条射线 个半平面内分别作_________ 所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是 直二面角 就说这两个平面互相垂直. _________,
【技法点拨】 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准, 甚至无需作图通过空间想象来判断.
(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性 质定理进行简单说明.
【拓展】反证法:反证法是立体几何中常用的间接证明 方法.其步骤是:①否定结论;②进行推理;③导出矛盾; ④肯定结论.用反证法证题要注意:①宜用此法否;②命 题结论的反面情况有几种.

解：(1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD．
又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF．
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′．
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14．
由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4．
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3．
(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任 意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推
出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．α⊥β 且 m∥α
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定
理，可知 C 正确．
答案：C
2．如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC．